2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вычисление одностороннего предела
Сообщение14.07.2016, 19:43 


14/07/16
57
Помогите пожалуйста разобраться с тем как вычислять односторонние пределы.
На простом вроде все понятно, например:
$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{x-4}=\frac{1}{4+0-4}=\frac{1}{+0}=+\infty$$
тоже самое с левосторонним:
$$\lim\limits_{x\to4-0}\frac{1}{x-4}=\frac{1}{4-0-4}=\frac{1}{-0}=-\infty$$
Но вот с примером посложнее начинаю путаться:
$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(4+0)}^{3}-3{(4+0)}^{2}-4(4+0)}$$
Рассуждаю след. образом: ${(4+0)}^{3}=64+0$ т.к.$4+0>4$
$-3{(4+0)}^{2}=-3(16+0)=-(48+0)=-48-0$
$-4(4+0)=-(16+0)=-16-0$
в итоге:
$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(4+0)}^{3}-3{(4+0)}^{2}-4(4+0)}=\frac{1}{64+0-48-0-16-0}=$$$$=\frac{1}{64-64-0}=\frac{1}{-0}=-\infty$$

Или другой пример:
$$\lim\limits_{x\to-1-0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(-1-0)}^{3}-3{(-1-0)}^{2}-4(-1-0)}$$
${(-1-0)}^{3}=-1-0$;
$-3{(-1-0)}^{2}=-3(1+0)=-(3+0)=-3-0$
$-4(-1-0)=-(-4-0)=4+0$
в итоге:
$$\lim\limits_{x\to-1-0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(-1-0)}^{3}-3{(-1-0)}^{2}-4(-1-0)}=$$$$=\frac{1}{-1-0-3-0+4+0}=\frac{1}{-4-0+4}=\frac{1}{-0}=-\infty$$

Подскажите пожалуйста, мои рассуждения верны или нет, если нет поправьте пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение14.07.2016, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
NEvOl, чтобы не путаться, разложите на множители знаменатель. Поскольку 4 - корень многочлена, этот многочлен обязан делиться на $x-4$. После разложения на множители, думаю, сами увидите, что к чему.
А "рассуждения" типа $0-0-0=-0$ ни к чему хорошему не приведут.

Во втором примере аналогично. Нужно разложить на множители, выделив двучлен $x+1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение14.07.2016, 20:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
NEvOl в сообщении #1137841 писал(а):
Но вот с примером посложнее начинаю путаться:
$$\lim\limits_{x\to4+0}\frac{1}{{x}^{3}-3{x}^2-4x}=\frac{1}{{(4+0)}^{3}-3{(4+0)}^{2}-4(4+0)}$$

Mihr в сообщении #1137843 писал(а):
чтобы не путаться, разложите на множители знаменатель

NEvOl, это вот что означает. Запись типа "+0" хороша только тогда, когда стоит в одиночестве. Ну или на худой конец тогда, когда эти плюснули складываются. Но как только начинают вычитаться -- пиши пропало. Поскольку у каждого плюснуля своё, интимное поведение вблизи нуля, о котором все остальные плюснули не могут даже и догадываться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение14.07.2016, 21:11 


14/07/16
57
Mihr
хм, после разложения получил следующее:
$\lim\limits_{x\to4+0}$$$\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(4+0)(4+0-4)(4+0+1)}=\frac{1}{(4+0)(+0)(5+0)}=\frac{1}{+0}=+\infty$
соответственно:
$\lim\limits_{x\to-1-0}$$$\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(-1-0)(-1-0-4)(-1-0+1)}=\frac{1}{(1+0)(5+0)(-0)}=\frac{1}{-0}=-\infty$
Вы это имели ввиду или я вас неправильно понял ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение14.07.2016, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
NEvOl, это и имел в виду. Всё правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение14.07.2016, 21:33 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва
Я бы предложил ещё другой способ: взять производную знаменателя и посмотреть больше или меньше нуля она в интересующих точках и соответственно больше или меньше сама функция (знаменатель) в непосредственной окрестности интересующей точки. И соответственно какой знак у нуля надо взять.
Если первая производная окажется тоже равной нулю в интересующей точке, то взять и следующую производную, и следующую ...
Работает не всегда (или таки всегда?), но и разложение на множителя работает далеко не всегда, а производную посчитать проще разложения. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение14.07.2016, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
Dmitriy40, ну, в случае многочленов разложение на множители должно работать безотказно. Конечно, не обязательно это разложение доводить до конца, достаточно выделить стремящийся к нулю множитель.
Что касается Вашего предложения привлечь производную: такие задачи, типа приведённой здесь, обычно рассматриваются почти в самом начале курса матанализа, когда только вводится понятие предела функции, и студенты впервые учатся подобные пределы находить. Поэтому Ваше предложение использовать здесь производную - это, вроде бы, "игра не по правилам". А так - да, конечно, производная полезна для простого и быстрого вычисления предела. Лопиталь за это ручается :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение15.07.2016, 00:52 
Заслуженный участник


20/08/14
11687
Россия, Москва

(Замечание про разложение многочленов)

Mihr
Ага, понятно, спасибо, уже подзабыл что в каком порядке преподаётся. А Лопиталь тут кажется не к месту, неопределённости нет.
Про многочлены же ... Хотел привести способ оценки без разложения на множители (высокие степени раскладываются исключительно в учебных задачах) и без взятия производных, разложением по порядку малости приращения, но потом подумал про нечто наподобии $\lim\limits_{x\to\pi+0}\dfrac{1}{\sin x}$ и ... не стал ограничиваться лишь удобными многочленами. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение15.07.2016, 01:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984

(Dmitriy40)

Dmitriy40 в сообщении #1137902 писал(а):
А Лопиталь тут кажется не к месту, неопределённости нет.

Разумеется. Лопиталь - это просто к вопросу о пользе операции дифференцирования при вычислении пределов. Но это для студента будет значительно позднее первоначального знакомства с пределами. Уже после изучения понятия производной и различных теорем о среднем (Ролля, Лагранжа, Коши).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение15.07.2016, 10:59 


14/07/16
57
Mihr
что бы убедиться что я до конца понял операции с бесконечно малыми величинами, еще один пример:
$$\lim\limits_{x\to0+0}=\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(+0)(+0-4)(+0+1)}=\frac{1}{-(4-0)(1+0)(+0)}=\frac{1}{-0}=-\infty$$
$$\lim\limits_{x\to0-0}=\frac{1}{x(x-4)(x+1)}=\frac{1}{(-0)(-0-4)(-0+1)}=\frac{1}{-(4+0)(1-0)(-0)}=\frac{1}{+0}=+\infty$$
:oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение15.07.2016, 11:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4834
NEvOl, ну да, всё верно.
P.S. Вместо $x\to 0+0$ и $x\to 0-0$ лучше писать короче: $x\to +0$ и $x\to -0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение15.07.2016, 11:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
Mikhail_K в сообщении #1137956 писал(а):
ну да, всё верно.

Согласен. С одним замечанием: непосредственно после знака предела символ "равно" не ставится :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение17.07.2016, 12:27 


14/07/16
57
Вот еще вопрос возник, предел вида:
$$\lim\limits_{x\to-1+0}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$
Пробовал решать так:
$$\lim\limits_{x\to-1+0}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\lim\limits_{x\to-1+0}\frac{1}{\sqrt{(x-1)(x+1)}}=\frac{1}{\sqrt{(-1+0-1)(-1+0+1)}}=\frac{1}{\sqrt{(-2+0)(+0)}}=$$$$=\frac{1}{\sqrt{-(2-0)(+0)}}=\frac{1}{\sqrt{-0}}$$
Но функция корня не определена ведь для значений меньше 0, подскажите пожалуйста, где я ошибся(

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение17.07.2016, 12:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
Этот предел не существует (если функция подразумевается вещественной). Здесь ошибка в условии, а не у Вас.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление одностороннего предела
Сообщение17.07.2016, 12:50 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
И правда что. Начинать надо с области определения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group