2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение15.07.2016, 22:35 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Попробую всё же формализовать. Пусть $\psi(x)$ это комплексная амплитуда вероятности, квадрат модуля которой равен вероятности нахождения кольца-окружности в точке $x$ образующей цилиндра, а аргумент равен азимутальной координате отмеченной точки окружности в случае появления кольца-окружности в точке $x$. Рассмотрим случайный процесс блуждания отмеченной точки кольца-окружности по поверхности цилиндра. Пусть элементарным случайным событием служит такое линейное движение, что за случайное время движения $\Delta t$ отмеченная точка движется по винтовой линии цилиндра так, что $\Delta\varphi=\omega\Delta t= k\Delta x$, где $k=\frac{ m}{\hbar}\frac{\Delta x}{\Delta t}$. Тогда, при условии равновероятности всех возможных случайных событий и при условии ограничения скорости элементарного случайного движения $-c<\frac{\Delta x}{\Delta t}<c$, имеет место формула сложения амплитуд вероятностей:
$\begin{equation*}
	$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$
\end{equation*}
$

где $C$ это нормировочный множитель, $y=x_{t+\Delta t}-x_{t}$, $\varphi_{t+\Delta t}= \Delta\varphi+\varphi_{0}(x)$, а $\varphi_{0}(x)$ это линия наблюдателя.

Вместе с тем, для марковской цепи случайных блужданий справедлива формула:
$\begin{equation*}
	\psi(x, t_{k})=\int\limits_{t_{0}}^{t_{k}}e^{i\varphi}\psi(x, t_{0})d\{y_{t}\}
\end{equation*}
$
где $\varphi=\int\limits_{t_{0}}^{t_{k}}\frac{d\varphi}{dt}dt$. Конечно, в этом выводе не хватает строгого математического обоснования, но интуитивно всё понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение15.07.2016, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
bayak в сообщении #1138081 писал(а):
Пусть элементарным случайным событием служит такое линейное движение, что за случайное время движения $\Delta t$ отмеченная точка движется по винтовой линии цилиндра так, что $\Delta\varphi=\omega\Delta t= k\Delta x$, где $k=\frac{ m}{\hbar}\frac{\Delta x}{\Delta t}$.

За счёт какого механизма?

bayak в сообщении #1138081 писал(а):
Тогда, при условии равновероятности всех возможных случайных событий и при условии ограничения скорости элементарного случайного движения $-c<\frac{\Delta x}{\Delta t}<c$, имеет место формула сложения амплитуд вероятностей:
$\begin{equation*}
$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$
\end{equation*}
$

Пока не вижу ничего нового по сравнению со стандартным УШ.

bayak в сообщении #1138081 писал(а):
Конечно, в этом выводе не хватает строгого математического обоснования, но интуитивно всё понятно.

Кроме того, откуда берётся множитель $i$ в показателе экспоненты.

Это всё банальность: аналогия между винеровским и фейнмановским интегралом общеизвестна, и все аналогии заканчиваются ровно там, где всплывает эта мнимая единица.

Цилиндр и кольцо здесь абсолютно не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение18.07.2016, 07:29 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Давайте отодвинем пока в сторону вопрос о механизме линейного движения кольца нашей модели, но уточним структуру интегральной суммы, которая приводит к уравнению Шредингера. Итак, во-первых, в этой интегральной сумме из-за моей неаккуратности выпала мнимая единица в показателе экспоненты, поэтому правильная формула будет такая:
$\begin{equation*}
	$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{i\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$
\end{equation*}
$
во-вторых, для лучшего понимания сущности этого множителя следует пояснить, что амплитуда вероятности (математическое ожидание значения угла поворота кольца) нахождения кольца на цилиндре в точке с координатами $x_{t+\Delta t}$ равна сумме амплитуд вероятностей перехода в эту точку из всех возможных точек $x_{t}$, т.е. суммируются, изменяемые поворотом комплексной единицы на угол $\varphi_{t+\Delta t}$, все возможные амплитуды вероятностей $\psi(x, t)dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение20.07.2016, 07:41 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Похоже мои формулы коробят не только физиков, но и математиков, поэтому я решил отделить параметры от переменной.
$\begin{equation*}
	$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}\rm{e}^{i\frac{my^2}{\hbar\Delta t}+i\varphi_{0}(x-y)}\psi(x-y, t)dy$
\end{equation*}
$
Возвращаясь к механизму линейного движения отмеченной точки кольца особенности по поверхности цилиндра, пока (ввиду отсутствия интереса) отмечу лишь, что тут следует представить движение парусника на глади цилиндрического моря.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение21.07.2016, 01:05 


19/07/16

9
bayak в сообщении #1134938 писал(а):
Пусть у нас имеется квантовая суперпозиция $\psi_3=c_1\psi_1 + c_2\psi_2$. Тогда её можно записать как классическое среднее $\psi_3=\rho_1e^{i\varphi_1}\psi_1 + \rho_2e^{i\varphi_2}\psi_2$ квантовых состояний $e^{i\varphi_1}\psi_1$ и $e^{i\varphi_2}\psi_2$. С другой стороны, если добавить одно свёрнутое измерение, то редуцированное одномерное квантовое состояние $\psi=e^{i(\varphi+\omega x)}$ можно интерпретировать как нахождение квантовой частицы на соответствующей винтовой линии цилиндра. Тем самым, квантовая суперпозиция сводится к вероятностному среднему нахождения частицы на соответствующих линиях цилиндра.

-- Чт июн 30, 2016 22:50:29 --

Наверно всё это чушь - я не учёл, что вероятности это квадраты комплексных коэффициентов.

А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение21.07.2016, 07:19 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
wert3 в сообщении #1139086 писал(а):
А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция :?:

С каких это пор кошки стали квантовыми субъектами.

В данной теме рассматривается аналогия между случайным блужданием по поверхности цилиндра и одномерной квантовой механикой, но блуждают там не кошки, а топологические особенности векторного поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 09:08 


19/07/16

9
bayak в сообщении #1139121 писал(а):
wert3 в сообщении #1139086 писал(а):
А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция :?:

С каких это пор кошки стали квантовыми субъектами.

кошки Шредингера это т.н. |cat state>

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:12 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
wert3 в сообщении #1140367 писал(а):
кошки Шредингера это т.н. |cat state>

Если |cat state> $=$ суперпозиция двух состояний, то это на самом деле либо одно либо другое состояние.

Пусть $\psi(k)$ плотность амплитуды вероятности скольжения частицы по винтовой линии $e^{ikx}$, т.е. вероятность равна $\psi(k)^{*}\psi(k)dk$, а фазовый сдвиг винтовой линии задаётся аргументом $\mathop{\arg}\psi(k)$. Иначе говоря, если частица скользит по винтовой линии с шагом $1/k$, то в этом случае винтовая линия имеет определённый фазовый сдвиг. Отсюда понятно, что функция
$$\psi(x)=\int \psi(k)e^{ikx}dk$$
это плотность амплитуды вероятности нахождения частицы на задающей окружности цилиндра, имеющей линейную координату $x$.
Обратно,
$$\psi(k)=\int \psi(x)e^{ikx}dx$$
Понятно, что с точки зрения физики эта интерпретация квантовой механики ничего нового не даёт. Однако в результате размышления над этой темой у меня возник математический вопрос.
Что это за функция от $k$?
$$\sum\limits_{-P}^{P}e^{ikp}$$
где $-P,P$ граница для простых чисел $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:31 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Для математического вопроса уместно (1) создать отдельную тему в математическом разделе и (2) описать функцию точнее. Что за граница для простых чисел? $P\in\mathbb N$? Или само $P$ простое? И подразумевается, что $p$ простое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:34 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
arseniiv, учту. Подразумевается, что все "пэ" простые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Честно говоря, я сомневаюсь, что на вопрос «что это за функция» можно будет ответить что-то просветляющее. Если бы вопрос тоже стал конкретнее… Ну, увидим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение28.07.2016, 23:00 


19/07/16

9
bayak в сообщении #1140492 писал(а):
wert3 в сообщении #1140367 писал(а):
кошки Шредингера это т.н. |cat state>

Если |cat state> $=$ суперпозиция двух состояний, то это на самом деле либо одно либо другое состояние..

это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение29.07.2016, 14:00 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
wert3 в сообщении #1140696 писал(а):
это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

Естественно. Случайный процесс как раз этим и отличается от детерминированного - может бать так или этак, но в итоге происходит то, что случилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение29.07.2016, 20:00 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
arseniiv в сообщении #1140497 писал(а):
Честно говоря, я сомневаюсь, что на вопрос «что это за функция» можно будет ответить что-то просветляющее. Если бы вопрос тоже стал конкретнее… Ну, увидим.

Можно и конкретнее, но тот вопрос надо модифицировать. Его мотивация была связана с предположением
$$\zeta(\sigma + ik)=\int\sum\delta(x-\ln n)\rm{}e^{-\sigma x}e^{-ikx}dx$$
Если это так, то можно также предположить, что вот это интегральное представление
$$\int\sum\delta(x-\ln p)\rm{}e^{-ikx}dx=?$$
выдаст для $k$ нетривиальные нули дзэта-функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение29.07.2016, 20:23 


19/07/16

9
bayak в сообщении #1140793 писал(а):
wert3 в сообщении #1140696 писал(а):
это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

Естественно. Случайный процесс как раз этим и отличается от детерминированного - может бать так или этак, но в итоге происходит то, что случилось.

Я не знаю о каких случайных процессах Вы говорите. В конвенциональной КМ нет никаких случайных процессов.
http://www.johnboccio.com/research/quan ... 010896.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group