В сотый раз об аксиоме выбора (построение неизмеримых мн-в)

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141004 писал(а):

для каждой точки отрезка [0, 1] выбросим из этого отрезка все точки, отстоящие от рассматриваемой на рациональную величину; множество точек, оставшихся невыброшенными, и будет множеством Витали.

Пусть $V_1$ - множество Витали, как оно построено в вики, а $V_2$ - множество, построенное Вами. Продемонстрируйте, пожалуйста, что $V_1 \subset V_2$ и $V_2 \subset V_1$.

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141037 писал(а):

diletto в сообщении #1141004 писал(а):

для каждой точки отрезка [0, 1] выбросим из этого отрезка все точки, отстоящие от рассматриваемой на рациональную величину; множество точек, оставшихся невыброшенными, и будет множеством Витали.

Пусть $V_1$ - множество Витали, как оно построено в вики, а $V_2$ - множество, построенное Вами. Продемонстрируйте, пожалуйста, что $V_1 \subset V_2$ и $V_2 \subset V_1$.

Это невозможно, т.к. оба построения неоднозначны.
И не нужно, т.к. дальнейшие рассуждения о мере применяются совершенно одинаково.

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141039 писал(а):

Это невозможно, т.к. оба построения неоднозначны.
И не нужно, т.к. дальнейшие рассуждения о мере применяются совершенно одинаково.

Тут два раза "хм", но ответьте сначала на

Someone в сообщении #1141036 писал(а):

В этом описании явно чего-то не хватает. Потому что получается пустое множество. Ибо всякая точка отрезка находится на рациональном расстоянии от какой-нибудь другой точки того же отрезка.

А то я тоже что-то плохо не понял, какое множество Вы построили.

[diletto]

Someone в сообщении #1141036 писал(а):

diletto в сообщении #1141004 писал(а):

сформулировать так:

для каждой точки отрезка [0, 1] выбросим из этого отрезка все точки, отстоящие от рассматриваемой на рациональную величину; множество точек, оставшихся невыброшенными, и будет множеством Витали.

В этом описании явно чего-то не хватает. Потому что получается пустое множество. Ибо всякая точка отрезка находится на рациональном расстоянии от какой-нибудь другой точки того же отрезка.

Да, не хватает фразы "уже выброшенные точки не рассматриваются".

[Someone]

diletto, объясните, пожалуйста, чем отличается "из каждого класса эквивалентности выбросим все точки, кроме одной" (к чему сводится ваше построение, если его описание соответствующим образом дополнить) от "из каждого класса эквивалентности выберем одну точку"?

[Anton_Peplov]

Т.е. Вы предлагаете такую процедуру. Выберем на отрезке $A = [0, 1]$ точку $a$ и выбросим все точки $x \ne a$ такие, что $a - x \in \mathbb{Q}$. Получим множество $B$. Выберем на множестве $B$ точку $b$ и выбросим все точки $x \ne b$ такие, что $b - x \in \mathbb{Q}$. Получим множество $C$... Продолжаем до тех пор, пока полученное множество $Z$ не окажется равно предыдущему множеству $Y$. Тогда все нужные точки будут выброшены, и останется только множество Витали. Я Вас правильно понял?
Тут проблема в том, что понятия "предыдущий и следующий" - а Вы на них неявно сослались, употребив вот здесь

diletto в сообщении #1141042 писал(а):

не хватает фразы "уже выброшенные точки не рассматриваются"

слово уже - имеют смысл только для счетных множеств.

[diletto]

Someone в сообщении #1141043 писал(а):

diletto, объясните, пожалуйста, чем отличается "из каждого класса эквивалентности выбросим все точки, кроме одной" (к чему сводится ваше построение, если его описание соответствующим образом дополнить) от "из каждого класса эквивалентности выберем одну точку"?

В том-то и дело, что по результату не должно отличаться ничем, а процедурное отличие - в алгоритмизуемости выбрасывания точек. Выбирать из класса точку не надо, т.к. она уже задана.

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141045 писал(а):

Выбирать из класса точку не надо, т.к. она уже задана.

Чем задана? Вот Вы взяли на отрезке $[0, 1]$ точку $0$ и выбросили все $x \ne 0$ такие, что $x - 0 \in \mathbb{Q}$ - т.е. просто все положительные рациональные числа. Дальше что?

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141046 писал(а):

diletto в сообщении #1141045 писал(а):

Выбирать из класса точку не надо, т.к. она уже задана.

Чем задана? Вот Вы взяли на отрезке $[0, 1]$ точку $0$ и выбросили все $x \ne 0$ такие, что $x - 0 \in \mathbb{Q}$ - т.е. просто все положительные рациональные числа. Дальше что?

Дальше я беру любую другую точку. Да, она иррациональна. Ну и что? Я никогда не закончу? Но ведь выбрасывать на первом шаге СЧЕТНОЕ множество положительных рациональных от ]0 до 1] я тоже никогда не закончу...

-- 31.07.2016, 03:10 --

Anton_Peplov в сообщении #1141044 писал(а):

Т.е. Вы предлагаете такую процедуру. Выберем на отрезке $A = [0, 1]$ точку $a$ и выбросим все точки $x \ne a$ такие, что $a - x \in \mathbb{Q}$. Получим множество $B$. Выберем на множестве $B$ точку $b$ и выбросим все точки $x \ne b$ такие, что $b - x \in \mathbb{Q}$. Получим множество $C$... Продолжаем до тех пор, пока полученное множество $Z$ не окажется равно предыдущему множеству $Y$. Тогда все нужные точки будут выброшены, и останется только множество Витали. Я Вас правильно понял?
Тут проблема в том, что понятия "предыдущий и следующий" - а Вы на них неявно сослались, употребив вот здесь

diletto в сообщении #1141042 писал(а):

не хватает фразы "уже выброшенные точки не рассматриваются"

слово уже - имеют смысл только для счетных множеств.

Поняли совершенно правильно.
Про упорядочиваемость - интуитивно я понимаю, что есть принципиальная разница между счетным и несчетным, но какое строгое рассуждение запрещает наугад последовательно выбирать иррациональные точки на отрезке?

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

Дальше я беру любую другую точку.

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

наугад последовательно выбирать

Что-то Вы уже два раза что-то выбираете без аксиомы выбора. А без аксиомы выбора можно выбирать только с помощью предиката. Не сформулируете этот предикат?

[Someone]

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

Дальше я беру любую другую точку.

Какую именно "любую другую"?

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

Но ведь выбрасывать на первом шаге СЧЕТНОЕ множество положительных рациональных от ]0 до 1] я тоже никогда не закончу...

Ну почему же? Вы просто указываете, что выбрасываете из отрезка все рациональные точки, кроме точки "$0$" (или, что эквивалентно, указываете, что включаете в создаваемое множество точку "$0$". Это определяется условием, которое в языке теории множеств записывается конечным числом символов.

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

Да, она иррациональна. Ну и что? Я никогда не закончу?

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

Про упорядочиваемость - интуитивно я понимаю, что есть принципиальная разница между счетным и несчетным, но какое строгое рассуждение запрещает наугад последовательно выбирать иррациональные точки на отрезке?

Да, Вы никогда не закончите, и получите бесконечно длинный текст, который невозможно написать. А математика в качестве доказательств приемлет только тексты конечной длины.

Кстати, разница между счётным и несчётным здесь совершенно несущественна.

[diletto]

Anton_Peplov в сообщении #1141048 писал(а):

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

Дальше я беру любую другую точку.

diletto в сообщении #1141047 писал(а):

наугад последовательно выбирать

Что-то Вы уже два раза что-то выбираете без аксиомы выбора. А без аксиомы выбора можно выбирать только с помощью предиката. Не сформулируете этот предикат?

Предиката, естественно, нет.
Для того, чтобы из ОДНОГО произвольного множества (в т.ч. и несчетного) выбрать элемент, достаточно более слабой "аксиомы счетного выбора", не влекущей, как пишут, парадоксов.
Только вот неясно - можно ли считать происходящее выбором из одного множества? На каждом шаге - да. Но если рассматривать всю совокупность шагов, то возникает последовательность множеств, причем несчетная. С другой стороны, мне не нужна одна и та же функция выбора, определенная на каждом из них. Получается, для построения неизмеримого множества все-таки достаточно аксиомы счетного выбора?..

[Someone]

diletto в сообщении #1141051 писал(а):

Для того, чтобы из ОДНОГО произвольного множества (в т.ч. и несчетного) выбрать элемент, достаточно более слабой "аксиомы счетного выбора"

Для выбора элемента из одного непустого множества вообще никакая аксиома выбора не нужна. Но Вы собрались выбирать элементы из бесконечного семейства множеств.

diletto в сообщении #1141051 писал(а):

более слабой "аксиомы счетного выбора", не влекущей, как пишут, парадоксов

Аксиома выбора никаких парадоксов не порождает. Если бы порождала, её бы не было.

[Anton_Peplov]

diletto в сообщении #1141051 писал(а):

Но если рассматривать всю совокупность шагов, то возникает последовательность множеств, причем несчетная.

Несчетная последовательность - это круто.

-- 31.07.2016, 03:05 --

Someone в сообщении #1141052 писал(а):

Аксиома выбора никаких парадоксов не порождает. Если бы порождала, её бы не было.

Ну, я полагаю, ТС имел в виду не противоречия, а контринтуитивные результаты (Банах-Тарский, разрывная линейная функция и др.).

[diletto]

Someone в сообщении #1141052 писал(а):

diletto в сообщении #1141051 писал(а):

Для того, чтобы из ОДНОГО произвольного множества (в т.ч. и несчетного) выбрать элемент, достаточно более слабой "аксиомы счетного выбора"

Для выбора элемента из одного непустого множества вообще никакая аксиома выбора не нужна. Но Вы собрались выбирать элементы из бесконечного семейства множеств.

diletto в сообщении #1141051 писал(а):

более слабой "аксиомы счетного выбора", не влекущей, как пишут, парадоксов

Аксиома выбора никаких парадоксов не порождает. Если бы порождала, её бы не было.

Хорошо, парадокс - термин нечеткий. Для меня парадокс равносоставленности - вполне себе парадокс. Для кого-то другого - норма математической жизни.

Вот насчет выбора из бесконечного семейства у меня всё еще сомнения. Если каждый шаг - это всего лишь выбор произвольной точки из того, что осталось от отрезка, и на этом шаге не требуется знать, что от отрезка останется на следующих шагах, почему нельзя считать происходящее на этом шаге выбором из единственного множества?