2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 интеграл (длина циклоиды)
Сообщение19.04.2008, 14:35 
Здравствуйте. Решаю интеграл, но получается не очень красивый ответ. То есть не могу даже добраться до ответа. Помогите, пожалуйста.
$$\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{4\sin^{2}t+4-4cost+4cos^{2}t}dt$$
$$2\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{2-cost}dt$$
Вот так у меня получается. А как дальше быть, я не знаю. Помогите, пожалуйста!

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 14:40 
Аватара пользователя
Вроде никак. То есть сводится к эллиптическим.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 14:45 
Короче говоря, этот интеграл - нахождение длины циклоиды на указанном интервале. По сути должен получиться численный ответ. Только как его получить?

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 15:54 
Здесь написано, что "Longueur d'une arche : $8R$ ; aire : $3\pi R^2$",
что одначает длину дуги ($8R$) и площадь.
Имеется в виду циклоида
$$\begin{array}{l}
x=R(t-\sin t)\\
y=R(1-\cos t)
\end{array}
$$
У Вас, похоже, половинка дуги.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 15:59 
Аватара пользователя
(В сторону) Численный - численно и получить...
Длина циклоиды считается аналитически, то есть этот интеграл - это не она. У Вас там в одной циферке ошибка.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 16:03 
Вы ошиблись: $s=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}\,\mathrm{d}t$, считается легко.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 16:41 
Алексей К. писал(а):
Вы ошиблись: $s=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}\,\mathrm{d}t$, считается легко.


Легко? А как же мне взять интеграл от такого корня? Ну 2 естественно я вынесу за знак интеграла... А дальше? Не могу сообразить :oops: Подскажите, пожалуйста.
$$2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\cos t}dt$$
ЗЫ Мне обязательно нужно вычислить длину этой дуги с помощью интеграла.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 16:43 
Аватара пользователя
А дальше половинный аргумент и вперёд.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 16:52 
ИСН
никак не соображу.мне косинус как косинус двойного разложить?там несколько вариантов разложения.можно как разность квадратов (косинуса и синуса).Можно как удвоенный квадрат косинуса без единицы или же единица без двух синусов(синус в квадрате). Извините, что словами

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 16:59 
Попробуйте все три и посмотрите, где красивее подкоренное выражение получается.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 19:52 
Аватара пользователя
Господа! Мне кажется, между
Ирина-chip писал(а):
$$2\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{2-cost}dt$$

и
Алексей К. писал(а):
$s=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{2-2\cos t}\,\mathrm{d}t$

есть небольшая разница.

Второй интеграл в элементарных функциях берётся, а первый, готов поставить 50 рублей, нет.

 
 
 
 
Сообщение19.04.2008, 20:42 
Ирина-chip писал(а):
Ну 2 естественно я вынесу за знак интеграла... А дальше? Не могу сообразить :oops: Подскажите, пожалуйста.
$$2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-\cos t}dt$$

Вы не 2 вынесли, а штук 8, по-моему...
$u=\tg\dfrac{t}{2}$, $\cos t=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$, $du=\mbox{\small (чего-то там)}\,dt$.
Извините, лук подгорает...
Дык ё мо ё $\mbox{---}\quad 1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}\,$!!! Сгорел...

Добавлено спустя 63 минуты 48 секунд:

С луком я стушил индейку,
Ира интеграл взяла,
Накарябал AD статейку,
Так суббота и прошла...

 
 
 
 
Сообщение20.04.2008, 10:27 
Алексей К.
Спасибо Вам огромное. Успехов в кулинарии :D

Добавлено спустя 6 минут 27 секунд:

Алексей К. писал(а):
Ира интеграл взяла,

Извините, но я не люблю, когда меня называют Ирой. Ирина я. А Ира от имени Ираида. :?

 
 
 
 
Сообщение20.04.2008, 10:40 
Извините; я ведь тоже не люблю искажать ники. Просто Ирину не смог срифмовать... :?
Беда, коль сапоги начнёт тачать пирожник...

 
 
 
 
Сообщение20.04.2008, 11:09 
Алексей К. писал(а):
Извините; я ведь тоже не люблю искажать ники. Просто Ирину не смог срифмовать... :?
Беда, коль сапоги начнёт тачать пирожник...

Ирина неплохо рифмуется с картиной :)

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group