Квантовая суперпозиция как классическое среднее

[bayak]

wert3 в сообщении #1140882 писал(а):

Я не знаю о каких случайных процессах Вы говорите.

Я говорю о случайных процессах блуждания по поверхности цилиндра, которые моделируют динамику волновой функции одномерной квантовой механики.

[bayak]

В продолжение разговора о суперпозиции волновых функций приведу отрывок из собственного сочинения

Абсолютно не локализованная особенность служит кирпичиком для конструирования математического аппарата квантовой механики. Действительно, пусть абсолютно не локализованная особенность описывается волновой функцией $\Psi_{\Omega}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} S}$, где $S= \Omega \textbf{x}= \Omega_{t}t- \Omega_{x}x- \Omega_{y}y- \Omega_{z}z$ --- классическое фазовое действие не локализованной особенности. Тогда, вероятностную суперпозицию двух не локализованных особенностей можно описывать квадратом волновой функции
$ \begin{equation*} \Psi^2= c_{1}\bar{c}_{1}\Psi_{\Omega^1}+c_{2}\bar{c}_{2}\Psi_{\Omega^2} \qquad (1) \end{equation*} $
где $c_1,c_2 \in \mathbb{C}$, причем поскольку квадраты модулей этих комплексных коэффициентов задают вероятности наблюдения соответствующих случайных событий, то квадрат волновой функции имеет смысл математического ожидания. Однако, если учесть существование не локализованных особенностей со сдвигом фазового действия $\Psi_{\Omega,\varphi}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega \textbf{x} + \mathrm{i}\varphi}= \mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega \textbf{x}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}$, то можно "извлечь корень" из квадрата волновой функции $\Psi^2=\Psi^*\Psi$, где
$ \begin{equation*} \Psi= c_{1}\Psi_{\Omega^1}+c_{2}\Psi_{\Omega^2} =|c_1| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^1 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(c_1)} + |c_2| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^2 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(c_2)} \qquad (2) \end{equation*} \begin{equation*} \Psi^*= \bar{c}_{1}\Psi_{\Omega^1}+\bar{c}_{2}\Psi_{\Omega^2} =|\bar{c}_1| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^1 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(\bar{c}_1)} + |\bar{c}_2| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^2 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(\bar{c}_2)} \qquad (3) \end{equation*} $
Действительно, поскольку совместное случайное событие, состоящее из не локализованных особенностей $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^1 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(c_1)}$ и $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^1 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(\bar{c}_1)}$ есть не локализованная особенность $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^1 \textbf{x}}$, соответственно совместное случайное событие, состоящее из не локализованных особенностей $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^2 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(c_2)}$ и $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^2 \textbf{x} + \mathrm{i}\operatorname{\arg}(\bar{c}_2)}$ есть не локализованная особенность $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^2 \textbf{x}}$, то, умножая соответствующие вероятности и собственно случайные события, получаем свертку волновых функций
$ \begin{equation*} \Psi^2=\Psi^*\Psi =|c_1||\bar{c}_1| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^1 \textbf{x}} + |c_2||\bar{c}_2| \mathrm{e}^{\mathrm{i} \Omega^2 \textbf{x}} \qquad (4) \end{equation*} $
Таким образом, волновую функцию $\Psi$ следует интерпретировать как суперпозицию не локализованных особенностей, равную квадратному корню из математического ожидания. С другой стороны, волновую функцию $\Psi(\textbf{x})$ можно интерпретировать как амплитуду вероятности локализации особенности, где $\Psi^*(\textbf{x})\Psi(\textbf{x})$ -- вероятность локализации особенности с нулевой фазой в точке $\textbf{x}$, а $\operatorname{\arg}(\Psi(\textbf{x}))}$ -- фаза локализованной особенности. Понятно, что от суперпозиции из двух не локализованных особенностей можно перейти к конечному, счетному и даже непрерывному случаю
$ \begin{equation*} \psi(\textbf{x})=\int c(\textbf{k})\mathrm{e}^{\mathrm{i} \textbf{k} \textbf{x}}\mathrm{d}\textbf{k} \qquad (5) \end{equation*} $
Упрощая непрерывную волновую функцию до одного измерения и применяя к ней интегральное преобразование фурье, получим волновую функцию
$ \begin{equation*} \psi(k)=\int c(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i} k x}\mathrm{d}x \qquad (6) \end{equation*} $
которая подсказывает нам, что пространство локализованных особенностей дуально к пространству не локализованных особенностей. Таким образом, локализованные особенности также могут служить кирпичиками для построения математического аппарата квантовой механики.

В качестве иллюстрации наших аналогий с квантовой физикой покажем сейчас, что в классическом пределе марковский процесс случайного блуждания локализованной особенности приводит к фейнмановской формулировке квантовой механики. Пусть вероятностное поведение локализованной особенности описывается марковским процессом случайного блуждания, в котором элементарным случайным событием является свободный пробег. Со свободным пробегом мы свяжем такие случайные величины как абсолютное время свободного пробега $\Delta \tau$, длину свободного пробега $\Delta x$ в евклидовом пространстве наблюдателя и фазовую длину свободного пробега $\Delta\phi=\text{k}\Delta x + \varphi$, где $\textbf{k}=\frac{m}{\hbar}\frac{\Delta x}{\Delta \tau}$, $\varphi$ -- начальная фаза локализованной особенности. Тогда, учитывая равную вероятность всех свободных пробегов (не локализованных особенностей) и заменив для удобства обозначения длину свободного пробега $\Delta x$ на $y$, без учета нормировочного множителя получим интегральную сумму
$ \begin{equation*} \psi(x,\tau_0 \rightarrow \tau_0 + \Delta \tau)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{my^2}{\hbar\Delta \tau} + \mathrm{i}\varphi(x-y)}\psi(x-y,\tau_0)\mathrm{d}y} \qquad (7) \end{equation*} $
которая вычисляет амплитуду локализации особенности в точке $x$ в конечный момент времени свободного пробега $\tau_0 + \Delta \tau$ по значениям амплитуды вероятности локализации особенности в точках $x-y$ в начальный момент времени свободного пробега $\tau_0$. Амплитуда вероятности локализации особенности за два свободных пробега вычисляется как произведение двух интегральных сумм
$ \begin{equation*} \psi(x,\tau_0 \rightarrow \tau_0 + \Delta \tau_1)\times\psi(x,\tau_0 + \Delta \tau_1 \rightarrow \tau_0 + \Delta \tau_1 + \Delta \tau_2)=\\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{my^2}{\hbar\Delta \tau_1} + \mathrm{i}\varphi(x-y)}\psi(x-y,\tau_0)\mathrm{d}y} \times \\ \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} \frac{my^2}{\hbar\Delta \tau_2} + \mathrm{i}\varphi(x-y)}\psi(x-y, \tau_0 \rightarrow \tau_0 + \Delta \tau_1)\mathrm{d}y} \qquad (8) \end{equation*} $
В свою очередь, амплитуда вероятности локализации особенности за $n$ свободных пробегов вычисляется как произведение $n$ интегральных сумм
$ \begin{equation*} \prod\limits_{i=1}^{n}\psi(x,\tau_0 + \cdots + \Delta \tau_{i-1} \rightarrow \tau_0 + \cdots + \Delta \tau_{i-1} + \Delta \tau_{i})=\\ \psi(x,\tau_0 \rightarrow \tau_0 + \Delta \tau_1)\times\cdots \times \psi(x,\tau_0 + \cdots + \Delta \tau_{n-1} \rightarrow \tau_0 + \cdots + \Delta \tau_{n-1} + \Delta \tau_{n}) \qquad (9) \end{equation*} $
Таким образом, фейнмановский интеграл по траекториям это предел произведений
$ \begin{equation*} \lim_{\Delta \tau_{i}\rightarrow 0\atop n \rightarrow \infty}\prod\limits_{i=1}^{n}\psi(x,\tau_0 + \cdots + \Delta \tau_{i-1} \rightarrow \tau_0 + \cdots + \Delta \tau_{i-1} + \Delta \tau_{i}) \qquad (10) \end{equation*} $
и поэтому, имея ввиду представление интегральных сумм пределом конечных сумм, функциональный интеграл можно представить (точнее говоря, дать математически строгое определение) как бесконечный предел конечного произведения конечных сумм.

[oniksofers]

bayak в сообщении #1220171 писал(а):

имея ввиду представление интегральных сумм пределом конечных сумм, функциональный интеграл можно представить (точнее говоря, дать математически строгое определение) как бесконечный предел конечного произведения конечных сумм.

Не вдавался в подробности ваших изысканий, однако вынужден заметить, что когда мы говорим о функциональном интеграле, как о пределе конечнократных, это так или иначе есть интерполяция нашего объекта. Широко известно, что ответы зависят от способа интерполяции, поэтому такие "математические" определения - пуск пыли в глаза. Более подробно можно почитать у Березина ТМФ 1971 т.6 с.194. Наверное есть более свежие обзоры, но я как то не углублялся в тему. И вообще, как известно мера Винера далеко не тоже самое, что псевдомера Фейнмана.

[bayak]

oniksofers в сообщении #1221444 писал(а):

Широко известно, что ответы зависят от способа интерполяции, поэтому такие "математические" определения - пуск пыли в глаза.

Спасибо за замечание. Я так понял - считается, что функциональный интеграл чувствителен к способу деления на конечные интервалы. А регулярное деление не покатит?

[oniksofers]

bayak в сообщении #1221451 писал(а):

что функциональный интеграл чувствителен к способу деления на конечные интервалы

Показано, например в работе Алимова "О Фейнмановском континуальном интеграле", что ответы коренным образом зависят от способа "деления". Опять же, есть наверное более свежие вещи по этому поводу. Можете посмотреть еще про континуальный интеграл у Смолянова, Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. Но это очень серьезная книжка.

[bayak]

oniksofers в сообщении #1221455 писал(а):

Показано, например в работе Алимова "О Фейнмановском континуальном интеграле", что ответы коренным образом зависят от способа "деления".

Боюсь моей квалификации недостаточно для быстрого понимания сути дела. Однако, поскольку вы в теме, то может быть в двух словах поясните откуда там вылазит многозначность? Что касается моих построений, то они вроде бы однозначны. По сути я соорудил конструкцию

$$ \lim_{|x_{j}-x_{j-1}|\rightarrow 0 \atop |\tau_{i}-\tau_{i-1}|\rightarrow 0}\prod\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(\tau_i,x-x_j) $$

которую следует дополнить полуклассическим условием

$$|x-x_j|<c(\tau_i - \tau_{i-1})$$

Что-то не верится, что результат зависит от способа разбиения пространственной и временной координаты.

[bayak]

bayak в сообщении #1221562 писал(а):

oniksofers в сообщении #1221455 писал(а):

Показано, например в работе Алимова "О Фейнмановском континуальном интеграле", что ответы коренным образом зависят от способа "деления".

Боюсь моей квалификации недостаточно для быстрого понимания сути дела. Однако, поскольку вы в теме, то может быть в двух словах поясните откуда там вылазит многозначность? Что касается моих построений, то они вроде бы однозначны. По сути я соорудил конструкцию

$$ \lim_{|x_{j}-x_{j-1}|\rightarrow 0 \atop |\tau_{i}-\tau_{i-1}|\rightarrow 0}\prod\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}f(\tau_i - \tau_{i-1},x-x_j) $$

которую следует дополнить полуклассическим условием

$$|x-x_j|<c(\tau_i - \tau_{i-1})$$

Что-то не верится, что результат зависит от способа разбиения пространственной и временной координаты.

Исправлена область определения функции - стало так $f(\tau_i - \tau_{i-1},x-x_j)$

[bayak]

Попробую ещё раз дать пояснения о конструкции континуального интеграла.

$$\lim_{N\rightarrow \infty}\coprod_{k=1}^{M} \psi(\tau_{N},x_{k})= \prod_{i=0}^{N}\coprod_{k=1}^{M} \psi(\tau_{i},x_{k})= \\ \lim_{|\tau_{i}-\tau_{i-1}|\rightarrow 0 \atop |x_{j}-x_{j-1}|\rightarrow 0} \prod_{i=0}^{N} \coprod_{k=1}^{M} \sum_{j=1}^{M}F((\tau_{i}-\tau_{i-1}),(x_{k}-x_{j})) \psi(\tau_{i-1},x_{j}) $$

[пианист]

Бросьте Вы это, зря только время и силы тратите.
Эту тему Вам осилить примерно как стометровку за 9 секунд пробежать.

[bayak]

пианист, про какую тему речь? Если Вы имеете в виду последнюю формулу, то готов на этом и закончить, а если Вы предлагаете вообще всё бросить, то увы - охота пуще неволи.

[пианист]

Про континуальные интегралы.