Ряд интересных задач

[VSSISTU]

Здесь ряд задач с олимпиад по математике:
1) Найти преобразование Лаппласа функции f(t) = sign sin t
2) Точка Z комплексной плоскости перемещается по окружности |Z|=1. Перемещение происходит в моменты времени t=0,1,2…n… на угол 2pi/3 с вероятностью p и на –2pi/3 с вероятностью q. Найти математическое ожидание Z. В момент t=0 Z=1.
3) Из однородной пластинки x,y>= 0, x^2+y^2<=1 вырезан квадрат x<= 0.5, y<= 0.5. Где находится центр массы оставшейся части ?
4) Найти математическое ожидание max(x1,x2), где x1 и x2 независимые измерения случайной величины, распределенной равномерно на [0,1].
5) Вычислить \int_{0}^{\pi} \frac{sin nx}{sin x} dx (n – целое >0).
6) Показать, что \int_{0}^{x} \frac{sin x}{x} dx > 0 при x>0
7) В круг r <=1 наудачу бросается точка Р. Затем она движется согласно уравнения $ \left\{ \begin{array}{l} \frac{d\rho}{dt}=sin\frac{\pi}{\rho},\\ \frac{d\varphi}{dt}=1, \end{array} \right. $
Какова вероятность для этой точки пересечь при t>0 отрезок луча \varphi=\frac{\pi}{2} с 0,49\leqslant\rho\leqslant0.51
p.s. Просьба пояснять решения

[Руст]

Все задачи стандартные и простые. Например ответ для 7 Р=1.

[VSSISTU]

Ну не знаю кому как предлагались на Всероссийской студенческой олимпиады по математике
( Н.Новгород, 1997 г.)

[TOTAL]

Руст писал(а):

Все задачи стандартные и простые. Например ответ для 7 Р=1.

У меня получается

$$P=\frac{8}{9}$$

Точка притягивается к орбитам

$$r=\frac{1}{2n}$$

, остается внутри колец

$$\frac{1}{2n+1} < r < \frac{1}{2n-1}$$

[Руст]

Да я то же заметил, что орбита притягивается, поэтому не считая написал 1. Однако область притяжения для радиуса 1/2 не весь круг, а только круг $r>1/3$. Соответственно $P=\frac{8}{9}.$ Думаю, что эта задача наиболее интересная среди них.

[VSSISTU]

Ну а вторая тоже интересная

[ИСН]

VSSISTU писал(а):

Ну а вторая тоже интересная

Это как посмотреть. У нас три состояния; рисуется марковская матрица, приводится, возводится в произвольную степень - всего и делов-то...

[TOTAL]

VSSISTU писал(а):

Ну а вторая тоже интересная

$$1=p_0 + p_+ + p_-$$

,
где

$$p_0, \; p_+,\; p_-$$

- вероятности для точки быть застигнутой в положении "исходном", "против ч. стрелки", " по ч. стрелке".

$$p_0 = pp_- +(1-p-q)p_0 + qp_+$$

$$p_+ = pp_0 +(1-p-q)p_+ + qp_-$$

$$p_- = pp_+ +(1-p-q)p_- + qp_0$$

Откуда

$$p_0 =p_- = p_+=\frac{1}{3}$$

, т.е. ожидаемое положение - в центре круга (если

$$p^2 + q^2 >0$$

).

[Kid Kool]

VSSISTU писал(а):

5) Вычислить \int_{0}^{\pi} \frac{sin nx}{sin x} dx (n – целое >0).

0, если n четно и $\pi$ в противном случае. Распиши комплексную форму для синуса.

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

VSSISTU писал(а):

6) Показать, что \int_{0}^{x} \frac{sin x}{x} dx > 0 при x>0

Рассмотреть функцию на участках $[{2\pi}k,{2\pi}k+\pi]$ и $[{2\pi}k+\pi,{2\pi}(k+1)]$.

[нг]

VSSISTU
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

[Azog]

1-я задача - простая, нужно делать преобразование от каждого отрезка где функция отлична от нуля. Наверняка что-нибудь сократиться =) а после этого получить ряд - и его суммирование не должно представлять сложности..

[Kid Kool]

VSSISTU писал(а):

3) Из однородной пластинки x,y>= 0, x^2+y^2<=1 вырезан квадрат x<= 0.5, y<= 0.5. Где находится центр массы оставшейся части ?

В точке (0,0)

[TOTAL]

Kid Kool писал(а):

VSSISTU писал(а):

3) Из однородной пластинки x,y>= 0, x^2+y^2<=1 вырезан квадрат x<= 0.5, y<= 0.5. Где находится центр массы оставшейся части ?

В точке (0,0)

На такой ответ составители и рассчитывали?

[Kid Kool]

Ах, там же еще и x, y $\geq$ 0

[VSSISTU]

Я сам сначала так и подумал