несложная задача о группах Ли

[Salvador]

Юстас писал(а):

Можно из последовательности степеней $g^n $выбрать сходящуюся подпоследовательность $n_k$ и посмотреть на $\lim g^{n_k} \times\lim g^{-{n_{k-1}}}$, откуда все следует.

На вашем месте я был бы осторожнее с последовательностями. Нигде ведь не сказано, что группа секвенциально компактна, так что такое рассуждение проходит не для всех групп.

[zoo]

Salvador писал(а):

На вашем месте я был бы осторожнее с последовательностями. Нигде ведь не сказано, что группа секвенциально компактна, так что такое рассуждение проходит не для всех групп.

секвенциальная компактность следует из компактности в смысле покрытий

[Someone]

zoo писал(а):

секвенциальная компактность следует из компактности в смысле покрытий

Не следует.

[zoo]

Someone писал(а):

zoo писал(а):

секвенциальная компактность следует из компактности в смысле покрытий

Не следует.

Пример в студию

[nim]

zoo писал(а):

приведите, пожалуйста, формальное доказательство

Так как m^{-1}(U) открыто, где m:G\times G\to G есть умножение, то существуют окрестности единицы V_1,V_2\subset G, такие что V_1\times V_2\subset m^{-1}(U). Тогда можно взять V=V_1\cap V_1^{-1}\cap V_2\cap V^{-1}_2.

zoo писал(а):

Вы хотите сказать , что (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V=V?

не хочу

zoo писал(а):

И почему это покрытие?

потому что G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV,\ gV,\ g^2V,\dots - покрытие.

[zoo]

nim писал(а):

Так как m^{-1}(U) открыто, где m:G\times G\to G есть умножение, то существуют окрестности единицы V_1,V_2\subset G, такие что V_1\times V_2\subset m^{-1}(U). Тогда можно взять V=V_1\cap V_1^{-1}\cap V_2\cap V^{-1}_2.

понял ok

nim писал(а):

zoo писал(а):

И почему это покрытие?

потому что G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV,\ gV,\ g^2V,\dots - покрытие.

да это покрытие, в которое входит замкнутое множество $G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV$,
почему (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V,\ gV,\ g^2V,\dots
является покрытием я по-прежнему не понимаю.
Впрочем уже было приведено более простое доказательство.

[Someone]

zoo писал(а):

Someone писал(а):

zoo писал(а):

секвенциальная компактность следует из компактности в смысле покрытий

Не следует.

Пример в студию :lol:

$D^{\mathfrak c}$, где $D$ - двухэлементная группа ($\mathbb Z_2$, в других обозначениях), $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ - континуум.

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

[Юстас]

Насколько я понимаю, группа Ли - многообразие, то есть локально изоморфно $\mathbb{R}^n$, поэтому топология метризуема, и можно говорить о секвенциальной компактности.

[nim]

zoo писал(а):

почему (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V,\ gV,\ g^2V,\dots
является покрытием я по-прежнему не понимаю.

(G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V уже открыто и содержит G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV

[Salvador]

Юстас писал(а):

Насколько я понимаю, группа Ли - многообразие, то есть локально изоморфно $\mathbb{R}^n$, поэтому топология метризуема, и можно говорить о секвенциальной компактности.

Безусловно, можно. Но зачем же требовать то, что не нужно? Ведь nim привел отличное доказательство, не предполагающее наличия на группе никаких дополнительных структур.

Всем же, у кого возникают вопросы наподобие вышеизложенных, я могу в качестве введения в топологические группы порекомендовать очень приятную книжку Морриса "Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп". Правда сам Моррис многих вещей не доказывает, оставляя их в качестве упражнений.
Наиболее недоверчивые могут найти подробные доказательства всех утверждений в 1-м томе страшной монографии Хьюитта, Росса "Абстрактный гармонический анализ".

Добавлено спустя 6 минут 44 секунды:

zoo писал(а):

Впрочем уже было приведено более простое доказательство.

Всякая сложная задача имеет простое легко усваиваемое неправильное решение

[zoo]

nim писал(а):

zoo писал(а):

почему (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V,\ gV,\ g^2V,\dots
является покрытием я по-прежнему не понимаю.

(G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V уже открыто и содержит G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV

почему содержит, простите за непонятливость

[nim]

zoo писал(а):

nim писал(а):

(G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V уже открыто и содержит G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV

почему содержит, простите за непонятливость

e\in V, поэтому (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V\supset (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot \{e\}=G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV

[zoo]

Someone писал(а):

$D^{\mathfrak c}$, где $D$ - двухэлементная группа ($\mathbb Z_2$, в других обозначениях), $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ - континуум.

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

введите, пожалуйста топологию в множестве $D^{\mathfrak c}$, ну и последовательность, которая не имеет предельных точек тоже пожалуйста, и комментарии какие-нибудь, если можно
Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

nim писал(а):

zoo писал(а):

nim писал(а):

(G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V уже открыто и содержит G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV

почему содержит, простите за непонятливость

e\in V, поэтому (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot V\supset (G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV)\cdot \{e\}=G\setminus\bigcup_{k=1}^\infty g^kV

спасибо, Ваше доказательство я понял

Добавлено спустя 1 час 4 минуты 26 секунд:

Salvador писал(а):

Всякая сложная задача имеет простое легко усваиваемое неправильное решение

Смешно другое. Я наконец понял, что имел ввиду Someone, когда приводил пример с координалами. Я написал, что из компактности в смысле покрытий, следует секвенциальная компактность. Это банальная теорема, содержащаяся в Колмогорове Фомине и уж, конечно у Энгелькинга. Странно, что Вам это не известно. Someone, который просто невнимательно прочитал мой текст, привел классический пример, показывающий, что из секвенциальной компактности не следует компактности в смысле покрытий. С доказательством Юстаса, таким образом, все нормально.

[Someone]

zoo писал(а):

Someone писал(а):

$D^{\mathfrak c}$, где $D$ - двухэлементная группа ($\mathbb Z_2$, в других обозначениях), $\mathfrak c=2^{\aleph_0}$ - континуум.

Р.Энгелькинг. Общая топология. Москва, "Мир", 1986.

введите, пожалуйста топологию в множестве $D^{\mathfrak c}$, ну и последовательность, которая не имеет предельных точек тоже пожалуйста, и комментарии какие-нибудь, если можно

Топология там стандарнтая для произведения топологических пространств - тихоновская (на $D$, естественно берётся дискретная топология). Поскольку все сомножители в этом произведении компактны, то и произведение компактно. Поэтому всякое бесконечное подмножество в нём имеет предельную точку (даже точку полного накопления).

zoo писал(а):

Смешно другое. Я наконец понял, что имел ввиду Someone, когда приводил пример с координалами. Я написал, что из компактности в смысле покрытий, следует секвенциальная компактность.

Не следует.
Кстати, что за зверь такой - "координал"?

zoo писал(а):

Это банальная теорема, содержащаяся в Колмогорове Фомине и уж, конечно у Энгелькинга.

У Энгелькинга такой теоремы точно нет, поскольку Энгелькинг знает, что она неверна. Он же приводит соответствующий пример (тот самый $D^{\mathfrak c}$). В книге Колмогорова и Фомина я такой теоремы тоже не нашёл, и сильно удивился бы, если бы она там была.

zoo писал(а):

Someone, который просто невнимательно прочитал мой текст, привел классический пример, показывающий, что из секвенциальной компактности не следует компактности в смысле покрытий.

Из секвенциальной компактности действительно не следует компактность (в смысле покрытий, как Вы любите говорить). Только пример нужен другой. Например, множество ординалов, меньших первого несчётного, снабжённое порядковой топологией.

Но Вы, чем спешить опровергать, взяли бы книжку Энгелькинга и посмотрели, что он там пишет о пространствах компактных, счётно компактных, секвенциально компактных... Книжка большая, но найти всё это там нетрудно, поскольку есть предметный указатель.

В компактном пространстве (бесконечном) может вообще не быть никаких сходящихся последовательностей, кроме тривиальных.

Юстас писал(а):

Насколько я понимаю, группа Ли - многообразие, то есть локально изоморфно $\mathbb R^n$, поэтому топология метризуема, и можно говорить о секвенциальной компактности.

Пример был уместен, поскольку обсуждалось доказательство не для групп Ли, а для произвольных компактных групп.

Но с многообразиями тоже есть засады. Если под многообразием понимать просто (связное хаусдорфово) топологическое пространство, локально гомеоморфное $\mathbb R^n$, то оно вполне может оказаться неметризуемым. Для групп Ли, это, кажется, невозможно, но я доказательства не помню.

Добавлено спустя 36 минут 10 секунд:

Но хаусдорфово компактное многообразие, конечно, имеет счётную базу и потому метризуемо.

[zoo]

Someone писал(а):

В компактном пространстве (бесконечном) может вообще не быть никаких сходящихся последовательностей, кроме тривиальных.

Энгелькинг стр 204 теорема 3.1.24: "Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр имеет предельную точку"
теперь берем последовательность в компактном пространстве $\{x_i,\quad i\in\mathbb{N}\}$ и
задаем фильтр множествами $f_j=\{x_i,\quad i\ge j\}$

или другими словами:
Колмогоров Фомин (Москва 1972 стр 93): "В компактном топологическом пространстве всякое бесконечное подмножество имеет предельную точку."

И так, всякая последовательность в компактном пространстве имеет предельную точку, а Вы хотите сказать, что последовательность может не содержать подпоследовательности, сходящейся к этой предельной точке? Так я понял?