Вычисление одностороннего предела

[NEvOl]

Помогите пожалуйста разобраться с тем как вычислять односторонние пределы.
На простом вроде все понятно, например:

$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{x-4}=\frac{1}{4+0-4}=\frac{1}{+0}=+\infty$$

тоже самое с левосторонним:

$$\lim\limits_{x\to4-0}\frac{1}{x-4}=\frac{1}{4-0-4}=\frac{1}{-0}=-\infty$$

Но вот с примером посложнее начинаю путаться:

$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(4+0)}^{3}-3{(4+0)}^{2}-4(4+0)}$$

Рассуждаю след. образом: ${(4+0)}^{3}=64+0$ т.к.$4+0>4$
$-3{(4+0)}^{2}=-3(16+0)=-(48+0)=-48-0$
$-4(4+0)=-(16+0)=-16-0$
в итоге:

$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(4+0)}^{3}-3{(4+0)}^{2}-4(4+0)}=\frac{1}{64+0-48-0-16-0}=$$

$$=\frac{1}{64-64-0}=\frac{1}{-0}=-\infty$$

Или другой пример:

$$\lim\limits_{x\to-1-0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(-1-0)}^{3}-3{(-1-0)}^{2}-4(-1-0)}$$

${(-1-0)}^{3}=-1-0$;
$-3{(-1-0)}^{2}=-3(1+0)=-(3+0)=-3-0$
$-4(-1-0)=-(-4-0)=4+0$
в итоге:

$$\lim\limits_{x\to-1-0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(-1-0)}^{3}-3{(-1-0)}^{2}-4(-1-0)}=$$

$$=\frac{1}{-1-0-3-0+4+0}=\frac{1}{-4-0+4}=\frac{1}{-0}=-\infty$$

Подскажите пожалуйста, мои рассуждения верны или нет, если нет поправьте пожалуйста.

[Mihr]

NEvOl, чтобы не путаться, разложите на множители знаменатель. Поскольку 4 - корень многочлена, этот многочлен обязан делиться на $x-4$. После разложения на множители, думаю, сами увидите, что к чему.
А "рассуждения" типа $0-0-0=-0$ ни к чему хорошему не приведут.

Во втором примере аналогично. Нужно разложить на множители, выделив двучлен $x+1$.

[ewert]

NEvOl в сообщении #1137841 писал(а):

Но вот с примером посложнее начинаю путаться:

$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(4+0)}^{3}-3{(4+0)}^{2}-4(4+0)}$$

Mihr в сообщении #1137843 писал(а):

чтобы не путаться, разложите на множители знаменатель

NEvOl, это вот что означает. Запись типа "+0" хороша только тогда, когда стоит в одиночестве. Ну или на худой конец тогда, когда эти плюснули складываются. Но как только начинают вычитаться -- пиши пропало. Поскольку у каждого плюснуля своё, интимное поведение вблизи нуля, о котором все остальные плюснули не могут даже и догадываться.

[NEvOl]

Mihr
хм, после разложения получил следующее:
$\lim\limits_{x\to4+0}$$$\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(4+0)(4+0-4)(4+0+1)}=\frac{1}{(4+0)(+0)(5+0)}=\frac{1}{+0}=+\infty$
соответственно:
$\lim\limits_{x\to-1-0}$$$\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(-1-0)(-1-0-4)(-1-0+1)}=\frac{1}{(1+0)(5+0)(-0)}=\frac{1}{-0}=-\infty$
Вы это имели ввиду или я вас неправильно понял ?

[Mihr]

NEvOl, это и имел в виду. Всё правильно.

[Dmitriy40]

Я бы предложил ещё другой способ: взять производную знаменателя и посмотреть больше или меньше нуля она в интересующих точках и соответственно больше или меньше сама функция (знаменатель) в непосредственной окрестности интересующей точки. И соответственно какой знак у нуля надо взять.
Если первая производная окажется тоже равной нулю в интересующей точке, то взять и следующую производную, и следующую ...
Работает не всегда (или таки всегда?), но и разложение на множителя работает далеко не всегда, а производную посчитать проще разложения.

[Mihr]

Dmitriy40, ну, в случае многочленов разложение на множители должно работать безотказно. Конечно, не обязательно это разложение доводить до конца, достаточно выделить стремящийся к нулю множитель.
Что касается Вашего предложения привлечь производную: такие задачи, типа приведённой здесь, обычно рассматриваются почти в самом начале курса матанализа, когда только вводится понятие предела функции, и студенты впервые учатся подобные пределы находить. Поэтому Ваше предложение использовать здесь производную - это, вроде бы, "игра не по правилам". А так - да, конечно, производная полезна для простого и быстрого вычисления предела. Лопиталь за это ручается

[Dmitriy40]

(Замечание про разложение многочленов)

Mihr
Ага, понятно, спасибо, уже подзабыл что в каком порядке преподаётся. А Лопиталь тут кажется не к месту, неопределённости нет.
Про многочлены же ... Хотел привести способ оценки без разложения на множители (высокие степени раскладываются исключительно в учебных задачах) и без взятия производных, разложением по порядку малости приращения, но потом подумал про нечто наподобии $\lim\limits_{x\to\pi+0}\dfrac{1}{\sin x}$ и ... не стал ограничиваться лишь удобными многочленами.

[Mihr]

(Dmitriy40)

Dmitriy40 в сообщении #1137902 писал(а):

А Лопиталь тут кажется не к месту, неопределённости нет.

Разумеется. Лопиталь - это просто к вопросу о пользе операции дифференцирования при вычислении пределов. Но это для студента будет значительно позднее первоначального знакомства с пределами. Уже после изучения понятия производной и различных теорем о среднем (Ролля, Лагранжа, Коши).

[NEvOl]

Mihr
что бы убедиться что я до конца понял операции с бесконечно малыми величинами, еще один пример:

$$\lim\limits_{x\to0+0}=\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(+0)(+0-4)(+0+1)}=\frac{1}{-(4-0)(1+0)(+0)}=\frac{1}{-0}=-\infty$$

$$\lim\limits_{x\to0-0}=\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(-0)(-0-4)(-0+1)}=\frac{1}{-(4+0)(1-0)(-0)}=\frac{1}{+0}=+\infty$$

[Mikhail_K]

NEvOl, ну да, всё верно.
P.S. Вместо $x\to 0+0$ и $x\to 0-0$ лучше писать короче: $x\to +0$ и $x\to -0$.

[Mihr]

Mikhail_K в сообщении #1137956 писал(а):

ну да, всё верно.

Согласен. С одним замечанием: непосредственно после знака предела символ "равно" не ставится

[NEvOl]

Вот еще вопрос возник, предел вида:

$$\lim\limits_{x\to-1+0}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

Пробовал решать так:

$$\lim\limits_{x\to-1+0}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\to-1+0}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}=\frac{1}{\sqrt{(-1+0-1)(-1+0+1)}}=\frac{1}{\sqrt{(-2+0)(+0)}}=$$

$$=\frac{1}{\sqrt{-(2-0)(+0)}}=\frac{1}{\sqrt{-0}}$$

Но функция корня не определена ведь для значений меньше 0, подскажите пожалуйста, где я ошибся(

[Mihr]

Этот предел не существует (если функция подразумевается вещественной). Здесь ошибка в условии, а не у Вас.

[iifat]

И правда что. Начинать надо с области определения.