Высшие симметрии систем уравнений в частных производных

[пианист]

Для меня тут в Ваших рассуждениях какая-то непреодолимая лакуна.

VanD в сообщении #1134644 писал(а):

Тогда просто по определению решений уравнений $S_{2}, S^{(3)}_{2}$ композиция $\pi_{5, 2}\circ\exp(aX): J^5(2, 1) \to J^2(2, 1)$ переводит решения $S^{(3)}_{2}$ в решения $S_2$.

Проекция просто-напросто отбрасывает старшие производные. Откуда следует, что младшие после "обрезки" генератора группы не исказятся?
--
Кстати, как, все-таки, в Вашу схему укладываются дополнительные соотношения на решения? ведь они-то (соотношения) по любому имеют место быть..

[VanD]

пианист в сообщении #1134802 писал(а):

Откуда следует, что младшие после "обрезки" генератора группы не исказятся?

В общем случае исказятся, поэтому такой способ построения подходящих генераторов не работает.

пианист в сообщении #1134802 писал(а):

Кстати, как, все-таки, в Вашу схему укладываются дополнительные соотношения на решения? ведь они-то (соотношения) по любому имеют место быть..

Дополнительных соотношений не будет. То соотношение, которое Вы приводили, получалось после дифференцирования $u_{tt}$ по $t$ и приравнивания, но все координаты независимые, в общем случае нельзя получить выражение для преобразованной $u_{ttt}$ продифференцировав преобразованную $u_{tt}$. Так можно только вдоль поднятий графиков, коим результат действия $\exp(aX)$ не является.

Дополнительных соотношений не будет так как для всякого решения $S_2^{(3)}$ его $\pi_{5, 2}\circ\exp(aX)$-образ будет лежать на $S_2$ и касаться $C_2$, то есть будет решением исходного уравнения.

[пианист]

VanD
А!
Так, все-таки, теплопроводность служить примером реализации Вашей схемы не может?

[VanD]

пианист в сообщении #1134831 писал(а):

Так, все-таки, теплопроводность служить примером реализации Вашей схемы не может?

Примером схемы с обрезанием произвольного оператора в координатах -- не может, эта схема совсем не рабочая. Но тот конкретный оператор, который был рассмотрен в post1060595.html#p1060595 подходит для теплопроводности. Обрезание хороших операторов было попыткой найти способ построения работающих преобразований, но не всегда это так. Искать их надо другим способом, но не понятно как. Какие-то частные случаи ясно как находить, но чисто вычислительно очень неприятная задача выходит.

Я явно, видимо, не сказал об этом, но от идеи обрезания произвольных операторов я отказался. Подходящие операторы -- те, которые сохраняют некоторую поверхность $S: S_{p}^{(k)} \subset S \subset S_{p + k, p}$ и при этом сохраняют некоторое распределение $C: C_{p + k} \subset C \subset C_{p + k, p}$ на $J^{p + k}$. А то, что первый же рассмотренный оператор для уравнения теплопроводности после обрезания подошёл -- это скорее везение.

[пианист]

VanD

(Оффтоп)

Я запутался :(
Впрочем неважно, вопрос все равно же остался.

Если $C_{p + k} \ne C$, координаты расслоения джетов $p + k$-го порядка после действия преобразования теряют свой смысл относительно преобразованного решения. Откуда все-таки следует, что младшие производные преобразуются правильно? И разве это не значит, что на этих производных "неправильный" генератор совпадает с неким "правильным"?

[VanD]

пианист в сообщении #1134845 писал(а):

Откуда все-таки следует, что младшие производные преобразуются правильно?

Это следует из того, что $C\subset C_{p + k, p}$, тогда ${\pi_{p+k, p}}_{\ast}(C) \subset {\pi_{p+k, p}}_{\ast}(C_{p+k ,p}) = C_p$, то есть образ того, что касалось $C$, будет касаться $C_p$, а это (при учёте размерности этого образа) и есть гарант.

пианист в сообщении #1134845 писал(а):

И разве это не значит, что на этих производных "неправильный" генератор совпадает с неким "правильным"?

Мне это пока не понятно, всегда ли получаются для тех $u_\alpha$, которые правильно преобразовывались (которые до порядка $p$ включительно), компоненты генератора при $\dfrac{\partial \ \ }{\partial u_\alpha}$ честными в смысле обычного продолжения.

[пианист]

VanD в сообщении #1134863 писал(а):

Это следует из того, что $C\subset C_{p + k, p}$

Если генератор проектируется на расслоение джетов $p$-го порядка, т.е. коэффициенты при производных порядка до $p$ зависят от производных порядка до $p$ же, то да. Но это будет как раз случай, когда

пианист в сообщении #1134845 писал(а):

.. "неправильный" генератор совпадает с неким "правильным"

Если же нет, т.е. коэффициенты при производных порядка до $p$ зависят от производных порядка выше $p$, то утверждение непонятно: по видимости, старшие производные, преобразуясь по неправильному закону, "испортят" младшие.

[VanD]

пианист в сообщении #1134937 писал(а):

Если генератор проектируется на расслоение джетов

Мы генератор и не проектируем, векторные поля не переносятся гладкими отображениями в общем случае. Мы берём композицию отображений, эта штука уже определена корректно. Композиция действия элемента группы и проекции отображает не $J^p$ в себя, а $J^{p + k}$ в $J^p$.

пианист в сообщении #1134937 писал(а):

Если же нет, т.е. коэффициенты при производных порядка до $p$ зависят от производных порядка выше $p$, то утверждение непонятно: по видимости, старшие производные, преобразуясь по неправильному закону, "испортят" младшие.

Если Вы имеете в виду произвольные обрезанные операторы, то в общем случае так и будет. Поэтому подходящие операторы, наверно, надо искать по-другому. Но если выполнено условие сохранения экспонентой оператора некоторых подходящих $S$ и $C$, то это гарантирует, что в композиции с проекцией всё будет в порядке.

[VanD]

Я понял, что вся описанная конструкция есть ни что иное, как спицефического вида семейство накрытий системой самой себя. В связи с этим интересно, не было ли в последнее время получено какое-нибудь условие существования линейного накрывающего уравнения/системы над заданным уравнением? И как формальная интегрируемость выражается в терминах накрывающих уравнений?

[пианист]

Попробуйте построить какой-то нетривиальный пример применения Вашей конструкции.
Думаю, много вопросов снимется.

[VanD]

пианист в сообщении #1137131 писал(а):

Попробуйте построить какой-то нетривиальный пример применения Вашей конструкции.

Я затрудняюсь привести нетривиальный пример, да и смысла особого в этом уже не вижу. После знакомства с понятием накрывающего уравнения стало понятно, что та конструкция не исключительная по форме своей.

Другое показалось интересным: у уравнения теплопроводности $u_t = u_{xx}$ в силу линейности есть бесконечное семейство подгрупп группы симметрий вида $ \varphi\partial_u $, где $\varphi$ -- его решения. У каждой такой группы можно выписать внутренние дифференциальные инварианты до первого порядка: $x$, $t$, $ u\partial_x\varphi - \varphi u_x $, тогда можно попытаться получить накрытие им другого уравнения в виде $w = u\partial_x\varphi - \varphi u_x$. При этом оказалось, что в случае теплопроводности при любом решении $\varphi$ приходим к корректному накрываемому уравнению, решения которого "соответствуют орбитам" $ \varphi\partial_u $ (так как любые два решения, одно из которых переходит в другое действием группы $ \varphi\partial_u $, отображаются в одну и ту же $w$). И так срабатывет для произвольного решения $\varphi$.

(К слову, уравнение Бюргерса накрывается уравнением теплопроводности (подстановка Флорина-Коула-Хопфа) по аналогичной схеме, только делается "переход к орбитам" группы $u\partial_u$).

Но у уравнения $u_{xx} = yu_{yy} + 2u_{y}$ трюк с "переходом к орбитам" $\varphi\partial_u$ проходит только с теми его решениями $\varphi$, в которых переменные разделяются в виде $\varphi = A(x)B(y)$, только при таких $\varphi$ -- решениях уравнения $u_{xx} = yu_{yy} + 2u_{y}$ существует накрываемое уравнение. С чем это может быть связано? С эволюционностью уравнения теплопроводности или типо того?

[пианист]

VanD
Вы, кажется, уже упоминали, но я упустил, сори.
Что есть накрытие? Если это имеет отношение к уравнению Бюргерса (видимо, речь о связи между уравнениями Бюргерса и теплопроводности?), то просьба расшифровать, как именно.
Также не понял, какую конструкцию Вы описываете словами "решения соответствуют орбитам" (это часть понятия накрытия?).
Кстати, никогда не встречал термин "внутренние дифференциальные инварианты". Если это важно, тоже просьба пояснить.

[VanD]

пианист в сообщении #1138758 писал(а):

Что есть накрытие?

Это понятие, насколько я понимаю, ввели Виноградов, Красильщик и Лычагин в книге "Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений".
Определяется так: пусть есть два бесконечно продолженных дифференциальных уравнения: $\tilde{\mathcal{E}}$ и $\mathcal{E}$ с распределениями Картана $\tilde{C}$ и $C$, замкнутыми относительно коммутатора: $[\tilde{C}, \tilde{C}]\subset \tilde{C}$; $[C, C]\subset C$, тогда отображение $\tau: \tilde{\mathcal{E}}\to\mathcal{E}$ называется накрытием, если в каждой точке $\tilde\theta\in\tilde{\mathcal{E}}$ ограничение $d\tau|_{\tilde{C}_{\tilde\theta}}: \tilde{C}_{\tilde\theta} \to C_{\tau(\tilde\theta)}$ является изоморфизмом. Короче говоря, если $\tau$ отображает решения в решения (не обязательно обратимым образом).

пианист в сообщении #1138758 писал(а):

Также не понял, какую конструкцию Вы описываете словами "решения соответствуют орбитам" (это часть понятия накрытия?).

Нет, это я от себя написал, просто по смыслу на примере преобразования Флорина-Коула-Хопфа: подстановка $v = -2\dfrac{u_x}{u}$ переводит ненулевые решения уравнения $u_t = u_{xx}$ в решения уравнения $v_{t} + vv_x = v_{xx}$. При этом два ненулевых решения переходят в одно и то же решение тогда и только тогда, когда они отличаются ненулевым множителем, то есть, все решения, получаемые из данного ненулевого в результате действия группы растяжений, переходят в одно и то же решение уравнения Бюргерса.

пианист в сообщении #1138758 писал(а):

Кстати, никогда не встречал термин "внутренние дифференциальные инварианты". Если это важно, тоже просьба пояснить.

Я имел в виду, что у уравнения $u_t = u_{xx}$ в качестве внутренних координат на его бесконечном продолжении берутся координаты $x, t, u, u_x, u_{xx}, ...$, а рассматриваемые инварианты группы записаны во внутренних координатах. То есть, $ u\partial_t\varphi - \varphi u_t $ не подходит на роль внутреннего дифференциального инварианта первого порядка (он будет второго порядка: $ u\partial_t\varphi - \varphi u_{xx} $).

[пианист]

VanD
Если простыми словами: Вы говорите о дифференциальных подстановках, в правой части которых диференциальные инварианты группы симметрий уравнения, так?

[VanD]

пианист в сообщении #1139274 писал(а):

Вы говорите о дифференциальных подстановках, в правой части которых диференциальные инварианты группы симметрий уравнения, так?

Да.

Для линейных эволюционных уравнений с двумя независимыми переменными трюк действительно всегда срабатывает с любым ненулевым решением. Для линейных неэволюционных, видимо, как минимум, не всегда.