Демон Лапласа

[Astroid]

Добрый день!

Изучая аналитическую механику, я столкнулся с некоторыми трудностями, надеюсь, вы мне поможете разобраться.

1. Отчетливо помню, что на одной из первых лекций преподаватель рассказывал о базовых, чуть ли не философских, принципах, из которых выводится вся аналитическая механика.
Однородность времени, однородность и изотропность пространства мне были понятны, но вот именно утверждение о том, что зная все скорости всех частиц и их координаты, можно предсказать развитие Вселенной, мне показалось очень натянутым. Разве это не хаотическая система с виртуально бесконечным количеством переменных, которые нужно учитывать? Или имеется ввиду математическая Вселенная, где считается, что гравитационное взаимодействие и только оно обуславливает её эволюцию?

2. Почему именно у скорости и координаты такое обособленное положение, а у ускорения нет, ведь оно тоже часто бывает переменным?

3. Можете ли вы привести короткий список литературы по теме, исключая ЛЛ-1, ибо их излишний формализм иногда очень сбивает с толку. Желательно, чтобы в этих книгах также было поменьше фраз вроде "очевидно", "легко понять, что ...", я учусь не по профилю "теоретическая физика", поэтому мне часто бывает сложно понять откуда и что появилось.

4. Очень хотелось бы, чтобы кто-то смог мне дать ссылку на вывод или устно объяснить вывод лагранжиана свободной частицы, притом не копируя ЛЛ-1. Я очень много где искал это, но натыкался только на копипасту вышеупомянутых товарищей. В частности, не понятно, почему, когда требуется получить абсолютную величину скорости, граждане Ландау и Лифшиц берут квадрат $\upsilon$ вместо его модуля.

Заранее благодарю.

[Pphantom]

Astroid в сообщении #1137138 писал(а):

но вот именно утверждение о том, что зная все скорости всех частиц и их координаты, можно предсказать развитие Вселенной, мне показалось очень натянутым. Разве это не хаотическая система с виртуально бесконечным количеством переменных, которые нужно учитывать? Или имеется ввиду математическая Вселенная, где считается, что гравитационное взаимодействие и только оно обуславливает её эволюцию?

В рамках классической механики всегда можно записать уравнение движения каждой частицы/тела, причем такое уравнение будет дифференциальным уравнением второго порядка. Соответственно, "предсказание развития Вселенной" - это решение некоторой задачи Коши для системы большого числа ОДУ 2-го порядка, в качестве начальных условий для которой нужно знать значение неизвестной функции (т.е. координаты точек) и значение ее производной (т.е. скорости тех же точек) в некоторый момент времени.

[Osmiy]

Astroid в сообщении #1137138 писал(а):

2. Почему именно у скорости и координаты такое обособленное положение, а у ускорения нет, ведь оно тоже часто бывает переменным?

Ускорение определяется через координаты частиц и законы силового взаимодействия между частицами.

[Munin]

Astroid в сообщении #1137138 писал(а):

3. Можете ли вы привести короткий список литературы по теме, исключая ЛЛ-1, ибо их излишний формализм иногда очень сбивает с толку.

Арнольд. Точка.

-- 11.07.2016 12:59:36 --

Astroid в сообщении #1137138 писал(а):

1. Отчетливо помню, что на одной из первых лекций преподаватель рассказывал о базовых, чуть ли не философских, принципах, из которых выводится вся аналитическая механика.
Однородность времени, однородность и изотропность пространства мне были понятны, но вот именно утверждение о том, что зная все скорости всех частиц и их координаты, можно предсказать развитие Вселенной, мне показалось очень натянутым. Разве это не хаотическая система с виртуально бесконечным количеством переменных, которые нужно учитывать? Или имеется ввиду математическая Вселенная, где считается, что гравитационное взаимодействие и только оно обуславливает её эволюцию?

Тут ситуация непростая, потому что разные люди имеют на неё разные взгляды.

Сначала идут физики. Они имеют дело непосредственно с миром. Они знают, что мир бесконечно сложен, многообразен, и охватить его единым взглядом нет шансов. Поэтому они упрощают себе задачу, чисто практически: будем изучать то, что можем изучить малой кровью, а там уже посмотрим. Если получится продвинуться дальше, продвинемся. Таким путём, физики изучают небольшие области явлений, в которых можно ограничиться небольшим и понятным набором факторов. Это области физики: механика, оптика, термодинамика, гидродинамика, и так далее. Например, разобраться в таком явлении, как охота гепарда, очень сложно. Но разобраться в том, как наклонная доска падает на пол, сравнительно легко. Можно не думать о цвете доски, о её химическом составе, температуре, происхождении, настроении... Таким путём, отбрасывая всё "лишнее", можно построить теорию механических явлений. А потом, вернувшись к гепарду, рассмотреть его с разных сторон: механика, химия, термодинамика, нейронаука... - и объединив всё это вместе, построить для себя какую-то картину происходящего и в этом случае.

Таким образом, для физиков механика отделена от других явлений не какой-то философией и универсальными принципами, а чисто практическими соображениями. Существуют движения тел, существуют силы, и экспериментами выяснено, что для предсказания движений достаточно решить дифференциальное уравнение второго порядка - Второй закон Ньютона. А для дифура 2 порядка нужны два начальных условия: координаты и скорости. И дальше, всё остальное, что не вписывается в эту картину, можно просто не считать механикой. Такие явления реально есть, во множестве: это всякие явления с электромагнитными полями, с волнами и излучениями, с внутренними движениями и колебаниями в твёрдых телах, с акустическими волнами, с нагревом и химическими реакциями, во всяких непрерывных средах: в жидкости, в газе, в плазме, на границе раздела сред... А в одной живой клетке знаете сколько границ раздела сред? Тысячи-миллионы! Вот за это механика и не хватается: зубы коротки.

Дальше идут математики. Для них, мира не существует. Для них существует то, что им дали физики: механика как математическая теория. Это тела, их движения и взаимосвязи, силы, и дифференциальные уравнения второго порядка. И вот тут они начинают возводить то, что им дали, в ранг общих, универсальных принципов. У них такой подход: они сами в своих теориях начинают с аксиом, и вычисляют из них теоремы. А когда их спрашивают, "а откуда ваши аксиомы?", начинают говорить, что это что-то философское и универсальное. Хотя на самом деле, эти аксиомы они придумали скорее интуитивно, и по принципу, чтобы они были чёткие, и с ними было удобно работать. (Некоторые современные математики в некоторых современных теориях прямо говорят, что аксиомы выбираются так, чтобы быть более удобными, а не из чего-то возвышенного и трансцендентного.)

И конечно, глядя на ту механику, которую им предоставили физики, математики тоже не видят экспериментальных истоков этих базовых положений. (У некоторых ну прямо "слепое пятно" на этом месте.) А вместо этого, они и механические принципы пытаются обосновать как-то философски и универсально. Мол, пространство должно быть везде одинаковым! А тогда из этого следует то-то и то-то. Хотя на самом деле, физики не стремятся указывать природе ("указывать богу", как говорят в более религиозных странах). Может, пространство одинаковое, а может быть, и нет. Пока кажется, что одинаковое, но кто его знает, мы же пока маленький кусочек исследовали... А, а вон там, кажется, уже и не одинаковое! И принцип оказывается неверен - но мы это пока отложим, чтобы рассмотреть потом (в общей теории относительности), а с математиками пока обсудим идеальную механику с однородным пространством.

Вот такой, примерно, расклад. И дело осложняется ещё тем, что некоторые теории математики уже считают "своими", прямо-таки разделами математики, а не физики. И говорят физикам: вы тут в нашей аналитической механике не распоряжайтесь! :-) Ну вы сами понимаете, было бы желание поспорить, а о чём - найдётся. А с другой стороны, если есть желание плодотворно сотрудничать, это тоже доступно.

-- 11.07.2016 13:07:23 --

Astroid в сообщении #1137138 писал(а):

2. Почему именно у скорости и координаты такое обособленное положение, а у ускорения нет, ведь оно тоже часто бывает переменным?

На самом деле, не обособленное. Это просто удобный стандартный выбор.

У вас есть система алгебраических (не дифференциальных) уравнений в каждый момент времени, которая выражает ускорения (вторые производные) через положения и скорости (нулевые и первые производные): $\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}).$ Соответственно, если взять от этой системы производную, то получится выражение третьей производной через предыдущие, и так далее. То есть, в пространстве $(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},\ddot{\mathbf{r}},\dot{\ddot{\mathbf{r}}},\ldots)$ у вас только первые две координаты независимы, а остальные все выражаются через них, образуя подпространство размерности 2. Но дальше можно уже это подпространство параметризовать как захочется. Например, линейно: можно выбрать не скорости и координаты, а скажем, скорости и ускорения, или координаты и какие-то линейные комбинации скоростей и координат, или что-то ещё в таком духе.

Обычно это не приносит никаких вычислительных преимуществ, и уж тем более теоретических. Поэтому так и не делают. Но в принципе никто не запрещает, так что выделенности тут никакой нет.

[Astroid]

Спасибо за подробный ответ, Munin! То есть в "механике математиков" принимается аксиома вида \lbrace $\forall$ t = \operatorname{const} \exists F $\mid$ $\ddot{\mathbf{r}}$ = F(\mathbf{r}, $\dot{\mathbf{r}}$)\rbrace, которая в общей физике зовется II законом Ньютона, и отсюда именно получается лишь две независимых переменных?

[Munin]

Ага.

-- 11.07.2016 19:30:12 --

В формулах пишется один знак доллара в начале, и один знак доллара в конце, вот так:
$\lbrace\forall t=\operatorname{const}\exists F\mid\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})\rbrace$

[arseniiv]

Страшная «аксиома», честно говоря. Ни математики, ни физики такую не простят.

Какой цели служит тут нотация для задания множества? Зачем $=\mathrm{const}$? Почему $\exists F$ внутри квантора по $t$? Не проще ли зависимость сил от времени записать тогда явно? Короче говоря, в нормальном виде это будет

$$\exists F\,\text{где-то там}\,\forall t\,\text{где-то в другом месте}\,(\ddot{\mathbf r}(t) = F(t,\mathbf r(t),\dot{\mathbf r}(t)),$$

и надо точно указать, в каком таком там и другом месте. В общем, ерунда получается, а толку ноль.

-- Пн июл 11, 2016 22:06:55 --

Для солидности там ещё можно воткнуть снаружи $\forall\mathbf r\,\text{из очень хорошего места}$.

[Astroid]

arseniiv, Вы абсолютно правы, множество тут не к месту, скобки стоило убрать.
Константа потому что мы вроде как рассматриваем конкретный момент времени, чтобы уравнения считать алгебраическими, а не дифференциальными.
Прошу прощения за некоторую путаницу в терминологии с математической точки зрения.

[arseniiv]

Ну, лично у меня прощения просить не нужно.

[Geen]

Кстати, всё время забываю, как называется этот принцип. Буду благодарен, если кто напомнит

[arseniiv]

Детерминизм Лапласа или другой?

[Geen]

Нет, именно про вторые производные...

[Astroid]

Geen
Формализм Лагранжа, может быть? Конкретизируйте вопрос, если это не оно.

[Munin]

Munin в сообщении #1137178 писал(а):

У вас есть система алгебраических (не дифференциальных) уравнений в каждый момент времени, которая выражает ускорения (вторые производные) через положения и скорости (нулевые и первые производные): $\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}).$

Перечитавши, я сделал вот так:

Конечно же, это дифференциальные уравнения. Я просто хотел сказать, что их в некотором смысле (действительно выражаемом чем-то наподобие $t=\mathrm{const}$) можно считать алгебраическими, связывающими независимые величины производных в точке (а не сами производные, конечно же, не независимые). Не знаю, как это аккуратно математически сказать.