6. Геометрические задачи на максимум и минимум.
О! Это бездонная тема! Можно придумать сразу множество задач. Не претендуя на оригинальность могу предложить следующие:
1. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина медианы в треугольнике, если сумма длин двух других медиан в нём равна единице?
2. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина биссектрисы в треугольнике, если сумма длин двух других биссектрис в нём равна единице?
3. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина высоты в треугольнике, если сумма длин двух других высот в нём равна единице?
Дальше можно комбинировать.
4. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина медианы, проведённой к некоторой одной стороне в треугольнике, если сумма длин биссектрис, проведённых к двум другим сторонам в нём равна единице?
Таких комбинаций будет шесть, то есть номера задач с 4 до 9 .
Дальше пойдут тройные комбинации.
10. Какое максимальное и минимальное значение может принимать длина медианы, проведённой к некоторой одной стороне в треугольнике, если сумма длин биссектрисы и высоты, проведённых к двум другим сторонам в нём равна единице?
Их будет три, то есть номера задач 10, 11, 12.
Вместо сумм длин можно брать площадь или периметр. Это даст ещё шесть задач, номера с 13 по 18. Все 18 задач претендуют на классичность, поскольку оперируют только с базовыми параметрами треугольников в простейших комбинациях.
Задачи на экстремум предполагают в той и ли иной мере знание производных. Но задачи с производными могут быть не только на экстремум. Например, такая
19. Замкнутая кривая в полярных координатах задана уравнением
. Каким условиям должна удовлетворять
-периодическая гладкая функция
, для того, чтобы область, охватываемая кривой была выпуклой? В качестве дополнительного условия даётся, что на периоде функция
имеет ровно один максимум и ровно один минимум. Как изменится ответ, если локальных максимумов и локальных минимумов будет два?
В рамках задачи 19 с одним или двумя максимумами и минимумами можно задать дополнительный вопрос вариационного характера.
20. Какого максимального значения может достигать длина кривой при условии, что охватываемая ею площадь равна 1, а сама кривая содержится внутри круга радиусом
.