Расстояние в криволинейной системе координат

[GevorgyanH1]

Не могу найти формулу для нахождения расстояния между двумя точками в искривленной системе координат. Вот, например, как здесь .

На сколько мне позволяет судить мое инженерное образование то, расстоянием между точками пространства называют норму вектора, проведенного между этими точками. Формулу я нашел только одну: $\int_0^t dt' \sqrt{g_{ij}(q) q'_i(t) q'_j(t)}$. Но что-то мне подсказывает, что на самом деле формула будет не самой лицеприятной в общем случае.

[svv]

Найдите декартовы координаты точек и подставьте их в обычную формулу.
Интеграл, который Вы привели — это длина дуги кривой, заданной параметрически: $q_i(t)$.

Речь ведь не идёт о римановом многообразии с кривизной, как в общей теории относительности?

[GevorgyanH1]

svv, нет, не в ОТО. Подождите, ведь минимум этого функционала -- это длина пути. Я запутался.

[svv]

Просто значение функционала при произвольной зависимости $q_i(t)$ — это длина дуги кривой (да, длина пути). Из всех кривых, соединяющих $A$ и $B$, минимальное значение функционала получается для (прямолинейного) отрезка $AB$.

Так как значение функционала не зависит от системы координат, можно записать его в декартовой. А там для его минимального значения существует простая формула.

[GevorgyanH1]

svv, так это разве не только тогда, когда сетка кривая, а не все пространство?

[svv]

Я описывал ситуацию, когда кривая только сетка (криволинейная система координат), но пространство евклидово.

Если само пространство с кривизной, требует уточнения понятие прямой и невозможно ввести систему координат ($x_i$), в которой для любых точек $A, B$ справедлива формула
$d(A, B)=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x^{B}_i-x^{A}_i)^2}$

[GevorgyanH1]

svv, кажется, я понял. Просто я ничего не писал про прямую. Да и к слову -- прямая доставляет минимум функционалу как раз только в случае евклидового пространства. В общем же случае надо пользоваться общей формулой, которую я и привел. Разве не так?

[svv]

Да, Вы правы.
Ну, понятно, в каких-то частных случаях (например, сферической геометрии) не надо решать вариационную задачу (или уравнение геодезической), но в общем случае да.
Почему я заговорил о прямой: в евклидовом пространстве (где кривизны нет) расстояние между точками — это то же, что длина соединяющего их отрезка (прямой). Если не по прямой — это длина дуги кривой, путь.

[GevorgyanH1]

Хотелось бы вернуться к этой теме. Скажите, а все-таки не проще было бы узнать метрический тензор в данных координатах, и тогда уже расстояние между точками есть интеграл корня (g_ij dx_i dx_j) от точки начала до точки конца. Для его вычисления в криволинейных координатах по тензорному закону преобразования перейдем от метрического евклидова тензора к криволинейному, используя выражение новых координат через x,y. Только это для плоского пр-ва. Для искривленного метрический тензор должен быть задан.

[Brukvalub]

GevorgyanH1 в сообщении #1133427 писал(а):

и тогда уже расстояние между точками есть интеграл корня (g_ij dx_i dx_j) от точки начала до точки конца.

Просто "интеграл корня $(g_{ij} dx_i dx_j)$ от точки начала до точки конца" не бывает. Бывают криволинейные интегралы, и нужно указать, вдоль какой кривой требуется брать интеграл.

[GevorgyanH1]

Brukvalub, очевидно, интеграл берется вдоль кривой, длину которой мы вычисляем. Если требуется найти геодезическую, то нужно просто проварьировать этот функционал (заданный интегралом) и получить уравнение на геодезическую ($ \frac{d^2\:x^k}{ds^2}+\Gamma _{i,j}^k\cdot \frac{dx^i}{ds}\cdot \frac{dx^j}{ds}=0$).

[svv]

Проблема в том, что решать его, вообще говоря, тяжело.
В случае каких-нибудь симметрий (например, поверхности вращения) могут быть «послабления».

[Slav-27]

GevorgyanH1
Так вы что хотите сделать -- 1) посчитать длину какого-то известного пути из $A$ в $B$, или 2) посчитать длину самого короткого из возможных путей?

Если первое -- то никаких проблем, интегрируйте себе $ds$ вдоль него...

А если второе, то надо сначала найти самый короткий путь -- и вот это уже непросто. Если там можно ввести декартовы координаты, то, скорее всего, лучше перейти к ним -- там понятно, какой путь самый короткий.

[Brukvalub]

GevorgyanH1 в сообщении #1133476 писал(а):

Brukvalub, очевидно, интеграл берется вдоль кривой, длину которой мы вычисляем.

Да, это становится особенно очевидным после ваших слов

GevorgyanH1 в сообщении #1133427 писал(а):

Скажите, а все-таки не проще было бы узнать метрический тензор в данных координатах, и тогда уже расстояние между точками

[GevorgyanH1]

svv, а каким способом все-таки Вы находите расстояние между двумя точками в искривленной системе?