2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 08:28 


11/07/16
81
Добрый день!

Изучая аналитическую механику, я столкнулся с некоторыми трудностями, надеюсь, вы мне поможете разобраться.

1. Отчетливо помню, что на одной из первых лекций преподаватель рассказывал о базовых, чуть ли не философских, принципах, из которых выводится вся аналитическая механика.
Однородность времени, однородность и изотропность пространства мне были понятны, но вот именно утверждение о том, что зная все скорости всех частиц и их координаты, можно предсказать развитие Вселенной, мне показалось очень натянутым. Разве это не хаотическая система с виртуально бесконечным количеством переменных, которые нужно учитывать? Или имеется ввиду математическая Вселенная, где считается, что гравитационное взаимодействие и только оно обуславливает её эволюцию?

2. Почему именно у скорости и координаты такое обособленное положение, а у ускорения нет, ведь оно тоже часто бывает переменным?

3. Можете ли вы привести короткий список литературы по теме, исключая ЛЛ-1, ибо их излишний формализм иногда очень сбивает с толку. Желательно, чтобы в этих книгах также было поменьше фраз вроде "очевидно", "легко понять, что ...", я учусь не по профилю "теоретическая физика", поэтому мне часто бывает сложно понять откуда и что появилось.

4. Очень хотелось бы, чтобы кто-то смог мне дать ссылку на вывод или устно объяснить вывод лагранжиана свободной частицы, притом не копируя ЛЛ-1. Я очень много где искал это, но натыкался только на копипасту вышеупомянутых товарищей. В частности, не понятно, почему, когда требуется получить абсолютную величину скорости, граждане Ландау и Лифшиц берут квадрат $\upsilon$ вместо его модуля.

Заранее благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 11:05 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
24309
Кронштадт
Astroid в сообщении #1137138 писал(а):
но вот именно утверждение о том, что зная все скорости всех частиц и их координаты, можно предсказать развитие Вселенной, мне показалось очень натянутым. Разве это не хаотическая система с виртуально бесконечным количеством переменных, которые нужно учитывать? Или имеется ввиду математическая Вселенная, где считается, что гравитационное взаимодействие и только оно обуславливает её эволюцию?
В рамках классической механики всегда можно записать уравнение движения каждой частицы/тела, причем такое уравнение будет дифференциальным уравнением второго порядка. Соответственно, "предсказание развития Вселенной" - это решение некоторой задачи Коши для системы большого числа ОДУ 2-го порядка, в качестве начальных условий для которой нужно знать значение неизвестной функции (т.е. координаты точек) и значение ее производной (т.е. скорости тех же точек) в некоторый момент времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 11:22 


01/03/13
1855
Astroid в сообщении #1137138 писал(а):
2. Почему именно у скорости и координаты такое обособленное положение, а у ускорения нет, ведь оно тоже часто бывает переменным?

Ускорение определяется через координаты частиц и законы силового взаимодействия между частицами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 12:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Astroid в сообщении #1137138 писал(а):
3. Можете ли вы привести короткий список литературы по теме, исключая ЛЛ-1, ибо их излишний формализм иногда очень сбивает с толку.

Арнольд. Точка.

-- 11.07.2016 12:59:36 --

Astroid в сообщении #1137138 писал(а):
1. Отчетливо помню, что на одной из первых лекций преподаватель рассказывал о базовых, чуть ли не философских, принципах, из которых выводится вся аналитическая механика.
Однородность времени, однородность и изотропность пространства мне были понятны, но вот именно утверждение о том, что зная все скорости всех частиц и их координаты, можно предсказать развитие Вселенной, мне показалось очень натянутым. Разве это не хаотическая система с виртуально бесконечным количеством переменных, которые нужно учитывать? Или имеется ввиду математическая Вселенная, где считается, что гравитационное взаимодействие и только оно обуславливает её эволюцию?

Тут ситуация непростая, потому что разные люди имеют на неё разные взгляды.

Сначала идут физики. Они имеют дело непосредственно с миром. Они знают, что мир бесконечно сложен, многообразен, и охватить его единым взглядом нет шансов. Поэтому они упрощают себе задачу, чисто практически: будем изучать то, что можем изучить малой кровью, а там уже посмотрим. Если получится продвинуться дальше, продвинемся. Таким путём, физики изучают небольшие области явлений, в которых можно ограничиться небольшим и понятным набором факторов. Это области физики: механика, оптика, термодинамика, гидродинамика, и так далее. Например, разобраться в таком явлении, как охота гепарда, очень сложно. Но разобраться в том, как наклонная доска падает на пол, сравнительно легко. Можно не думать о цвете доски, о её химическом составе, температуре, происхождении, настроении... Таким путём, отбрасывая всё "лишнее", можно построить теорию механических явлений. А потом, вернувшись к гепарду, рассмотреть его с разных сторон: механика, химия, термодинамика, нейронаука... - и объединив всё это вместе, построить для себя какую-то картину происходящего и в этом случае.

Таким образом, для физиков механика отделена от других явлений не какой-то философией и универсальными принципами, а чисто практическими соображениями. Существуют движения тел, существуют силы, и экспериментами выяснено, что для предсказания движений достаточно решить дифференциальное уравнение второго порядка - Второй закон Ньютона. А для дифура 2 порядка нужны два начальных условия: координаты и скорости. И дальше, всё остальное, что не вписывается в эту картину, можно просто не считать механикой. Такие явления реально есть, во множестве: это всякие явления с электромагнитными полями, с волнами и излучениями, с внутренними движениями и колебаниями в твёрдых телах, с акустическими волнами, с нагревом и химическими реакциями, во всяких непрерывных средах: в жидкости, в газе, в плазме, на границе раздела сред... А в одной живой клетке знаете сколько границ раздела сред? Тысячи-миллионы! Вот за это механика и не хватается: зубы коротки.

Дальше идут математики. Для них, мира не существует. Для них существует то, что им дали физики: механика как математическая теория. Это тела, их движения и взаимосвязи, силы, и дифференциальные уравнения второго порядка. И вот тут они начинают возводить то, что им дали, в ранг общих, универсальных принципов. У них такой подход: они сами в своих теориях начинают с аксиом, и вычисляют из них теоремы. А когда их спрашивают, "а откуда ваши аксиомы?", начинают говорить, что это что-то философское и универсальное. Хотя на самом деле, эти аксиомы они придумали скорее интуитивно, и по принципу, чтобы они были чёткие, и с ними было удобно работать. (Некоторые современные математики в некоторых современных теориях прямо говорят, что аксиомы выбираются так, чтобы быть более удобными, а не из чего-то возвышенного и трансцендентного.)

И конечно, глядя на ту механику, которую им предоставили физики, математики тоже не видят экспериментальных истоков этих базовых положений. (У некоторых ну прямо "слепое пятно" на этом месте.) А вместо этого, они и механические принципы пытаются обосновать как-то философски и универсально. Мол, пространство должно быть везде одинаковым! А тогда из этого следует то-то и то-то. Хотя на самом деле, физики не стремятся указывать природе ("указывать богу", как говорят в более религиозных странах). Может, пространство одинаковое, а может быть, и нет. Пока кажется, что одинаковое, но кто его знает, мы же пока маленький кусочек исследовали... А, а вон там, кажется, уже и не одинаковое! И принцип оказывается неверен - но мы это пока отложим, чтобы рассмотреть потом (в общей теории относительности), а с математиками пока обсудим идеальную механику с однородным пространством.

Вот такой, примерно, расклад. И дело осложняется ещё тем, что некоторые теории математики уже считают "своими", прямо-таки разделами математики, а не физики. И говорят физикам: вы тут в нашей аналитической механике не распоряжайтесь! :-) Ну вы сами понимаете, было бы желание поспорить, а о чём - найдётся. А с другой стороны, если есть желание плодотворно сотрудничать, это тоже доступно.

-- 11.07.2016 13:07:23 --

Astroid в сообщении #1137138 писал(а):
2. Почему именно у скорости и координаты такое обособленное положение, а у ускорения нет, ведь оно тоже часто бывает переменным?

На самом деле, не обособленное. Это просто удобный стандартный выбор.

У вас есть система алгебраических (не дифференциальных) уравнений в каждый момент времени, которая выражает ускорения (вторые производные) через положения и скорости (нулевые и первые производные): $\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}).$ Соответственно, если взять от этой системы производную, то получится выражение третьей производной через предыдущие, и так далее. То есть, в пространстве $(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}},\ddot{\mathbf{r}},\dot{\ddot{\mathbf{r}}},\ldots)$ у вас только первые две координаты независимы, а остальные все выражаются через них, образуя подпространство размерности 2. Но дальше можно уже это подпространство параметризовать как захочется. Например, линейно: можно выбрать не скорости и координаты, а скажем, скорости и ускорения, или координаты и какие-то линейные комбинации скоростей и координат, или что-то ещё в таком духе.

Обычно это не приносит никаких вычислительных преимуществ, и уж тем более теоретических. Поэтому так и не делают. Но в принципе никто не запрещает, так что выделенности тут никакой нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 18:46 


11/07/16
81
Спасибо за подробный ответ, Munin! То есть в "механике математиков" принимается аксиома вида \lbrace $\forall$ t = \operatorname{const} \exists F $\mid$ $\ddot{\mathbf{r}}$ = F(\mathbf{r}, $\dot{\mathbf{r}}$)\rbrace, которая в общей физике зовется II законом Ньютона, и отсюда именно получается лишь две независимых переменных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Ага.

-- 11.07.2016 19:30:12 --

В формулах пишется один знак доллара в начале, и один знак доллара в конце, вот так:
$\lbrace\forall t=\operatorname{const}\exists F\mid\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}})\rbrace$

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 20:02 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Страшная «аксиома», честно говоря. Ни математики, ни физики такую не простят. :mrgreen:

Какой цели служит тут нотация для задания множества? Зачем $=\mathrm{const}$? Почему $\exists F$ внутри квантора по $t$? Не проще ли зависимость сил от времени записать тогда явно? Короче говоря, в нормальном виде это будет$$\exists F\,\text{где-то там}\,\forall t\,\text{где-то в другом месте}\,(\ddot{\mathbf r}(t) = F(t,\mathbf r(t),\dot{\mathbf r}(t)),$$и надо точно указать, в каком таком там и другом месте. В общем, ерунда получается, а толку ноль.

-- Пн июл 11, 2016 22:06:55 --

Для солидности там ещё можно воткнуть снаружи $\forall\mathbf r\,\text{из очень хорошего места}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 20:16 


11/07/16
81
arseniiv, Вы абсолютно правы, множество тут не к месту, скобки стоило убрать.
Константа потому что мы вроде как рассматриваем конкретный момент времени, чтобы уравнения считать алгебраическими, а не дифференциальными.
Прошу прощения за некоторую путаницу в терминологии с математической точки зрения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение11.07.2016, 20:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну, лично у меня прощения просить не нужно. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение12.07.2016, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3186
Кстати, всё время забываю, как называется этот принцип. Буду благодарен, если кто напомнит :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение12.07.2016, 01:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Детерминизм Лапласа или другой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение12.07.2016, 02:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
3186
Нет, именно про вторые производные...

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение12.07.2016, 03:28 


11/07/16
81
Geen
Формализм Лагранжа, может быть? Конкретизируйте вопрос, если это не оно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Демон Лапласа
Сообщение12.07.2016, 11:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Munin в сообщении #1137178 писал(а):
У вас есть система алгебраических (не дифференциальных) уравнений в каждый момент времени, которая выражает ускорения (вторые производные) через положения и скорости (нулевые и первые производные): $\ddot{\mathbf{r}}=F(\mathbf{r},\dot{\mathbf{r}}).$

Перечитавши, я сделал вот так: Изображение

Конечно же, это дифференциальные уравнения. Я просто хотел сказать, что их в некотором смысле (действительно выражаемом чем-то наподобие $t=\mathrm{const}$) можно считать алгебраическими, связывающими независимые величины производных в точке (а не сами производные, конечно же, не независимые). Не знаю, как это аккуратно математически сказать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group