Расстояние в криволинейной системе координат

[Утундрий]

GevorgyanH1 в сообщении #1120938 писал(а):

в искривленной системе координат

Это что ещё за неведома зверушка?

[epros]

Вероятно, имелась в виду ненулевая аффинная связность.

[Утундрий]

epros
Очевидно, ТС не понимает о чём говорит. Отсюда и мой вопрос. ТС-у, замечу.

[svv]

GevorgyanH1
Я не скажу Вам ничего нового. Надо попытаться отделаться самой малой кровью, насколько это возможно. Если у нас криволинейная система координат в евклидовом пространстве (а не на многообразии с кривизной — Вы говорили, что это не Ваш случай) — я выражу координаты через декартовы. Если это всё-таки не так, надо смотреть, нет ли облегчающих решение симметрий. И т.д. В самом худшем случае надо искать решение численно; кстати, есть методы, ориентированные именно на решение исходной вариационной задачи, а не дифференциального уравнения типа Эйлера-Лагранжа (в данном случае геодезических).

А расскажите-ка подробнее, в чём состоит Ваша проблема.

[GevorgyanH1]

Утундрий, хорошо, не одно и то же. Криволинейная система координат в пространстве.

[Dan B-Yallay]

GevorgyanH1 в сообщении #1133634 писал(а):

Утундрий, хорошо, не одно и то же. Криволинейная система координат в пространстве.

svv в сообщении #1133631 писал(а):

GevorgyanH1
Я не скажу Вам ничего нового. Надо попытаться отделаться самой малой кровью, насколько это возможно. Если у нас криволинейная система координат в евклидовом пространстве (а не на многообразии с кривизной — Вы говорили, что это не Ваш случай) — я выражу координаты через декартовы.

[GevorgyanH1]

svv, да проблемы как таковой нет, просто собираю способы нахождения расстояния между двумя точками в искривленной координатной сетке (КСК).

[Munin]

GevorgyanH1 в сообщении #1133636 писал(а):

просто собираю способы нахождения расстояния между двумя точками в искривленной координатной сетке (КСК).

Их нет многих. Есть только один. Вы его можете всего лишь выражать разными словами, но смысла в этом занятии нет.

[svv]

GevorgyanH1 в сообщении #1133636 писал(а):

svv, да проблемы как таковой нет, просто собираю способы нахождения расстояния между двумя точками в искривленной координатной сетке (КСК).

Без проблемы неинтересно. Попробуйте найти расстояние между двумя точками плоскости, используя полярную систему координат. Надо вычислить символы Кристоффеля, составить уравнение геодезических (собственно, это система, в нашем случае состоящая из двух уравнений), решить систему, найти интеграл $\int ds$ по дуге геодезической... Дело облегчается тем, что здесь всё известно заранее.
После можно будет разобрать, где можно было схитрить. Но лишь после.

[epros]

GevorgyanH1 в сообщении #1133636 писал(а):

проблемы как таковой нет, просто собираю способы нахождения расстояния между двумя точками в искривленной координатной сетке (КСК)

Способ "нахождения" расстояния зависит от способа определения расстояния. Стало быть, весь вопрос в том, как Вы собираетесь определять расстояние. Осмелюсь предположить, что Вы собираетесь определять расстояние таким образом, чтобы в декартовых координатах оно вычислялось по теореме Пифагора:

$$(dr)^2 = \sum\limits_i (dx^i)^2.$$

Это так?

Замечу, что, вообще говоря, существуют и другие способы определения расстояния.

[GevorgyanH1]

epros в сообщении #1134054 писал(а):

Это так?

Да, именно так.

А если бы у меня было искривленное пространство непрерывных функций с равномерной метрикой, какая тогда была бы формула?

[epros]

Что такое "искривленное пространство непрерывных функций с равномерной метрикой"?

[GevorgyanH1]

Ну, взять пространство непрерывных функций, для которого расстояние на отрезке [a,b] задается формулой: $d(f_1, f_2)=\max\limits_{x \in [a,b]} |f_1(x) - f_2(x)|$ и искривить его, как в случае с координатной сеткой. Или так нельзя?

[epros]

GevorgyanH1 в сообщении #1134097 писал(а):

взять пространство ... и искривить его

Не понимаю, как можно искривить пространство? Пространство либо искривлено, либо нет. Если мы из второго делаем первое, то значит мы меняем пространство.

GevorgyanH1 в сообщении #1134097 писал(а):

как в случае с координатной сеткой

В случае с координатной сеткой мы искривляем координатную сетку, а не пространство.

[GevorgyanH1]

epros, хорошо, тогда аналогичные условия, но на плоскости. Просто я думал, что если каждую поверхность пространства искривить, то мы получим как раз искривленной пространство по аналогии с искривлением пространства-времени в физике.