Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[ishhan]

lasta в сообщении #1137927 писал(а):

Для этого необходим f-трином. Но все основания f кубов числа иррациональные или равные нулю. Поэтому f-трином не существует. А без f-тринома не существует и бесконечный спуск для уравнения с f кубами. И вопрос применимости метода для данного случая можно считать закрытым.

Уважаемый lasta!
f-куб, как и обычный куб это просто названия алгебраических чисел.
Так алгебраическое число $c^3-b^3$ - разность двух степеней,
Называем его разностью степеней и приписываем статус разности степеней, не очень понятно зачем этот статус вообще нужен, проще сказать - число может быть выражено формулой разности двух степеней.
Соответственно $(c^3-c)-(b^3-b)$- разность двух чисел вида $a^p-a$ которые условно называем f-куб.
Этому числу можно приписать геометрическую фигуру- это обычный куб с целочисленным основанием $a$ из которого вырезано $ a$ единичных кубиков расположенных на главной диагонали куба.
Так у f -куба с основанием 2 ед. объём равен 6 ед., так как из 8 кубов обычного куба мы удаляем 2 куба расположенных на диагонали. Куб с основанием 1 состоит из 1 куба который содержит всю диагональ, соответственно f-куб с основанием 1 не содержит ни одного куба по которому бы не проходила главная диагональ, поэтому его объём равен нулю.

Как разность двух кубов:

$c^3-b^3$

так и разность двух чисел вида $a^p-a$:

$(c^3-c)-(b^3-b)$

являются составными числами.
Только в первом случае приравнивая разность двух кубов третьему кубу, благодаря тому, что разность составное число- утверждается существование меньшей тройки и решений не существует.
Во втором случае приравнивая разность двух чисел вида $a^p-a$ третьему числу такого же вида мы получаем так же составное число того же алгебраического вида, но решений уже бесконечно много.
Почему -не пойму)
Разложение Тринома используем в его первозданном виде, как для обычных кубов так и для чисел вида $a^p-a$.

[lasta]

ishhan в сообщении #1137976 писал(а):

Во втором случае приравнивая разность двух чисел вида $a^p-a$ третьему числу такого же вида мы получаем так же составное число того же алгебраического вида, но решений уже бесконечно много.
Почему -не пойму)
Разложение Тринома используем в его первозданном виде, как для обычных кубов так и для чисел вида $a^p-a$.

Уважаемый ishhan, более подробно. Пусть существует равенство

$$(a^3-a)+(b^3-b)-(c^3-c)=\alpha ^p+\beta ^p-\gamma ^p=0,$$

где $(\alpha ,\beta ,\gamma) $ основания f кубов. Про обычные кубы, триномы забываем. Работаем только с f кубами. Ведь мы пытаемся применить метод к ним. Заметим, что все f кубы не взаимно простые, так как имеют общий делитель 6. Но мы не будем переходить к примитивному решению. Так как это нам не поможет. Все f кубы (кроме нулевого) имеют иррациональные основания $(\alpha ,\beta ,\gamma) $. Вы составили разности, вторые разности f кубов. Но нам необходимы еще разности, суммы оснований f кубов. То есть необходим f-трином $(\alpha +\beta -\gamma)^3 $. Как видим он не существует в натуральных числах. И применение метода бесконечного спуска везде сталкивается с не разрешимыми проблемами.
Но если даже удастся каким-то другим методом бесконечного спуска доказать, что не существуют решений $(a,b,c)$ для уравнения с f кубами, отличающиеся от решений типа $(x,1,x)$, то это с большой вероятностью так и есть. (не путать решение $a,b,c$ для $(a^3,b^3, c^3)$ с решением $(\alpha ,\beta ,\gamma) $ для f кубов.) Нет противоречия в этом.
А для решений $(x,1,x)$ применить метод невозможно. Так как уравнение вырождается в тождество для f кубов.

[lasta]

Очевидно, что в данном доказательстве вызывает затруднение в понимании появления новой тройки чисел. Покажем подробно на кубах, как появляется новая тройка на первом шаге спуска. Для остальных степеней изменится только значение показателя c 3 на другой простой $p>3$ и количество делителей второй разности степеней.
Произвольной тройке чисел $(a,b,c)$ всегда сопутствует вторая разность кубов

$$W=(c^3-b^3)-(a^3-f^3)= 3(a+b)(c-a)(c-b)\qquad \e (1.1),$$

где

$$f^3=(a+b-c)^3=a^3+b^3-c^3+3(a+b)(c-a)(c-b) \qquad\e (1.2)$$

Действительно, подставляя данное выражение для $f^3$ в (1.1), получим

$$W=(c^3-b^3)-(a^3- (a^3+b^3-c^3+3(a+b)(c-a)(c-b)))=3(a+b)(c-a)(c-b)$$

Заметим, что тройка чисел произвольная. Здесь мы не ограничиваем себя только предполагаемой тройкой решения уравнения Ферма. Заметим и обратное , что любое выражение по структуре одинаковое с правой частью (1.1) является второй разностью кубов.
Не изменяя общности, пусть $(c-b) $ нечетно и не делится на 3 (позднее будет показано, что данное условие не обязательно). Разделим $W$ на $c-b$. Получим

$$W_1= 3(a+b)(c-a) \e $$

Одним из вариантов получения новой тройки, это использование числа $d=((c-b)-1)/2$. И вот она, новая тройка чисел $a_n=(a-d); \quad b_n=(b+d); \quad c_n=(c-d)$. И вторая разность кубов $W_2=3(a_n+b_n)(c_n-a_n)$, численно равная $W_1$, но с новой тройкой чисел.
Как видим, роль 1 в числе $d$ играет $(c_n-b_n)$. Поэтому можем записать $d=[(c-b)-(c_n-b_n)]/2$. Это снимает условие обязательной четности и не кратности 3 числа $(c-b)$.
Рассмотрим на числах $(7,12,17).\qquad W=3(7+12)(17-7)(17-12);\qquad d=(17-12-1)/2=2$. После деления $W$ на множитель $(17-12)$ имеем вторую разность $W_1=3(7+12)(17-7) $. И с учетом $d=2$, новую тройку чисел $ (5,14,15)$, и $W_2=3(5+14)(15-5)$. Все делители новой второй разности кубов $W_2$ те же, что и у $W_1$. Но от старой тройки не осталось ни одного числа. И новая тройка чисел не связана каким-либо коэффициентом деления со старой тройкой чисел.
Остается доказать, что выражение (1.1) никогда не может быть кубом. Так как в этом случае появится бесконечный спуск. Действительно, если $W$ - куб, то с учетом (1.2) это возможно только при $a^3+b^3-c^3=0$. Но, тогда $W_2$ - тоже куб. А значит, что и $a_n^3+b_n^3-c_n^3=0$. Важно отметить также то, что согласно свойства кубов в новой тройке должно быть как минимум два составных числа. Это накладывает ограничения на предыдущую вторую разность. В ней должно быть не менее трех взаимно простых делителей. Получаем бесконечный спуск и доказательство ВТФ.

[Феликс Шмидель]

lasta в сообщении #1140738 писал(а):

Действительно, если $W$ - куб, то с учетом (1.2) это возможно только при $a^3+b^3-c^3=0$.

Почему? $W$ может быть кубом, но не равным $(a+b-c)^3$, и в этом случае $a^3+b^3-c^3 \ne 0$.

[Феликс Шмидель]

Уважаемый lasta,

Хотя Ваше рассуждение содержит ошибку, на мой взгляд, оно не безнадёжно.
Пусть $a^3+b^3-c^3=0$.
Не будем пока присваивать переменной $d$ значение, а найдём это значение из равенства $a_n^3+b_n^3-c_n^3=0$.
Имеем: $(a-d)^3+(b+d)^3-(c-d)^3=0$.
Если раскрыть скобки и сократить на $d$, получим квадратное уравнение относительно $d$.
Что дальше я пока не знаю.

[Феликс Шмидель]

Конечно, в этом случае $d$ не получится целым или даже рациональным.
Поэтому, вместо $c_n=c-d$ попробуем оставить $c_n$ переменной величиной.
Тогда $(a-d)^3+(b+d)^3-c_n^3=0$, где $d$ и $c_n$ - переменные.
Это равенство является эллиптической кривой, причём имеется решение: $d=0, c_n=c$.
Значит есть бесконечное число рациональных решений.
Я могу, конечно, ошибаться.

[Феликс Шмидель]

Хотя, насколько я помню, для третьей степени, если есть одно решение, то есть бесконечно много.
Это известно давно и ничего не даёт.
Нужно, чтобы был спуск, а как этого добиться?

[lasta]

Феликс Шмидель в сообщении #1140885 писал(а):

Почему? $W$ может быть кубом, но не равным $(a+b-c)^3$, и в этом случае $a^3+b^3-c^3 \ne 0$.

Уважаемый Феликс Шмидель! Большое спасибо за проявленный интерес к теме. Вы правы. Да я и сам уже писал в этой же теме по этому же вопросу.

lasta в сообщении #1114606 писал(а):

Сама по себе вторая разность может быть кубом. Но, эта должен быть такой куб, который в сумме с разностью кубов $V_f$ должен дать куб $ a^3$ . На разность кубов $ V_f $ также существуют ограничения. Например: - $ V_f $, для соседних кубов можно определить выражением

$$ V_f=1+\sum_{i=1}^f{W_i} $$

То есть количество вторых разностей соседних кубов $W_i $ равно составному числу $f$. Если снять эти ограничения, то ...$V_b=V_f+W_f=217=1+6^3$. Где $ V_f =1 $, что в силу высказанных ограничений невозможно.

Конечно же, правильно утверждение, что $W$ не может быть равным кубу $f^3$. В этом случае $a^3+b^3-c^3 = 0$. И в силу существующих ограничений по составным числам и взаимной их простате $W_2$ является кубом равным новому значению тринома $f_n^3=(a_n+b_n-c_n)^3$. Трином охватывает весь ряд кубов натуральных чисел. И бесконечный спуск существует.

[Феликс Шмидель]

Уважаемый lasta, мне непонятно Ваше объяснение.
Я среагировал на Ваше доказательство потому что оно было понятно.
Оно содержало ошибку, на которую я указал.
Попробуйте изложить доказательство снова со всеми определениями и без ошибок.

[lasta]

Уважаемый Феликс Шмидель, следую Вашим указаниям. Исправляю ошибку в утверждении.

ishhan в сообщении #1114479 писал(а):

полагая:
$a+b=9p^3$, $a-c=q^3$, $b-c=t^3$ $p,q,t$-целые
получим систему из трёх уравнений для определения трёх целых чисел $a,b,c$ и числа $a+b-c $ вторая разность степеней которых будет третьей степенью числа $3pqt$.

$a=(9p^3-q^3+t^3)/2;\qquad b=(9p^3+q^3-t^3)/2;\qquad c=(9p^3+q^3+t^3)/2$.

Как видим, вторая разность $W$, как куб, имеет бесконечно много решений. Поэтому необходимо указать, когда $W$ не может быть кубом.
$W$ не может быть кубом, если $a^3+b^3-c^3=0$. И наоборот, если $W=(3pqt)^3$, то $a^3+b^3-c^3 \ne 0$. Действительно, трином может быть кубом произвольного числа. Поэтому из равенства

$$\frac {f^3}{c-b}=\frac {a^3+b^3-c^3}{c-b}+\frac {W}{c-b}$$

следует, что новый трином

$$\frac {f^3}{c-b}=\frac {W}{c-b}=W_2$$

Откуда видно, что $a_n^3+b_n^3-c_n^3=0$. То есть существует новая тройка решения уравнения ферма.
Далее, если существует новая тройка решения уравнения Ферма, то в ней должно быть не менее двух кубов составных чисел. Это ограничение приводит к ограничению предыдущей второй разности кубов. в ней должно быть не менее трех взаимно простых делителей. Если $p=p_1p_2;\qquad q=q_1q_2;\qquad t=t_1t_2$ также составные числа, то на шаге спуска, деление можно производить и на эти числа. Как видим новая тройка обладает всеми свойствами предыдущей тройки, что является необходимым и достаточным условием бесконечного спуска.

[vasili]

Уважаемый Lasta! Мне кажется, что " спуск" это получение новых троек натуральных чисел, каждая из которых меньше предыдущей. Вы же предлагаете новые тройки одна из которых, больше предыдущей, а именно
$b_n = b + d$, где d - натуральное число. В этом случае "спуска" вряд ли будет и будет прав уважаемый Шмидель.

[Феликс Шмидель]

Первая ошибка: неверно, что $a=(9p^3-q^3+t^3)/2$.
В самом деле $a+b=9p^3$, $a-c=q^3$, значит $b+c=9 p^3-q^3$.
Поскольку $b-c=t^3$, то $b=(9p^3-q^3+t^3)/2$.

Далее непонятно, почему $W$ не может быть кубом, если $a^3+b^3-c^3=0$?
Непонятно, почему $a_n^3+b_n^3-c_n^3=0$.
Вы могли бы определить $a_n, b_n, c_n$, как Вы сделали ранее.
С этими определениями неверно, что $a_n^3+b_n^3-c_n^3=0$.
Если Вы считаете иначе, докажите.

Я уже говорил, что новая тройка решения уравнения Ферма 3-ей степени действительно существует, если есть хотя бы одна.
Но она определяется не так, как это делаете Вы.

Далее, не могли бы Вы ясно объяснить Вашу идею спуска, потому что она мне совершенно непонятна.

[lasta]

vasili в сообщении #1141659 писал(а):

$b_n = b + d$, где d - натуральное число. В этом случае "спуска" вряд ли будет и будет прав уважаемый Шмидель.

Уважаемый vasili, спасибо за вопрос. Действительно, одно число увеличилось, но два других уменьшились. Это уже нарушения принципа минимального решения. Кроме того, уменьшается вторая разность кубов. И при этих условиях будет уменьшаться бесконечно. Но, проблема применения числа $d$ в другом. На это указал Феликс Шмидель.

Феликс Шмидель в сообщении #1141661 писал(а):

С этими определениями неверно, что $a_n^3+b_n^3-c_n^3=0$.

И он прав. Поэтому применение двойного преобразования (деления и затем добавление $d$) неверно. Да и в этом нет необходимость. Достаточно одной операции деления.

Феликс Шмидель в сообщении #1141661 писал(а):

Первая ошибка: неверно, что $a=(9p^3-q^3+t^3)/2$.

Уважаемый Феликс Шмидель, ошибки здесь нет. Значения определены для формулы (1.1), где используются разности $(c-b)$ и $(c-a)$, а не так как в сообщении ishhan $(b-c)$ и $(a-c)$.
Что касается замечания по новой тройке решения, полученной в результате деления и использования числа $d$, то здесь я с Вами полностью согласен. Действительно применение варианта с числом $d$ приводит к тому, что $a_n^3+b_n^3-c_n^3> 0$. Так как $(a_n+b_n-c_n)>(a+b-c)$. Поэтому этот вариант отпадает. Тем более, что в нем нет необходимости.

Феликс Шмидель в сообщении #1141661 писал(а):

Далее непонятно, почему $W$ не может быть кубом, если $a^3+b^3-c^3=0$?

Потому что это приводит к бесконечному спуску. Пусть $a_n^3+b_n^3-c_n^3= E$. Тогда

$$f^3=E+W\qquad \e (1.3)$$

Если $E=0$, то $f^3=W$ Разделим (1.3) на $c-b$. Получим

$$f^3/(c-b)=E/(c-b)+W/(c-b)=0/(c-b)+W(c-b)=W_1 \qquad \e (1.3)$$

То есть получили равенство $f_n^3=W_1$, аналогичное исходному со всеми его свойствами. $W_1$ также куб.

[lasta]

Мне удалось сделать понятным появление новой тороки решеня УФ.
Для уравнения Ферма всегда существует решение $(a-r,\quad b+r,\quad c_1c_2)$, где $(r)$ -действительное число, остаток при делении чисел $(a+r), (b-r)$ на $(c_1)$. На этом доказательство можно считать законченным. Так как сразу видно существование бесконечного спуска.
Действительно, уравнение Ферма для всех степеней с простым показателем $p>2$

$$c^p=c_1^pc_2^p=(a+r)^p+ (b-r)^p=(a^p+R)+(b^p-R)=a^p+b^p$$

Где $R$ остаток при делении степеней $(a+r)^p,\quad (b-r)^p$ на степень $c_1^p$. Числа $(a,b,c)$ не взаимно простые $ c=c_1c_2 \quad a=a_nc_1 \quad b=b_nc_1$, где новая тройка чисел $(a_n,b_n,c_2)$, меньшая исходной, но со всеми свойствами исходной тройки решения. -является решением уравнения

$$c^p_2=a_n^p+b_n^p$$

Число $c_2$ снова составное, что и обеспечивает бесконечный спуск, который не возможен для целых чисел.
Это и есть чудесное доказательство Пьера Ферма. А поля книги узки для него, потому, что если описывать каждый шаг бесконечного спуска, изобретенного П. Ферма, то получится бесконечное доказательство.
Это короткое доказательство я опубликую в отдельной теме