Принцип относительности и пр. Лоренца

[Laktan]

Здравствуйте. Интереса ради взял книжку Дьюрела, но даже в ней "сел". Запутался с принципом относительности и преобразованиями Лоренца.

Возьму расчетный пример из книжки(мне так проще и наглядней).

Как обычно, пусть сист. $ K $, "неподвижная", а $ K' $ движется относительно $ K $, со скоростью $ u=0,6 $ ($ c=1 $). В системе $K'$ время между событиями и расстояние соответсвенно равны:

$t'=12с$

$x'=4$

Допустим находясь в $K'$, я хочу узнать сколько прошло по часам $K$, для этого использую пр.Лоренца такого вида:

$x = \frac{x'+u t' }{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$ (1)

$t = \frac{t'+u x'/c^2 }{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$ (2)

в результате вычислений получу:

$x=14$

$t=18$

Дальше для меня начинаются не понятки, в общем не бейте сильно... Эти данные, как я понимаю, отражают мнение $K'$ о том каковы эти параметры в $K$, верно? С другой стороны, согласно принципу относительности, в $K$ так же должно наблюдаться замедление и сокращение, "глядя" из $K'$ верно? То есть, я "глядя" из $K'$, должен получать значения времени и длинны меньше $x=14$, $t=18$, верно ли я понимаю ?

Однако, как это выразить в расчетах? Надо параметры $K$, считать собственными?

Нужно считать вот так выходит:

$t = t'{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$ (3)

$x = x'{\sqrt{1 - u^2/c^2}}$ (4)

То есть формулы $(1),(2)$ дают мне($K'$), представление о том, каковы эти параметры в $K$, относительно меня($K'$), а формулы $(3),(4)$ это
то как я, скажем так, "вижу" $K$ из $K'$ ?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[arseniiv]

Laktan в сообщении #1136711 писал(а):

То есть формулы $(1),(2)$ дают мне($K'$), представление о том, каковы эти параметры в $K$, относительно меня($K'$), а формулы $(3),(4)$ это
то как я, скажем так, "вижу" $K$ из $K'$ ?

Нет, чтобы определить, что вы увидите глазами, надо учитывать распространение света. Вы просто перепутали преобразования координат и формулы для релятивистского укорочения/замедления. Чтобы вывести их, надо проделать вполне определённую вещь. В принципе, это есть в книгах, но давайте я покажу с длиной. Заодно упростим дело: примем $c = 1$, и скорости будем измерять в единицах $c$ (вы это написали, но почему-то не использовали), и ещё обозначим $1/\sqrt{1-u^2}=\gamma$.

Пусть есть палка собственной длины $L'$, т. е. длины $L'$ в ИСО, в которой все её точки покоятся. Пускай это ваша ИСО $K$. Выберем эту ИСО так, чтобы один конец палки имел координату $x'_1 = 0$, а другой $x'_2 = L'$. Преобразования в $K$ будут такими:

$$\begin{aligned} x &= \gamma x' + \gamma ut', \\ t &= \gamma t' + \gamma ux', \end{aligned}$$

так что левый конец палки будет двигаться по траектории $x_1 = \gamma ut', t = \gamma t'$, т. е. $x_1 = ut$; правый конец $x_2 = \gamma L' + \gamma ut', t = \gamma t' + \gamma uL'$, откуда $t' = t/\gamma - uL'$ и $x_2 = \gamma L' + ut - \gamma u^2L' = ut + L'/\gamma$. Найдём, наконец, длину палки в $K$: $L = x_2-x_1 = L'/\gamma \equiv L'\sqrt{1-u^2}$.

[Laktan]

Благодарю за ответ. Однако, прошу прощения, но все же хотел еще раз уточнить по поводу:

Цитата:

... Эти данные, как я понимаю, отражают мнение $K'$ о том каковы эти параметры в $K$, верно? С другой стороны, согласно принципу относительности, в $K$ так же должно наблюдаться замедление и сокращение, "глядя" из $K'$ верно? То есть, я "глядя" из $K'$, должен получать значения времени и длинны меньше $x=14$, $t=18$, верно ли я понимаю ?

эти мои суждения полностью верны? Просто хочу уточнить, понимаю ли я хоть что-то, а то совсем чайник.

Цитата:

Пускай это ваша ИСО $K$

а разве не $K'$?

Цитата:

Преобразования в $K$ будут такими:

$$\begin{aligned} x &= \gamma x' + \gamma ut', \\ t &= \gamma t' + \gamma ux', \end{aligned}$$

это как раз-таки то, что я буду видеть из $K'$ ?

[arseniiv]

Laktan в сообщении #1136811 писал(а):

эти мои суждения полностью верны? Просто хочу уточнить, понимаю ли я хоть что-то, а то совсем чайник.

Не знаю, зачем говорить о «мнениях». Есть координаты какого-то события в одной ИСО, есть координаты этого же события в другой ИСО, преобразования Лоренца связывают их.

Про сокращение длины: события, координаты интервала между которыми вы связали для $K$ и $K'$, не определяют однозначно какой-то движущийся отрезок, даже если одно из них произошло в одном его конце, а другое во втором, так что непонятно, о длине чего вы вообще говорите. Если $x'$ — длина отрезка на линейке, на которую спроецировались события в $K'$, то $x$ (если $K\ne K'$) не будет иметь отношения к этому отрезку, и наоборот, см. рис.:

Здесь $(\mathbf e^0,\mathbf e^1)$ — базис $K$, $(\mathbf e^0',\mathbf e^1')$ — базис $K'$ ($t\mathbf e^0 + x\mathbf e^1 = t'\mathbf e^0' + x'\mathbf e^1'$). В оранжевый закрашены события, составляющие интересующий отрезок. Возьмём событие на его правом конце, в которое утыкается $\mathbf e^1'$ — тогда $x' = (\mathbf e^1',\mathbf e^1') = 1$ (тут и дальше скобки обозначают скалярное произведение). В то же время ясно, что $x = (\mathbf e^1',\mathbf e^0') > 1$ (проекция на ось $x$ показана точками), и что длина интересующего отрезка в $K$, наоборот, меньше 1 (это длина пересечения оранжевой области с осью $x$).

Laktan в сообщении #1136811 писал(а):

а разве не $K'$?

Мне было удобно использовать ваши преобразования, чтобы не вносить дополнительной путаницы, потому я выбрал ИСО в таком порядке.

Laktan в сообщении #1136811 писал(а):

это как раз-таки то, что я буду видеть из $K'$ ?

Видеть глазами вы будете другое. Преобразования Лоренца нужны не для этого. Чтобы посчитать, что будет видно, надо учесть разное время, за которое свет от разных событий будет до нас идти, и при этом по смыслу лучше не ограничиваться двумерным пространством-временем.