Композиции с участием дельта-функции Дирака

[cplx]

В самом начале березинских лекций по статистической физике автор предлагает следующее обозначение для интеграла по поверхности постоянной энергии: $\int f(q,p)\delta(H(q,p)-E)dqdp$, где $f$ - непрерывная функция, $E$ - положительная константа (энергия). Утверждается, что такое обозначение не противоречит свойствам дельта-функции и легко из них выводится.

Меня вводят в замешательство формальные трудности, которыми сопровождается снятие дельта-функции в этом интеграле. Фактически здесь имеет место композиция дельта-функции, определенной на действительной оси, с регулярной вещественнозначной функцией, определенной на фазовом пространстве. У Хёрмандера подобная конструкция мелькает в параграфе 6.1, где приводится теорема, дающая способ перейти от интеграла по всему пространству к соответствующему поверхностному интегралу. При этом под интегралом выскакивает норма градиента выражения, стоящего в аргументе дельта-функции (см. также соответствующий раздел в Википедии). Норма вектора (градиента), компоненты которого имеют разную физическую размерность - есть ли в этом смысл? И даже если есть, то какие свойства гамильтониана дают возможность перейти от записи, предложенной Березиным, к обычному интегралу по поверхности, в котором никаких дополнительных множителей не содержится? Буду благодарен, если поможете внести ясность в этот вопрос.

[Red_Herring]

Самое простое: на фазовом пространстве задана стандартная фазовая мера (внешняя форма): $dpdq$ (где $p,q$ могут быть и многомерными). Эту меру можно представить как $dpdq = d\mu \wedge d a$ где $a$ аргумент $\delta $. Форма d\mu задана неоднозначно, но вот её сужение на поверхности $a=\mathsf{const}$––однозначно. По этой мере и идет интегрирование

[cplx]

Red_Herring, спасибо за ответ.

1) Я правильно понял: Вы предлагаете совершить замену, при которой $a=H(q,p)$, $d\mu=Jdx_1\dots dx_{2n-1}$ ($J$ - якобиан), и тогда $\int f(q,p)\delta(H(q,p)-E)dqdp=\int \varphi(a;x_1,\dots,x_{2n-1})\delta(a-E)dad\mu=\int \varphi(E;x_1,\dots,x_{2n-1})d\mu$?

2) В чем состоит трудность в применении упомянутой формулы из книги Хёрмандера: $\int_{R^n}f(x)\delta(g(x))dx=\int_{g^{-1}(0)}\frac{f(x)}{|\nabla g|}dS$? И в чем принципиальная разница между $dS$ и $d\mu$?

[Red_Herring]

$d\mu = dS/|\nabla g|$ И этот агрегат инвариантен, в отличие от $dS$ и $|.|$, которые вычисляются в некоторой(любой) метрике на фазовом пространстве

[cplx]

Спасибо.