Бесконечный спуск для произвольных натуральных УФ

[Lia]

doktor BTF заблокирован как клон alexo2.
Временный бан alexo2 становится бессрочным.

[ishhan]

lasta в сообщении #1130713 писал(а):

Но используется в доказательстве только равенство

$$f^p=a_1^pm_1^p$$

Уважаемый lasta!
В этом месте, насколько я понимаю, появляется общий случай для ВТФ3.
Действительно: $f^3=(a+b-c)=3(a+b)(c-b)(c-a)$, у вас же записано как: $f^3=a_1^3 m_1^3 $, где $a_1$- связано с равенством $a^3=a_1^3a_2^3=c^3-b^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$
$f$ - число составное, содержит 4 компоненты в виде сомножителей, и если мы ему присваиваем "статус" степени, логично предположить, что каждая компонента такого числа должна быть степенью, отсюда следует, что число $3=l^3$ так же куб, но так и есть для иррациональных чисел, но не для натуральных.
У меня возникает ощущение того, что когда мы отказываемся от рассмотрения отдельно: первого и второго случая ВТФ3, то тем самым отказываемся от натуральных чисел и переходим к иррациональным числам.
По этой причине хотелось бы более подробного изложения по ВТФ3.
P.S. Когда я впервые столкнулся с этим фактом, то долгое время считал, что одного алгебраического вида сомножителей входящих в число $f$ уже достаточно для доказательства ВТФ в общем случае:)

[ishhan]

doktor BTF в сообщении #1133324 писал(а):

Ничего - он здесь неприменим, так как ур-ние имеет бесконечно много решений

Решений в целых числах не так много, только тривиальные, и они содержат тривиальные решения уравнения Ферма, если верить WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%2By%5E3-z%5E3%3Dx%2By-z

[ishhan]

ishhan в сообщении #1133444 писал(а):

Решений в целых числах не так много, только тривиальные

Пардон, поторопился с выводами.
Нетривиальные решения есть, alexo2 прав.
В правилах форума записано:
"п) Двойная регистрация. Если Вы были временно заблокированы и при этом использовали двойника для размещения сообщений, то и Ваш пользователь и двойник будут забанены навсегда."
По моему мнению, бессрочный бан в данном конкретном случае, это слишком круто. Модераторам конечно виднее...

[lasta]

ishhan в сообщении #1133396 писал(а):

Действительно: $f^3=(a+b-c)=3(a+b)(c-b)(c-a)$, у вас же записано как: $f^3=a_1^3 m_1^3 $, где $a_1$- связано с равенством $a^3=a_1^3a_2^3=c^3-b^3=(c-b)(c^2+cb+b^2)$
$f$ - число составное, содержит 4 компоненты в виде сомножителей, и если мы ему присваиваем "статус" степени, логично предположить, что каждая компонента такого числа должна быть степенью, отсюда следует, что число $3=l^3$ так же куб, но так и есть для иррациональных чисел, но не для натуральных.

Уважаемый ishhan, для кубов, как Вы и отмечали, разложением степени $f^3=3(a+b)(c-b)(c-a)=a_1^3b_1^3c_1^3$ сразу доказывается первый случай ВТФ.
В нашем доказательстве используется степень $a^3_1$. Делится ли эта степень на $3$, то есть выполняется ли равенство $a^3_1=3(c-b)$ не имеет значения. Точно также и для степеней с другими показателями.

[ishhan]

lasta в сообщении #1134116 писал(а):

Делится ли эта степень на $3$, то есть выполняется ли равенство $a^3_1=3(c-b)$ не имеет значения. Точно также и для степеней с другими показателями.

Уважаемый lasta!
Пусть $a_1^3=3(c-b)$ и $f=a_1m_1$ делится на $3$, тогда новое число $f_1=\frac{f}{a_1} $ на $3$ не делится.
Но число $f_1=a_1+b_1-c_1$ -целое, где $a_1,b_1,c_1$ удовлетворяют уравнению Ферма степени 3 и как следствии МТФ должно выполняться условие делимости$ f_1$ на три.
Можно ли утверждать, что новое число $f_1 $ соответствует новой тройке Ферма, если оно не делится на три?
Есть ли условия целостности в методе бесконечного спуска, и если есть, то как они выглядят.

[lasta]

ishhan в сообщении #1134167 писал(а):

Но число $f_1=a_1+b_1-c_1$ -целое, где $a_1,b_1,c_1$ удовлетворяют уравнению Ферма степени 3 и как следствии МТФ должно выполняться условие делимости$ f_1$ на три.
Можно ли утверждать, что новое число $f_1 $ соответствует новой тройке Ферма, если оно не делится на три?

Уважаемый ishhan, этот вопрос уже рассматривался. На первом шаге утверждается, что существует меньшая степень со статусом разности степеней. А это значит, что существует новая тройка решения УФ. Эта тройка и определяет новое $f_1$ со всеми соответствующими ей свойствами, в том числе и делимости на 3. А, $f/a_1$,- теперь только степень, через которую можно выразить любую другую степень по формулам, примененным в теме.
С другой стороны существование новой тройки противоречит условию минимального решения (создает бесконечный спуск). Что означает невозможность существование решений УФ. Поэтому и рассматривать свойства делимости на показатель чисел не существующих троек не имеет смысла.

[ishhan]

lasta в сообщении #1137242 писал(а):

На первом шаге утверждается, что существует меньшая степень со статусом разности степеней. А это значит, что существует новая тройка решения УФ. Эта тройка и определяет новое $f_1$ со всеми соответствующими ей свойствами, в том числе и делимости на 3. А, $f/a_1$,- теперь только степень, через которую можно выразить любую другую степень по формулам, примененным в теме.
С другой стороны существование новой тройки противоречит условию минимального решения (создает бесконечный спуск). Что означает невозможность существование решений УФ.

Уважаемый lasta!
Я не просто так приводил Вам уравнение Ферма записанное в стиле МТФ, которое имеет решения в целых числах:

$x^p+y^p-z^p=x+y-z$

Если приписать статус "f-степени" числу $f^{p}(a)=a^p-a$, то аналогию можно продолжить и на первую и вторую разность "f-степеней" .
В конце концов, применив общеизвестное тождество, получим для$p=3$:

$(x+y-z)^3-x-y+z=3(x+y)(z-x)(z-y)$

И поскольку число $(x+y-z)^3-x+y-z $ имеет статус разности "f-степени" и является составным, благодаря множителям $3(x+y)(z-x)(z-y)$ то утверждается что существует меньшая "f-степень" с тем же статусом и далее следует вывод о существовании меньшей тройки и неразрешимости уравнения записанного в стиле МТФ.
У Вас используется алгебраическое выражение $(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y)$ из которого следует, что число $(x+y-z)^3$ составное и со статусом разности степеней.
В нашем случае всё то же самое только число со статусом "f-степень", и что самое приятное, уравнение Ферма для f-степеней имеет решения.
Может лучше порешаем уравнение Ферма для f-степеней

[lasta]

ishhan в сообщении #1137301 писал(а):

Если приписать статус "f-степени" числу $f^{p}(a)=a^p-a$,

Уважаемый ishhan, припишем этому числу статус шутки, так как степенью целого числа оно быть не может (кроме тривиальных случаев)

[ishhan]

Уважаемый lasta, я предложил Вам рассмотреть другое уравнение, а не уравнение Ферма,
и применить к нему тот же ход рассуждений с использованием чисел со статусом "f степени" выраженных формулой $a^p-a$

ishhan в сообщении #1137301 писал(а):

$(x+y-z)^3-x-y+z=3(x+y)(z-x)(z-y)$

[lasta]

ishhan в сообщении #1137468 писал(а):

и применить к нему тот же ход рассуждений с использованием чисел со статусом "f степени" выраженных формулой $a^p-a$

Ваше уравнение имеет слишком много степеней свободы, чтобы утверждать, что на каждом шаге спуска решением будут составные числа. Началом доказательства всегда служит минимальное решение, И в УФ сумма степеней всегда составное число. В Вашем же случае минимальное решение $(1,1,1)$ не дает составной "f степени" $a^p-a=0$.
Кроме того, бесконечно много решений типа $(x,1,x)$, при которых $(x+1-x)^p-x-1+x=0$, не имеет разложения на множители.. Как и в случае с квадратами, для таких уравнений бесконечный спуск не существует.

[ishhan]

lasta в сообщении #1137540 писал(а):

В Вашем же случае минимальное решение $(1,1,1)$ не дает составной "f степени" $a^p-a=0$.

Уважаемый lasta!
Определение куба со статусом "f степени" можно дать в алгебраическом виде как произведение трёх последовательных чисел:

$a^3-a=a(a+1)(a-1) $

из которого следует что куб со статусом f всегда составное число и делится на три для любого числа $a$.
Эта формула и утверждение есть не что иное как МТФ.
То, что f куб всегда составное число, не зависит от уравнений в которых участвуют f-кубы.
Если в произведении трёх различных сомножителей алгебраического выражения для f куба один из сомножителей равен нулю, то это не означает что его в этом случае нельзя называть составным алгебраическим числом.

Заметим, что уравнение Ферма так же имеет бесконечное число тривиальных решений $(x,0,x)$, $(0,0,0)$, где ноль можно записать в виде разности степеней.
Все тривиальные решения обычного уравнения Ферма совпадают с тривиальными решениями решениями уравнением Ферма для f кубов. Плюс решение (1,1,1) только для f кубов.
Тривиальные решения уравнения Ферма это отдельный момент, которому обычно придаётся второстепенное значение.

[lasta]

ishhan в сообщении #1137563 писал(а):

Если в произведении трёх различных сомножителей алгебраического выражения для f куба один из сомножителей равен нулю, то это не означает что его в этом случае нельзя называть составным алгебраическим числом.
Заметим, что уравнение Ферма так же имеет бесконечное число тривиальных решений $(x,0,x)$, $(0,0,0)$, где ноль можно записать в виде разности степеней.

Уважаемый ishhan, уравнение $x^p+y^p-z^p=x+y-z$ ограничено не тривиальными натуральными решениями типа $(x,1,x)$. Эти решения преобразует Ваше уравнение из $(x+y-z)^3-x-y+z=3(x+y)(z-x)(z-y)$ в
$3(x+y)(z-x)(z-y)=0 $. Уравнение с f кубами превращается в тождество $x^p-x=x^p-x$. Как видим, инструмент для бесконечного спуска отсутствует. Нельзя построить кирпичный дом без кирпичей.
Да, УФ имеет тривиальные решения. Поэтому если бы мы ограничились только тривиальными решениями, то не могли бы построить бесконечный спуск, который возможен только для не тривиальных решений. И наша задача доказать именно это.

[ishhan]

lasta в сообщении #1137674 писал(а):

уравнение $x^p+y^p-z^p=x+y-z$ ограничено не тривиальными натуральными решениями типа $(x,1,x)$. Эти решения преобразует Ваше уравнение из $(x+y-z)^3-x-y+z=3(x+y)(z-x)(z-y)$ в
$3(x+y)(z-x)(z-y)=0 $. Уравнение с f кубами превращается в тождество $x^p-x=x^p-x$. Как видим, инструмент для бесконечного спуска отсутствует. Нельзя построить кирпичный дом без кирпичей.

Уважаемый lasta!
Тройки $(x,y,z)$ которые имеют одинаковые значения для $x$ и $z$, то есть $x=z$, нельзя называть нетривиальными решениями и это относится в равной степени, как к уравнению Ферма для степеней, так и для f -степеней.
Поэтому не будем искусственно "ограничивать" уравнение тривиальными решениями и тем более подменять исходное уравнение на тривиальное, подставляя в него тривиальные тройки и опираясь на эти преобразования делать выводы не имеющие отношения к исходному уравнению. Подобная аргументация($x=z$) в применении к уравнению Ферма приводит приводит к аналогичным выводам про " инструмент, дом и кирпичики".
А так же отметим, что для значений $(x,1,x)$ уравнение Ферма для f-степеней $x^p+y^p-z^p=x+y-z$ записывается как $x^p+1^p-x^p=x+1-x$.
P.S.Вопрос о применимости или неприменимости Вашего метода к нетривиальным решениям уравнения Ферма для "f-степеней" пока остаётся открытым.

[lasta]

ishhan в сообщении #1137769 писал(а):

P.S.Вопрос о применимости или неприменимости Вашего метода к нетривиальным решениям уравнения Ферма для "f-степеней" пока остаётся открытым.

Уважаемый ishhan, не важно как называть решения без нуля, типа ($x,1,x)$. Попробуем применить метод к уравнению f кубов

$$(a^3-a)+(b^3-b)-(c^3-c)=0$$

Для этого необходим f-трином. Но все основания f кубов числа иррациональные или равные нулю. Поэтому f-трином не существует. А без f-тринома не существует и бесконечный спуск для уравнения с f кубами. И вопрос применимости метода для данного случая можно считать закрытым.