СУ с параметром

[stedent076]

Добрый день!
Для каждого значения параметра $a$ укажите все решения системы уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} &y^2-3y\log_2(4x^2+(14a-10)x+8(a-1))+2\log_4^2(4x^2+(6-2a)x+4a^2-8a+4)^2=0\\ &5y^2-8y\log_4^2(4x^2+(6-2a)x+4a^2-8a+4)^2+3\log_2(4x^2+(14a-10)x+8(a-1))=0& \\ \end{array} \right.$$

Обозначим $3\log_2(4x^2+(14a-10)x+8(a-1))=a$; $\log_4^2(4x^2+(6-2a)x+4a^2-8a+4)^2=с$
тогда:$$\left\{ \begin{array}{rcl} &y^2-ay+2b=0\\ &5y^2-8by+a=0& \\ \end{array} \right.$
Дискриинанты обоих уравнений системы должны быть неотрицательными, поэтому:
$$\left\{ \begin{array}{rcl} &a^2-8b\geqslant 0\\ &(8b)^2-20a\geqslant 0& \\ \end{array} \right.$
Так же:
$4x^2+(14a-10)x+8(a-1)>0$
Пробовал разложить подлагорифмические уравнения на множители, но из-за иррациональности корней получались кошмарные выражения. Может быть нужно составить систему ограничений на параметр, из которых следует, что последний может принимать лишь конечное множество значений? Подскажите, пожалуйста, что делать с этой системой дальше)

[svv]

Буква $a$ уже занята, поэтому обозначать через $a$ что-то другое, чем исходное $a$, нельзя.

[12d3]

stedent076 в сообщении #1137834 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что делать с этой системой дальше)

Для начала стоит перепроверить несколько раз свой пост, потому что в нем есть странные конструкции вроде $(\log_4)^2$ и изначальная система несколько не соответствует упрощенной.

[stedent076]

Lia: внесены исправления в стартовый пост.

svv
Поменяем на $c$, это не суть)

12d3 в сообщении #1137842 писал(а):

странные конструкции

имеется ввиду логарифм в квадрате.

Прошу прощения, там первое уравнение имеет такой вид:
$y^2-3y\log_2(4x^2+(14a-10)x+8(a-1))+2(\log_4)^2(4x^2+(6-2a)x+4a^2-8a+4)^2=0$

[Someone]

stedent076 в сообщении #1137873 писал(а):

имеется ввиду логарифм в квадрате.

Нет. Логарифм в квадрате записывается как $\log_a^2(\ldots)$ или $(\log_a(\ldots))^2$.

[stedent076]

Someone
ок

-- 15.07.2016, 00:38 --

Я благодарю всех тех, кто указал на неточности в оформлении. Я буду крайне признателен человеку, который наметит путь решения этой задачи)

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Пожалуйста, исправьте исходную систему. Не надо благодарить, просто исправьте. Осталось по-прежнему непонятным, что там - квадрат логарифма, логарифм квадрата или квадрат логарифма квадрата.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

stedent076 в сообщении #1137834 писал(а):

Для каждого значения параметра $a$ укажите все решения системы уравнений

Меня заинтересовал чуть более простой вопрос. Для каких пар $(x, a)$ существует такое $y$, что система удовлетворяется? Такие пары буду называть подходящими.
Выберем произвольные $x$ и $a$. Возможны два случая:
$\bullet$ ни при каком $y$ система не удовлетворяется;
$\bullet$ существует единственное подходящее $y$.
Почему в последнем случае $y$ единственно? Сложим уравнения системы с такими коэффициентами, чтобы $y^2$ сократилось, получим $(15c-8b)y=10b-3c$, где
$c=\log_2(4x^2+(14a-10)x+8(a-1))$
$b=\left(\log_2 (4x^2+(6-2a)x+4a^2-8a+4)\right)^2$
(у Вас чуть иначе). Решение этого уравнения неединственно только в случае $c=b=0$, но тогда исходная система даёт $y=0$.

Раз вычисление $y$ при известных $x, a$ тривиально, я только ищу множество подходящих пар $(x, a)$. Для этого я написал программу. Меня интересовали не точные значения, а общая картина, поэтому результат представлен графически:

Здесь горизонтальная координата $x$, вертикальная $a$. Самое интересное происходит в квадрате $x\in[-2,1], a\in[-0.5,2.5]$, он и изображён. Точки серого цвета — это те, у которых хотя бы один из аргументов логарифма $\leqslant 0$, и соответствующий логарифм не существует. Ванильный цвет и «цвет фруктового мороженого» сами по себе значения не имеют, важна граница их раздела: там находятся подходящие пары $(x, a)$, для которых существует такое $y$, что все три переменных удовлетворяют системе.

Вывод: безнадёжно. Допустим даже, что все кривые как-то можно аналитически задать (теоретически для этого надо исключить из системы $y$), — попробуйте, исходя из картинки, представить, как будет выглядеть описание всего этого для произвольного $a$, т.е. вертикальной координаты.

[DeBill]

svv
Просто у ТС опечатка (помимо той, что уже была отмечена): во втором уравнении квадрат - у последнего логарифма. Тогда все боле-мене однородно, и - за счет хороших корней - делается.

-- 16.07.2016, 01:24 --

(Оффтоп)

Сообщение об опечатке (и ссылка на первоисточник: Двухтуровая олимпиада ВМК, апрель 2000) получено от ТС в личной переписке - пока тема парилась в карантине.

[svv]

Ай-яй-яй, какой невнимательный stedent076.

[loshka]

(Оффтоп)

Возникла у меня тут в 3 ночи идейка,может дурацкая, но... Давайте смотреть на Вашу систему,где вы вводите $c$ и $b$, как на 2 параболы, которые двигаются. коэффициенты при $y^2$ положительные, значит ветви направленны вверх, значит вершины должны быть ниже или на оси $x$ появляется система неравенств, не знаю правда зачем она нам нужна. Дальше можно пофантазировать, как эти параболы расположены относительно друг друга, когда их ветви будут пересекаться на оси $X$? Тогда и по идее будет выполнятся наши равенства в системе.
$$\left\{ \begin{array}{rcl} &y^2-ay+2b=0\\ &5y^2-8by+a=0& \\ \end{array} \right.$
Тут надо сообразить какие варианты возможно, а какие нет, хотя можно и перебором там всего 4 случая. А это означает, что соответствующие корни равны и получается что-то типа $f(a;b)=0$. А вот дальше я не знаю, там $f$ содержит квадратные корни, думаю можно переходить к логарифмам, основание везде одно, что-то где-то да сократится, может и корни уйдут, но в столь позднее время не способен аккуратно провести такие вычисления.Но мы от системы перешли к одному уравнению, и задача становится установить при всех значения параметра $a$ решение уравнения зависящего только от $x$.

Эх, а я что-то проглядел сообщение про опечатку и зря думал над решением