Предложите тему геометрического кружка для 9 класса!

[Ruslan_Sharipov]

notabene в сообщении #240447 писал(а):

6. Геометрические задачи на максимум и минимум.

О! Это бездонная тема! Можно придумать сразу множество задач. Не претендуя на оригинальность могу предложить следующие:

1. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина медианы в треугольнике, если сумма длин двух других медиан в нём равна единице?

2. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина биссектрисы в треугольнике, если сумма длин двух других биссектрис в нём равна единице?

3. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина высоты в треугольнике, если сумма длин двух других высот в нём равна единице?

Дальше можно комбинировать.

4. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина медианы, проведённой к некоторой одной стороне в треугольнике, если сумма длин биссектрис, проведённых к двум другим сторонам в нём равна единице?

Таких комбинаций будет шесть, то есть номера задач с 4 до 9 .

Дальше пойдут тройные комбинации.

10. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина медианы, проведённой к некоторой одной стороне в треугольнике, если сумма длин биссектрисы и высоты, проведённых к двум другим сторонам в нём равна единице?

Их будет три, то есть номера задач 10, 11, 12.

Вместо сумм длин можно брать площадь или периметр. Это даст ещё шесть задач, номера с 13 по 18. Все 18 задач претендуют на классичность, поскольку оперируют только с базовыми параметрами треугольников в простейших комбинациях.

Задачи на экстремум предполагают в той и ли иной мере знание производных. Но задачи с производными могут быть не только на экстремум. Например, такая

19. Замкнутая кривая в полярных координатах задана уравнением $\rho=f(\varphi)$. Каким условиям должна удовлетворять $2\,\pi$-периодическая гладкая функция $f(\varphi)>0$, для того, чтобы область, охватываемая кривой была выпуклой? В качестве дополнительного условия даётся, что на периоде функция $f(\varphi)$ имеет ровно один максимум и ровно один минимум. Как изменится ответ, если локальных максимумов и локальных минимумов будет два?

В рамках задачи 19 с одним или двумя максимумами и минимумами можно задать дополнительный вопрос вариационного характера.

20. Какого максимального значения может достигать длина кривой при условии, что охватываемая ею площадь равна 1, а сама кривая содержится внутри круга радиусом $R$.

[SomePupil]

По геометрии окружности можно рассказать о степени точки относительно окружности, о радикальных осях и радикальных центрах. Кстати, на прошедшем ЕГЭ была вариация на эту тему.

[prosto topolog]

У Кушнира есть множество замечательных книг,

(Некоторые, прочитанные мной)

Геометрия Поиск и вдохновение, Возвращение утраченной геометрии, Векторные методы решения задач геометрии, Шедевры школьной математики и Триумф школьной геометрии, её я планирую в скором времени оцифровать

которые можно использовать в качестве материала для кружка. Еще вот здесь есть списки материалов и статей, подходящих для занятий.