Квантовая суперпозиция как классическое среднее

[bayak]

Попробую всё же формализовать. Пусть $\psi(x)$ это комплексная амплитуда вероятности, квадрат модуля которой равен вероятности нахождения кольца-окружности в точке $x$ образующей цилиндра, а аргумент равен азимутальной координате отмеченной точки окружности в случае появления кольца-окружности в точке $x$. Рассмотрим случайный процесс блуждания отмеченной точки кольца-окружности по поверхности цилиндра. Пусть элементарным случайным событием служит такое линейное движение, что за случайное время движения $\Delta t$ отмеченная точка движется по винтовой линии цилиндра так, что $\Delta\varphi=\omega\Delta t= k\Delta x$, где $k=\frac{ m}{\hbar}\frac{\Delta x}{\Delta t}$. Тогда, при условии равновероятности всех возможных случайных событий и при условии ограничения скорости элементарного случайного движения $-c<\frac{\Delta x}{\Delta t}<c$, имеет место формула сложения амплитуд вероятностей:
$\begin{equation*} $\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$ \end{equation*} $

где $C$ это нормировочный множитель, $y=x_{t+\Delta t}-x_{t}$, $\varphi_{t+\Delta t}= \Delta\varphi+\varphi_{0}(x)$, а $\varphi_{0}(x)$ это линия наблюдателя.

Вместе с тем, для марковской цепи случайных блужданий справедлива формула:
$\begin{equation*} \psi(x, t_{k})=\int\limits_{t_{0}}^{t_{k}}e^{i\varphi}\psi(x, t_{0})d\{y_{t}\} \end{equation*} $
где $\varphi=\int\limits_{t_{0}}^{t_{k}}\frac{d\varphi}{dt}dt$. Конечно, в этом выводе не хватает строгого математического обоснования, но интуитивно всё понятно.

[Munin]

bayak в сообщении #1138081 писал(а):

Пусть элементарным случайным событием служит такое линейное движение, что за случайное время движения $\Delta t$ отмеченная точка движется по винтовой линии цилиндра так, что $\Delta\varphi=\omega\Delta t= k\Delta x$, где $k=\frac{ m}{\hbar}\frac{\Delta x}{\Delta t}$.

За счёт какого механизма?

bayak в сообщении #1138081 писал(а):

Тогда, при условии равновероятности всех возможных случайных событий и при условии ограничения скорости элементарного случайного движения $-c<\frac{\Delta x}{\Delta t}<c$, имеет место формула сложения амплитуд вероятностей:
$\begin{equation*}
$\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$
\end{equation*}
$

Пока не вижу ничего нового по сравнению со стандартным УШ.

bayak в сообщении #1138081 писал(а):

Конечно, в этом выводе не хватает строгого математического обоснования, но интуитивно всё понятно.

Кроме того, откуда берётся множитель $i$ в показателе экспоненты.

Это всё банальность: аналогия между винеровским и фейнмановским интегралом общеизвестна, и все аналогии заканчиваются ровно там, где всплывает эта мнимая единица.

Цилиндр и кольцо здесь абсолютно не нужны.

[bayak]

Давайте отодвинем пока в сторону вопрос о механизме линейного движения кольца нашей модели, но уточним структуру интегральной суммы, которая приводит к уравнению Шредингера. Итак, во-первых, в этой интегральной сумме из-за моей неаккуратности выпала мнимая единица в показателе экспоненты, поэтому правильная формула будет такая:
$\begin{equation*} $\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}e^{i\varphi_{t+\Delta t}}\psi(x, t)dy$ \end{equation*} $
во-вторых, для лучшего понимания сущности этого множителя следует пояснить, что амплитуда вероятности (математическое ожидание значения угла поворота кольца) нахождения кольца на цилиндре в точке с координатами $x_{t+\Delta t}$ равна сумме амплитуд вероятностей перехода в эту точку из всех возможных точек $x_{t}$, т.е. суммируются, изменяемые поворотом комплексной единицы на угол $\varphi_{t+\Delta t}$, все возможные амплитуды вероятностей $\psi(x, t)dy$.

[bayak]

Похоже мои формулы коробят не только физиков, но и математиков, поэтому я решил отделить параметры от переменной.
$\begin{equation*} $\psi(x, t+\Delta t)=C\int\limits_{-c\Delta t}^{c\Delta t}\rm{e}^{i\frac{my^2}{\hbar\Delta t}+i\varphi_{0}(x-y)}\psi(x-y, t)dy$ \end{equation*} $
Возвращаясь к механизму линейного движения отмеченной точки кольца особенности по поверхности цилиндра, пока (ввиду отсутствия интереса) отмечу лишь, что тут следует представить движение парусника на глади цилиндрического моря.

[wert3]

bayak в сообщении #1134938 писал(а):

Пусть у нас имеется квантовая суперпозиция $\psi_3=c_1\psi_1 + c_2\psi_2$. Тогда её можно записать как классическое среднее $\psi_3=\rho_1e^{i\varphi_1}\psi_1 + \rho_2e^{i\varphi_2}\psi_2$ квантовых состояний $e^{i\varphi_1}\psi_1$ и $e^{i\varphi_2}\psi_2$. С другой стороны, если добавить одно свёрнутое измерение, то редуцированное одномерное квантовое состояние $\psi=e^{i(\varphi+\omega x)}$ можно интерпретировать как нахождение квантовой частицы на соответствующей винтовой линии цилиндра. Тем самым, квантовая суперпозиция сводится к вероятностному среднему нахождения частицы на соответствующих линиях цилиндра.

-- Чт июн 30, 2016 22:50:29 --

Наверно всё это чушь - я не учёл, что вероятности это квадраты комплексных коэффициентов.

А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция

[bayak]

wert3 в сообщении #1139086 писал(а):

А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция

С каких это пор кошки стали квантовыми субъектами.

В данной теме рассматривается аналогия между случайным блужданием по поверхности цилиндра и одномерной квантовой механикой, но блуждают там не кошки, а топологические особенности векторного поля.

[wert3]

bayak в сообщении #1139121 писал(а):

wert3 в сообщении #1139086 писал(а):

А если это суперпозиция мертвой и живой кошки, та какую кошку по Вашему описывает такая суперпозиция

С каких это пор кошки стали квантовыми субъектами.

кошки Шредингера это т.н. |cat state>

[bayak]

wert3 в сообщении #1140367 писал(а):

кошки Шредингера это т.н. |cat state>

Если |cat state> $=$ суперпозиция двух состояний, то это на самом деле либо одно либо другое состояние.

Пусть $\psi(k)$ плотность амплитуды вероятности скольжения частицы по винтовой линии $e^{ikx}$, т.е. вероятность равна $\psi(k)^{*}\psi(k)dk$, а фазовый сдвиг винтовой линии задаётся аргументом $\mathop{\arg}\psi(k)$. Иначе говоря, если частица скользит по винтовой линии с шагом $1/k$, то в этом случае винтовая линия имеет определённый фазовый сдвиг. Отсюда понятно, что функция

$$\psi(x)=\int \psi(k)e^{ikx}dk$$

это плотность амплитуды вероятности нахождения частицы на задающей окружности цилиндра, имеющей линейную координату $x$.
Обратно,

$$\psi(k)=\int \psi(x)e^{ikx}dx$$

Понятно, что с точки зрения физики эта интерпретация квантовой механики ничего нового не даёт. Однако в результате размышления над этой темой у меня возник математический вопрос.
Что это за функция от $k$?

$$\sum\limits_{-P}^{P}e^{ikp}$$

где $-P,P$ граница для простых чисел $p$.

[arseniiv]

Для математического вопроса уместно (1) создать отдельную тему в математическом разделе и (2) описать функцию точнее. Что за граница для простых чисел? $P\in\mathbb N$? Или само $P$ простое? И подразумевается, что $p$ простое?

[bayak]

arseniiv, учту. Подразумевается, что все "пэ" простые.

[arseniiv]

Честно говоря, я сомневаюсь, что на вопрос «что это за функция» можно будет ответить что-то просветляющее. Если бы вопрос тоже стал конкретнее… Ну, увидим.

[wert3]

bayak в сообщении #1140492 писал(а):

wert3 в сообщении #1140367 писал(а):

кошки Шредингера это т.н. |cat state>

Если |cat state> $=$ суперпозиция двух состояний, то это на самом деле либо одно либо другое состояние..

это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

[bayak]

wert3 в сообщении #1140696 писал(а):

это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

Естественно. Случайный процесс как раз этим и отличается от детерминированного - может бать так или этак, но в итоге происходит то, что случилось.

[bayak]

arseniiv в сообщении #1140497 писал(а):

Честно говоря, я сомневаюсь, что на вопрос «что это за функция» можно будет ответить что-то просветляющее. Если бы вопрос тоже стал конкретнее… Ну, увидим.

Можно и конкретнее, но тот вопрос надо модифицировать. Его мотивация была связана с предположением

$$\zeta(\sigma + ik)=\int\sum\delta(x-\ln n)\rm{}e^{-\sigma x}e^{-ikx}dx$$

Если это так, то можно также предположить, что вот это интегральное представление

$$\int\sum\delta(x-\ln p)\rm{}e^{-ikx}dx=?$$

выдаст для $k$ нетривиальные нули дзэта-функции.

[wert3]

bayak в сообщении #1140793 писал(а):

wert3 в сообщении #1140696 писал(а):

это так только после измерения, а до измерения |cat state> это суперпозиция.

Естественно. Случайный процесс как раз этим и отличается от детерминированного - может бать так или этак, но в итоге происходит то, что случилось.

Я не знаю о каких случайных процессах Вы говорите. В конвенциональной КМ нет никаких случайных процессов.
http://www.johnboccio.com/research/quan ... 010896.pdf