2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение15.07.2016, 22:35 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
Попробую всё же формализовать. Пусть $\psi(x)$ это комплексная амплитуда вероятности, квадрат модуля которой равен вероятности нахождения кольца-окружности в точке $x$ образующей цилиндра, а аргумент равен азимутальной координате отмеченной точки окружности в случае появления кольца-окружности в точке $x$. Рассмотрим случайный процесс блуждания отмеченной точки кольца-окружности по поверхности цилиндра. Пусть элементарным случайным событием служит такое линейное движение, что за случайное время движения $\Delta t$ отмеченная точка движется по винтовой линии цилиндра так, что $\Delta\varphi=\omega\Delta t= k\Delta x$, где $k=\frac{ m}{\hbar}\frac{\Delta x}{\Delta t}$. Тогда, при условии равновероятности всех возможных случайных событий и при условии ограничения скорости элементарного случайного движения $-c<\frac{\Delta x}{\Delta t}<c$, имеет место формула сложения амплитуд вероятностей:
$\begin{equation*}
	$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$
\end{equation*}
$

где $C$ это нормировочный множитель, $y=x_{t+\Delta t}-x_{t}$, $\varphi_{t+\Delta t}= \Delta\varphi+\varphi_{0}(x)$, а $\varphi_{0}(x)$ это линия наблюдателя.

Вместе с тем, для марковской цепи случайных блужданий справедлива формула:
$\begin{equation*}
	\psi(x, t_{k})=\int\limits_{t_{0}}^{t_{k}}e^{i\varphi}\psi(x, t_{0})d\{y_{t}\}
\end{equation*}
$
где $\varphi=\int\limits_{t_{0}}^{t_{k}}\frac{d\varphi}{dt}dt$. Конечно, в этом выводе не хватает строгого математического обоснования, но интуитивно всё понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение15.07.2016, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63917
bayak в сообщении #1138081 писал(а):
Пусть элементарным случайным событием служит такое линейное движение, что за случайное время движения $\Delta t$ отмеченная точка движется по винтовой линии цилиндра так, что $\Delta\varphi=\omega\Delta t= k\Delta x$, где $k=\frac{ m}{\hbar}\frac{\Delta x}{\Delta t}$.

За счёт какого механизма?

bayak в сообщении #1138081 писал(а):
Тогда, при условии равновероятности всех возможных случайных событий и при условии ограничения скорости элементарного случайного движения $-c<\frac{\Delta x}{\Delta t}<c$, имеет место формула сложения амплитуд вероятностей:
$\begin{equation*}
$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$
\end{equation*}
$

Пока не вижу ничего нового по сравнению со стандартным УШ.

bayak в сообщении #1138081 писал(а):
Конечно, в этом выводе не хватает строгого математического обоснования, но интуитивно всё понятно.

Кроме того, откуда берётся множитель $i$ в показателе экспоненты.

Это всё банальность: аналогия между винеровским и фейнмановским интегралом общеизвестна, и все аналогии заканчиваются ровно там, где всплывает эта мнимая единица.

Цилиндр и кольцо здесь абсолютно не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение18.07.2016, 07:29 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
Давайте отодвинем пока в сторону вопрос о механизме линейного движения кольца нашей модели, но уточним структуру интегральной суммы, которая приводит к уравнению Шредингера. Итак, во-первых, в этой интегральной сумме из-за моей неаккуратности выпала мнимая единица в показателе экспоненты, поэтому правильная формула будет такая:
$\begin{equation*}
	$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{i\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$
\end{equation*}
$
во-вторых, для лучшего понимания сущности этого множителя следует пояснить, что амплитуда вероятности (математическое ожидание значения угла поворота кольца) нахождения кольца на цилиндре в точке с координатами $x_{t+\Delta t}$ равна сумме амплитуд вероятностей перехода в эту точку из всех возможных точек $x_{t}$, т.е. суммируются, изменяемые поворотом комплексной единицы на угол $\varphi_{t+\Delta t}$, все возможные амплитуды вероятностей $\psi(x, t)dy$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение20.07.2016, 07:41 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
Похоже мои формулы коробят не только физиков, но и математиков, поэтому я решил отделить параметры от переменной.
$\begin{equation*}
	$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}\rm{e}^{i\frac{my^2}{\hbar\Delta t}+i\varphi_{0}(x-y)}\psi(x-y, t)dy$
\end{equation*}
$
Возвращаясь к механизму линейного движения отмеченной точки кольца особенности по поверхности цилиндра, пока (ввиду отсутствия интереса) отмечу лишь, что тут следует представить движение парусника на глади цилиндрического моря.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение21.07.2016, 01:05 


19/07/16
9
bayak в сообщении #1134938 писал(а):
Пусть у нас имеется квантовая суперпозиция $\psi_3=c_1\psi_1 + c_2\psi_2$. Тогда её можно записать как классическое среднее $\psi_3=\rho_1e^{i\varphi_1}\psi_1 + \rho_2e^{i\varphi_2}\psi_2$ квантовых состояний $e^{i\varphi_1}\psi_1$ и $e^{i\varphi_2}\psi_2$. С другой стороны, если добавить одно свёрнутое измерение, то редуцированное одномерное квантовое состояние $\psi=e^{i(\varphi+\omega x)}$ можно интерпретировать как нахождение квантовой частицы на соответствующей винтовой линии цилиндра. Тем самым, квантовая суперпозиция сводится к вероятностному среднему нахождения частицы на соответствующих линиях цилиндра.

-- Чт июн 30, 2016 22:50:29 --

Наверно всё это чушь - я не учёл, что вероятности это квадраты комплексных коэффициентов.

А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение21.07.2016, 07:19 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
wert3 в сообщении #1139086 писал(а):
А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция :?:

С каких это пор кошки стали квантовыми субъектами.

В данной теме рассматривается аналогия между случайным блужданием по поверхности цилиндра и одномерной квантовой механикой, но блуждают там не кошки, а топологические особенности векторного поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 09:08 


19/07/16
9
bayak в сообщении #1139121 писал(а):
wert3 в сообщении #1139086 писал(а):
А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция :?:

С каких это пор кошки стали квантовыми субъектами.

кошки Шредингера это т.н. |cat state>

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:12 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
wert3 в сообщении #1140367 писал(а):
кошки Шредингера это т.н. |cat state>

Если |cat state> $=$ суперпозиция двух состояний, то это на самом деле либо одно либо другое состояние.

Пусть $\psi(k)$ плотность амплитуды вероятности скольжения частицы по винтовой линии $e^{ikx}$, т.е. вероятность равна $\psi(k)^{*}\psi(k)dk$, а фазовый сдвиг винтовой линии задаётся аргументом $\mathop{\arg}\psi(k)$. Иначе говоря, если частица скользит по винтовой линии с шагом $1/k$, то в этом случае винтовая линия имеет определённый фазовый сдвиг. Отсюда понятно, что функция
$$\psi(x)=\int \psi(k)e^{ikx}dk$$
это плотность амплитуды вероятности нахождения частицы на задающей окружности цилиндра, имеющей линейную координату $x$.
Обратно,
$$\psi(k)=\int \psi(x)e^{ikx}dx$$
Понятно, что с точки зрения физики эта интерпретация квантовой механики ничего нового не даёт. Однако в результате размышления над этой темой у меня возник математический вопрос.
Что это за функция от $k$?
$$\sum\limits_{-P}^{P}e^{ikp}$$
где $-P,P$ граница для простых чисел $p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21658
Уфа
Для математического вопроса уместно (1) создать отдельную тему в математическом разделе и (2) описать функцию точнее. Что за граница для простых чисел? $P\in\mathbb N$? Или само $P$ простое? И подразумевается, что $p$ простое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:34 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
arseniiv, учту. Подразумевается, что все "пэ" простые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение27.07.2016, 20:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21658
Уфа
Честно говоря, я сомневаюсь, что на вопрос «что это за функция» можно будет ответить что-то просветляющее. Если бы вопрос тоже стал конкретнее… Ну, увидим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение28.07.2016, 23:00 


19/07/16
9
bayak в сообщении #1140492 писал(а):
wert3 в сообщении #1140367 писал(а):
кошки Шредингера это т.н. |cat state>

Если |cat state> $=$ суперпозиция двух состояний, то это на самом деле либо одно либо другое состояние..

это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение29.07.2016, 14:00 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
wert3 в сообщении #1140696 писал(а):
это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

Естественно. Случайный процесс как раз этим и отличается от детерминированного - может бать так или этак, но в итоге происходит то, что случилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение29.07.2016, 20:00 


26/04/08
842
Гродно, Беларусь
arseniiv в сообщении #1140497 писал(а):
Честно говоря, я сомневаюсь, что на вопрос «что это за функция» можно будет ответить что-то просветляющее. Если бы вопрос тоже стал конкретнее… Ну, увидим.

Можно и конкретнее, но тот вопрос надо модифицировать. Его мотивация была связана с предположением
$$\zeta(\sigma + ik)=\int\sum\delta(x-\ln n)\rm{}e^{-\sigma x}e^{-ikx}dx$$
Если это так, то можно также предположить, что вот это интегральное представление
$$\int\sum\delta(x-\ln p)\rm{}e^{-ikx}dx=?$$
выдаст для $k$ нетривиальные нули дзэта-функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая суперпозиция как классическое среднее
Сообщение29.07.2016, 20:23 


19/07/16
9
bayak в сообщении #1140793 писал(а):
wert3 в сообщении #1140696 писал(а):
это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

Естественно. Случайный процесс как раз этим и отличается от детерминированного - может бать так или этак, но в итоге происходит то, что случилось.

Я не знаю о каких случайных процессах Вы говорите. В конвенциональной КМ нет никаких случайных процессов.
http://www.johnboccio.com/research/quan ... 010896.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group