Несовпадение левой и правой частей в физических формулах.

[Solaris86]

Подскажите ответ на вопрос, который не дает покоя.
В школе регулярно долбили:
1) при умножении векторной величины на скалярную получается векторная величина:
$\vec{F} = m \cdot \vec{a}$
2) при умножении векторной величины на векторную (скалярное умножение векторов) получается скалярная величина:
$A = \vec{F} \cdot \vec{S}$
Все покивали, мол, всё понятно...
А дальше под шумок дают формулы, как сами собой разумеющиеся, но если взглянуть на формулу, то не очевидно, почему так, а не иначе...
Примеры:
1. $E_\text{к} = \frac {m \cdot \vec{V}^2} {2}$
Здесь квадрат вектора скорости - это скаляр, вроде всё хорошо, т.к. кинетическая энергия - скаляр...
2. $E_\text{п} = m \cdot \vec{g} \cdot h$
Тут в левой части формулы скаляр, в правой - вектор. Как?
3. $\vec{V} = - A \cdot \vec{\omega} \cdot \sin(\vec{\omega} \cdot t + \varphi_0)$
Непонятно, какой величиной считать аргумент синуса: там вектор, умноженный на скаляр, и скаляр)? Ну синус от этого - это скаляр?
4. $\vec{a} = - A \cdot \vec{\omega}^2 \cdot \cos(\vec{\omega} \cdot t + \varphi_0)$
А тут квадрат вектора - это скаляр (по аналогии с кинетической энергией, где квадрат вектора - скаляр), тогда как получится слева вектор, если справа все скаляры?

[Pphantom]

Просто в случаях 2-4 либо не нужен вектор, либо нужен не один. Правда, хотелось бы увидеть подобное в каком-то реальном учебнике/пособии, что, как мне кажется, все же маловероятно.

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1135924 писал(а):

2. $E_\text{п} = m \cdot \vec{g} \cdot h$
Тут в левой части формулы скаляр, в правой - вектор. Как?

Это неправильная формула. Должно быть: $E_\text{п}=m\cdot g\cdot h.$ Без значка вектора подразумевается модуль векторной величины.

Если очень хочется, можно записать формулу $E_\text{п}=-m\cdot\vec{g}\cdot\vec{r},$ где $\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k}$ - специальный вектор, который называется радиус-вектор (с радиусом в привычном смысле не имеет почти ничего общего).

Solaris86 в сообщении #1135924 писал(а):

3. $\vec{V} = - A \cdot \vec{\omega} \cdot \sin(\vec{\omega} \cdot t + \varphi_0)$
Непонятно, какой величиной считать аргумент синуса: там вектор, умноженный на скаляр, и скаляр)? Ну синус от этого - это скаляр?
4. $\vec{a} = - A \cdot \vec{\omega}^2 \cdot \cos(\vec{\omega} \cdot t + \varphi_0)$
А тут квадрат вектора - это скаляр (по аналогии с кинетической энергией, где квадрат вектора - скаляр), тогда как получится слева вектор, если справа все скаляры?

Опять же, эти формулы будут верны, если будут записаны через скаляры:
$v=-A\cdot\omega\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi_0)$
$a=-A\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t+\varphi_0)$
Либо так через векторы:
$\vec{v}=-\vec{A}\cdot\omega\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi_0)$
$\vec{a}=-\vec{A}\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t+\varphi_0)$
Здесь везде $\omega$ - циклическая частота - скалярная величина, а $\vec{A}$ - амплитуда - может быть сделана векторной.

Эти формулы относятся к прямолинейному колебанию, как в пружинном маятнике.

Но вот дальше, видимо, вас сбило с толку то, что круговую частоту вращательного движения также обозначают $\omega$ (хотя её единица измерения при этом становится $\text{рад}/\text{с}$). Для вращательного движения, действительно, вводят вектор частоты вращения, чтобы описать вращения в 3-мерном пространстве. Но при этом, этот вектор не ставится под синусом!

Для модулей при вращательном движении справедливы такие формулы:
$v=A\cdot\omega$
$a=A\cdot\omega^2$
А вот для векторов - придётся поковыряться. Введём вектор $\vec{R}$ (не радиус-вектор!), который указывает положение вращающейся точки относительно оси вращения в данный момент времени. Для него $|\vec{R}|=A.$ Тогда мы сможем записать:
$\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{R}=-\vec{R}\times\vec{\omega}$
$\vec{a}=\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{R})=(\vec{R}\times\vec{\omega})\times\vec{\omega}$
Здесь $\times$ - векторное произведение векторов, ещё его обозначают квадратными скобками: $[\vec{\omega}\vec{R}].$
Как видите, здесь при грамотном подходе тоже всё сходится: векторы на векторы дают векторы, и в левой части тоже векторы.

Однако, надо ещё записать сам $\vec{R}.$ Сделать это можно, но формула будет некрасивой. Введём два орта в плоскости вращения: $\vec{p},\vec{q}.$ Они не обязательно совпадают с ортами системы координат. Тогда
$\vec{R}=A(\vec{p}\cos(\omega\cdot t+\varphi_0)+\vec{q}\sin(\omega\cdot t+\varphi_0))$
Обратите внимание, что здесь всё равно $\omega$ под синусом и косинусом стоит в скалярном виде, а не в векторном.

[NT2000]

Solaris86 в сообщении #1135924 писал(а):

3. $\vec{V} = - A \cdot \vec{\omega} \cdot \sin(\vec{\omega} \cdot t + \varphi_0)$

Вам уже всё выяснили.
У меня один вопрос остался, где вы нашли чтобы $\omega$-циклическая частота обознаналась как вектор?

Ups. Munin уже всё расписал.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1135934 писал(а):

Сделать это можно, но формула будет некрасивой.

Это уже не школьно будет, но можно и красивую. Возьмём для простоты алгебру Клиффорда (насколько понимаю, можно более общо, но об этом писать не мне) $C\ell(V,\lVert\cdot\rVert^2)$ трёхмерного вещественного евклидова векторного пространства $V$. Поворот вектора $\vec r_0$ в плоскости, натянутой на векторы $\vec u_1,\vec u_2$, в направлении $\vec u_1\to\vec u_2$ на угол $\alpha$, даётся выражением $R^{-1}\vec r_0R$, где $R = e^{B\alpha/2}$, $B = B'/\lVert B'\rVert$, $B' = \vec u_1\wedge\vec u_2$. Заметки: $B$ — это единичный бивектор, представляющий нужную плоскость и ориентацию. Если взять ортогональные единичные $\vec u_1,\vec u_2$, то $B = \vec u_1\wedge\vec u_2 = \vec u_1\vec u_2$. $R^{-1} = e^{-B\alpha/2}$. $B^2 = -1$. Так что, наконец, $e^{Ba} = \cos a+B\sin a$, в нашем случае когда $a$ — скаляр.

Теперь мы можем включить время. При вращении вектора угол поворота зависит от времени линейно, итого будет $\vec r = e^{-Wt}\vec r_0e^{Wt}$, где $\vec r_0$ — его значение при $t = 0$, $W = B\omega/2$, и $\omega$ — круговая частота. И теперь-то мы можем брать производную! (Все соответствующие определения и теоремы, я, как уже понятно, прилагать здесь не буду.) Несмотря на некоммутативность умножения, формула Лейбница остаётся в силе, будучи аккуратно записанной: $(fg)' = f'g + fg'$; и если $a,t$ коммутируют и $a' = 0$, $\left(e^{at}\right)' = ae^{at}$ тоже в силе. В результате

$$\vec v = \vec r\,' = -We^{-Wt}\,\vec r_0\,e^{Wt} + e^{-Wt}\,\vec r_0\,We^{Wt} = e^{-Wt}(\vec r_0W - W\vec r_0)e^{Wt},$$

т. е. это вращающийся таким же образом вектор $\vec v_0 =\vec r_0W - W\vec r_0$.

Возьмём ортонормированный базис $(\vec u_1,\vec u_2)$ плоскости вращения; тогда $B=\pm\vec u_1\vec u_2$. Можно видеть, что $\vec u_1B - B\vec u_1 = \pm2\vec u_2$, $\vec u_2B - B\vec u_2 = \mp2\vec u_1$, т. е. $\vec v_0$ — это поворот $\vec r_0\omega$ на $\pi/2$ в плоскости вращения, притом в ту же сторону, что и само вращение. И т. д..

[Пусть меня поправят в деталях, если что.]

-- Ср июл 06, 2016 01:05:43 --

Для сравнения:

$$e^{Wt}=\cos\frac{\omega}2 t + B\sin\frac{\omega}2 t,$$

так что и тут везде тригонометрия берётся от безразмерных скаляров. А вот сумма может показаться размерности ай-ай-ай, но всё в любом случае сократится в формуле поворота. На самом же деле (1) мы просто засунули в одну алгебру группу спина, векторы и её действие на них, а могли бы не делать этого, (2) по идее, хорошая детальная математическая теория не нуждается в прилепленных размерностях, т. к. все нужные ограничения в ней есть и так. В данном случае требуется, чтобы $R$ был элементом вполне определённого вида, что в данном данном случае гарантируется тем, что $B$ — единичный бивектор.

P. S. И ещё: псевдовектору $\vec\omega$ здесь соответствует бивектор $B\omega$. Плюс, в двумерии формализм остаётся совершенно таким же. Да и в других размерностях, где, однако, не всем вращениям сопоставляется разложимый бивектор $\omega\vec u_1\wedge\vec u_2$. Только я не понял, какая целевая аудитория у этого поста теперь, когда кому-то это всё известно, а кому-то будут препятствием недосказанные детали.

[Solaris86]

Спасибо за ответы!

Munin в сообщении #1135934 писал(а):

Опять же, эти формулы будут верны, если будут записаны через скаляры:
$v=-A\cdot\omega\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi_0)$
$a=-A\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t+\varphi_0)$
Либо так через векторы:
$\vec{v}=-\vec{A}\cdot\omega\cdot\sin(\omega\cdot t+\varphi_0)$
$\vec{a}=-\vec{A}\cdot\omega^2\cdot\cos(\omega\cdot t+\varphi_0)$
Здесь везде $\omega$ - циклическая частота - скалярная величина, а $\vec{A}$ - амплитуда - может быть сделана векторной.

Значит, в любой формуле, где нужен вектор, можно его сделать, как в случае с амплитудой (никогда не слышал, что она может быть векторная)?

[Munin]

Solaris86 в сообщении #1136240 писал(а):

Значит, в любой формуле, где нужен вектор, можно его сделать, как в случае с амплитудой (никогда не слышал, что она может быть векторная)?

Ну не так уж прямо "можно сделать", но можно подумать над тем, где и как можно векторы ввести.

Довольно часто, например, используются единичные векторы в том направлении, которое нужно.

[Евгений Машеров]

Чтобы при умножении вектора на что-то получить скаляр, надо умножать на другой вектор (скалярным произведением). Скажем, в формуле (2) перемещение h - вектор, направленный к центру притяжения. Если величина h соответствует перемещению в ином направлении, формула будет неверна. Но строгой записи избегают просто для удобства, понимая, что есть "выделенное направление", очевидно из смысла задачи, и домножение на единичный вектор в этом направлении подразумевается, но не выписывается явно. Для третьего и четвёртого примеров "вспомогательный вектор" задаёт направление оси вращения, и после мысленного домножения на него (или, можно сказать то же иначе) нахождения проекции на заданное им направление у нас получается скаляр, с которым мы работает без угрызений совести.
Некая аналогия - появляющиеся в ходе расчётов размерные величины под логарифмом. Математически - права не имеем. Практически - мысленно приводим к безразмерной, пользуясь вспомогательной единичной величиной той же размерности. В этом случае, как и с векторами, у нас есть "строгое выражение" и "удобная для расчётов форма", в которой сделаны допущения. Если мы понимаем, в чём состоят эти подразумеваемые допущения - все хорошо. Если не задумываемся, а считаем "на автомате" - тоже нет проблем (пока не попадём в ситуацию, в которой допущения не выполняются). А болезненно задумываемся, когда пытаемся интерпретировать упрощённое для расчётов выражение, как строгое, но не понимаем, в чём состояли допущения.

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #1136283 писал(а):

Но строгой записи избегают просто для удобства

Нет. Ни в одном вменяемом учебнике строгой записи не избегают вообще. По одной простой причине: если в учебнике будет написана ерунда, то ученики ерунды налажают в сто раз больше. Единственный способ научить их считать без ерунды, включает в себя в том числе и полную строгость в тех формулах, с которых они будут брать пример как с образцов.

Евгений Машеров в сообщении #1136283 писал(а):

Некая аналогия - появляющиеся в ходе расчётов размерные величины под логарифмом.

Нет, там всё гораздо корректней.

[Solaris86]

Еще раз спасибо за разъяснение!

[Евгений Машеров]

Касательно логарифмов - я не о формулах, в которых явно встречается логарифм, а о (уходящей уже) практике расчётов по логарифмическим таблицам или логарифмической линейкой. Когда, умножая размерные величины, брали от них логарифмы. Что было законно потому, что единицы размерности мысленно выносились до логарифмирования. Но с точки зрения непосредственно вычисления - логарифм получался от метров или килограммов.

[Munin]

Там тоже всё было корректно

[dima90]

Евгений Машеров
Вы не могли бы привести пример такого расчета?

[arseniiv]

А чего там приводить. Надо умножить $2\,\text{кг}$ на $3\,\frac{\text м}{\text с}$. Мы плохо себе представляем, как перемножить их непосредственно, потому берём логарифмическую линейку (надо, чтобы там были шкалы и в килограммах, и в метрах в секунду), находим на одной шкале $2\,\text{кг}$ и устанавливаем $1\,\frac{\text м}{\text с}$ подвижной шкалы напротив этой отметки. Теперь смотрим, что будет напротив $3\,\frac{\text м}{\text с}$ этой шкалы на третьей шкале, которая проградуирована в $\frac{\text{кг}\cdot\text м}{\text с}$ (её единица должна стоять напротив единицы шкалы килограммов, если эти тоже могут двигаться друг относительно друга). Там окажется около $6\,\frac{\text{кг}\cdot\text м}{\text с}$, и мы можем смело писать $2\,\text{кг}\cdot3\,\frac{\text м}{\text с}\approx6\,\frac{\text{кг}\cdot\text м}{\text с}$.

-- Пт июл 08, 2016 21:21:02 --

(Оффтоп)

Ах да, забыл логарифмы. Чтобы их увидеть, надо разбирать линейку, но не уверен, что я смогу собрать её назад, а она — реликвия. Тут действительно надо подождать кого-то, у кого сохранилось больше линеек или умеющего их собирать.

-- Пт июл 08, 2016 21:26:51 --

P. S. На линейках для умножения на безразмерный множитель третья шкала может совпадать с первой, но в нашем случае — увы, нужна отдельная, т. к. $\text{кг}$ не сравнимы с $\text{кг}\cdot\frac{\text м}{\text с}$.

[dima90]

arseniiv
Понял, спасибо.