Квантовая суперпозиция как классическое среднее

[bayak]

Пусть у нас имеется квантовая суперпозиция $\psi_3=c_1\psi_1 + c_2\psi_2$. Тогда её можно записать как классическое среднее $\psi_3=\rho_1e^{i\varphi_1}\psi_1 + \rho_2e^{i\varphi_2}\psi_2$ квантовых состояний $e^{i\varphi_1}\psi_1$ и $e^{i\varphi_2}\psi_2$. С другой стороны, если добавить одно свёрнутое измерение, то редуцированное одномерное квантовое состояние $\psi=e^{i(\varphi+\omega x)}$ можно интерпретировать как нахождение квантовой частицы на соответствующей винтовой линии цилиндра. Тем самым, квантовая суперпозиция сводится к вероятностному среднему нахождения частицы на соответствующих линиях цилиндра.

-- Чт июн 30, 2016 22:50:29 --

Наверно всё это чушь - я не учёл, что вероятности это квадраты комплексных коэффициентов.

[arseniiv]

Даже не квадраты, а квадраты модулей, ага. И никакого классического взвешенного среднего не получится. Особенно если учесть, что можно и без нормировки обходиться.

[Munin]

bayak
Вам сколько раз повторять, что классическое среднее не способно дать гасящей интерференции? А она есть.

[arseniiv]

Тут стоит сказать, что есть фреймворк, общий как для теории вероятностей, так и для квантовой механики — кажется, на основе $C^*$-алгебр. Сейчас найду пост Тао, который здесь как-то упоминали на эту тему, со введением в это.

Вот: https://terrytao.wordpress.com/2010/02/10/245a-notes-5-free-probability.

-- Пт июл 01, 2016 00:21:38 --

Нет, не $C^*$-алгебры, а $*$-алгебры.

[Munin]

Общий-то есть. Другое дело, что это совсем не то же самое, что свести одно к другому.

Кстати, это упоминается даже в
Иванов. Как понимать квантовую механику?

[arseniiv]

Munin в сообщении #1134977 писал(а):

Другое дело, что это совсем не то же самое, что свести одно к другому.

Потому я это и привёл. Там дополнительные условия к пространству разные будут — аргумент прямее некуда — хотя, по идее, он уже не нужен тем, кто осилил эту штуку.

[bayak]

arseniiv в сообщении #1134956 писал(а):

Особенно если учесть, что можно и без нормировки обходиться.

А это как? Думаю наоборот - волновая функция зависит от нормировки. Что нам запрещает выбрать нормировку не на квадрат модуля, а на модуль?

-- Пт июл 01, 2016 18:45:16 --

Munin в сообщении #1134958 писал(а):

Вам сколько раз повторять, что классическое среднее не способно дать гасящей интерференции? А она есть.

В данном случае я хотел показать, что классическое среднее волновых функций с дополнительным фазовым параметром эквивалентно квантовой суперпозиции, но вылезли нормировочные препятствия.

[Munin]

Не будет эквивалентно никогда.

Препятствия будут вылезать всегда. Как бы вы их ни называли.

[arseniiv]

bayak в сообщении #1135121 писал(а):

А это как?

Ну как-как. Давайте выводить. (Это есть в литературе, но можно и прямо здесь вывести. Только вместе с вами.) Что нам для начала нужно, чтобы вообще говорить о вероятностях?

bayak в сообщении #1135121 писал(а):

Думаю наоборот - волновая функция зависит от нормировки. Что нам запрещает выбрать нормировку не на квадрат модуля, а на модуль?

Что значит «зависит от нормировки»?

bayak в сообщении #1135121 писал(а):

Что нам запрещает выбрать нормировку не на квадрат модуля, а на модуль?

То, что нормировка — это делание нормы равной единице с сохранением «направления» (т. е. мы можем сделать это только умножением на скаляр), а норма как функция на гильбертовом пространстве у нас задана, и её не нужно менять, потому что она согласована с эрмитовым скалярным произведением на нём же.

[bayak]

arseniiv, спасибо, что развеяли мои наивные представления. Действительно, поскольку сохраняется сумма квадратов модулей, то наивно было бы требовать сохранения суммы модулей.

Munin в сообщении #1135151 писал(а):

Не будет эквивалентно никогда.

Препятствия будут вылезать всегда. Как бы вы их ни называли.

Хорошо, тогда будем говорить не об эквивалентности, а об аналогии. Для этого в стартовом посте достаточно уточнить, что мы получаем не $\psi_3$, а функцию, производную от квантовой суперпозиции, причём $\rho_1=|c_1|^2$, $\varphi_1=\mathop{\arg}(c_1)$ и $\rho_2=|c_2|^2$, $\varphi_2=\mathop{\arg}(c_2)$.

[arseniiv]

Неясно, какую тут ещё можно выкопать аналогию кроме самой прямой: и взвешенное среднее, и суперпозиция — это линейные комбинации.

-- Пн июл 04, 2016 09:54:32 --

Хотя взвешенное среднее можно определить и даже если линейной структуры нет, а есть только аффинная. Потому его иногда зовут аффинной комбинацией (или выпуклой, если коэффициенты неотрицательными должны быть). Но это тут оффтоп.

[Munin]

bayak в сообщении #1135581 писал(а):

Хорошо, тогда будем говорить не об эквивалентности, а об аналогии.

Поскольку аналогия - понятие размытое, говорить вы можете вечно и без толку. Впрочем, как всегда.

[bayak]

arseniiv в сообщении #1135586 писал(а):

Неясно, какую тут ещё можно выкопать аналогию кроме самой прямой: и взвешенное среднее, и суперпозиция — это линейные комбинации.

Тут для аналогий места хватает. Достаточно принять, что квантовая частица это кольцо на цилиндре, причём линейная скорость кольца пропорциональна его угловой скорости. Кроме того, пусть пространство наблюдателя это гладкая бесконечная линия без петель, которая обвивает цилиндр. Тогда марковский процесс случайного блуждания кольца это в точности фейнмановская формулировка квантовой механики для одного измерения. Здесь под случайной величиной надо понимать фазовую длину свободного пробега кольца, то есть его пробега без изменения линейной (а вместе с тем и угловой) скорости.

[arseniiv]

(Оффтоп)

bayak в сообщении #1137304 писал(а):

Достаточно принять

Боюсь, на ночь я это принимать не стану — дорог спокойный сон.

[Munin]

bayak в сообщении #1137304 писал(а):

Достаточно принять, что квантовая частица это кольцо на цилиндре

Вы это твердите уже много лет подряд, и никому не смогли даже внятно объяснить, что это значит, не то что формализовать. Может, хватит уже?