Про гармонические функции

[madschumacher]

Добрый вечер.
Хочу задать весьма банальный вопрос, который мучает меня уже много лет (извиняюсь за его простоту).
По определению гармонические функции -- это решения уравнения Лапласа (то бишь $\Delta f = 0$.

Так вот, вопрос: являются ли плоские волны и сферические гармоники гармоническими функциями?

Мне мозгЪ подсказывает, что нет, т.к. они получаются из уравнения вида $(\Delta - E) f =0$, но называются же они гармониками! В чём прикол?

Заранее спасибо и извиняюсь еще раз за эту банальщину.

[Munin]

Ещё есть гармонический осциллятор - с квадратичным потенциалом.

[Anton_Peplov]

madschumacher в сообщении #1134480 писал(а):

но называются же они гармониками! В чём прикол?

Мало ли чего как называется. Слов мало, понятий много. Тут про такие вещи специальная тема есть.

[madschumacher]

Munin в сообщении #1134489 писал(а):

Ещё есть гармонический осциллятор - с квадратичным потенциалом.

В классическом же случае там все равно же задача вида $\left(\frac{d^2}{dt^2} + \frac{k}{m} \right) x = 0$, ну а в квантовом случае собственные функции для этой задачи, вроде, никто гармониками и не называет.

Anton_Peplov в сообщении #1134494 писал(а):

Мало ли чего как называется. Слов мало, понятий много. Тут про такие вещи специальная тема
есть.

Спасибо большое. Что тему я не заметил -- это (но и не был уверен, что это -- омонимы).

Всем еще раз спасибо большое! Тему, думаю, можно закрывать.

[Munin]

madschumacher в сообщении #1134498 писал(а):

ну а в квантовом случае собственные функции для этой задачи, вроде, никто гармониками и не называет. :D

В трёхмерке там те же сферические гармоники лезут.

И вообще, надо подождать Великого и Могучего Red_Herring, вот он нам про спектр Лапласа на многообразиях-то и  врежет  расскажет.

[Red_Herring]

Сферические гармоники обычно получаются через гармонические полиномы, что вероятно и породило название.

[madschumacher]

Munin в сообщении #1134525 писал(а):

В трёхмерке там те же сферические гармоники лезут.

Для какого именно гармонического осциллятора в 3D? Если с потенциалом $V(\mathbf{r})=\frac{k}{2}\mathbf{r}^2$ (другой -- наврядли, т.к. сферическую симметрию он снимет ), то там спокойно решение можно представить в виде $\psi(\mathbf{r})=\psi_{n_x}(x)\psi_{n_y}(y)\psi_{n_z}(z)$, где $\psi_{n}(q) \propto H_n(\sqrt{\lambda} q) \exp( -\lambda q^2 / 2) \ , \ \lambda=m\omega / \hbar$, разве нет? Наверняка и по сферическим гармоникам разложить решения тоже можно, наверное для какого-то класса задач так будет удобнее, но можно то и по-другому, в том числе.

Red_Herring в сообщении #1134534 писал(а):

Сферические гармоники обычно получаются через гармонические полиномы, что вероятно и породило название.

Т.е. там действительно входит часть гармонической функции в истинном смысле слова (т.е. сферические функции $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ для углов $\theta$ и $\varphi$ в сферических координатах), но сами собственные для задачи $(\Delta + \frac{1}{r} - E) \psi = 0 $ -- не гармонические. Правильно я понял?

[Munin]

madschumacher в сообщении #1134535 писал(а):

там спокойно решение можно представить

Можно.

madschumacher в сообщении #1134535 писал(а):

Наверняка и по сферическим гармоникам разложить решения тоже можно

Тоже можно. И даже независимо от радиальной части потенциала можно. Ну ладно, это я за уши притягивал, конечно же :-)

[Brukvalub]

madschumacher, интересно, зачем вы раз за разом спрашиваете про гармоничность решений различных урчп? Вы же умеете различать уравнения

madschumacher в сообщении #1134480 писал(а):

$\Delta f = 0$

и

madschumacher в сообщении #1134480 писал(а):

$(\Delta - E) f =0$

madschumacher в сообщении #1134535 писал(а):

$(\Delta + \frac{1}{r} - E) \psi = 0 $

, или вы их не различаете?

[Munin]

Brukvalub
А в чём-таки разница между $\Delta f=0$ и $(\Delta-E)f=0$ при $E=0$?

[madschumacher]

Brukvalub в сообщении #1134544 писал(а):

интересно, зачем вы раз за разом спрашиваете про гармоничность решений различных урчп?

Я несколько лет испытывал когнитивный диссонанс на эту тему, пытался понять в чём фишка. Поэтому так сразу не могу поверить, что всё всегда было так просто, и что это это была чисто лингвистическая заковырка.

[Brukvalub]

Munin, так ведь только глупец пишет уравнение

Munin в сообщении #1134550 писал(а):

$(\Delta-E)f=0$ при $E=0$

, а разумный человек сразу пишет $\Delta f=0$.

[Red_Herring]

madschumacher в сообщении #1134535 писал(а):

Правильно я понял?

Нет. Если Вы рассмотрите гармонический полином $P(x,y,z)$ (т.е. т.ч. $\Delta P=0$ и никак не иначе), однородный степени $n$, то $P(x,y,z)=Y(\phi,\theta) r^n$, где $\Delta Y(\phi,\theta )+n(n+1)Y(\phi,\theta)=0$. В последнем уравнении $\Delta $ оператор Лапласа-Бельтрами на сфере и $Y(\phi,\theta )$ называется сферической гармоникой.

[madschumacher]

Всё понял. Это я что-то ступил

Спасибо большое.
Вот теперь, наверное, тему точно можно закрывать

[Munin]

Brukvalub
Понятно. Зря только спрашивал.

Игнор. В отличие от вас, с Red_Herring есть о чём поговорить.

-- 29.06.2016 01:30:17 --

Red_Herring
То есть, при изучении $\Delta f=0$ постоянно вылезают $(\Delta-E)f=0,$ я правильно понял?