2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Композиции с участием дельта-функции Дирака
Сообщение21.06.2016, 18:45 


18/07/12
7
В самом начале березинских лекций по статистической физике автор предлагает следующее обозначение для интеграла по поверхности постоянной энергии: $\int f(q,p)\delta(H(q,p)-E)dqdp$, где $f$ - непрерывная функция, $E$ - положительная константа (энергия). Утверждается, что такое обозначение не противоречит свойствам дельта-функции и легко из них выводится.

Меня вводят в замешательство формальные трудности, которыми сопровождается снятие дельта-функции в этом интеграле. Фактически здесь имеет место композиция дельта-функции, определенной на действительной оси, с регулярной вещественнозначной функцией, определенной на фазовом пространстве. У Хёрмандера подобная конструкция мелькает в параграфе 6.1, где приводится теорема, дающая способ перейти от интеграла по всему пространству к соответствующему поверхностному интегралу. При этом под интегралом выскакивает норма градиента выражения, стоящего в аргументе дельта-функции (см. также соответствующий раздел в Википедии). Норма вектора (градиента), компоненты которого имеют разную физическую размерность - есть ли в этом смысл? И даже если есть, то какие свойства гамильтониана дают возможность перейти от записи, предложенной Березиным, к обычному интегралу по поверхности, в котором никаких дополнительных множителей не содержится? Буду благодарен, если поможете внести ясность в этот вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиции с участием дельта-функции Дирака
Сообщение21.06.2016, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
Самое простое: на фазовом пространстве задана стандартная фазовая мера (внешняя форма): $dpdq$ (где $p,q$ могут быть и многомерными). Эту меру можно представить как $dpdq = d\mu \wedge d a$ где $a$ аргумент $\delta $. Форма d\mu задана неоднозначно, но вот её сужение на поверхности $a=\mathsf{const}$––однозначно. По этой мере и идет интегрирование

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиции с участием дельта-функции Дирака
Сообщение22.06.2016, 02:56 


18/07/12
7
Red_Herring, спасибо за ответ.

1) Я правильно понял: Вы предлагаете совершить замену, при которой $a=H(q,p)$, $d\mu=Jdx_1\dots dx_{2n-1}$ ($J$ - якобиан), и тогда $\int f(q,p)\delta(H(q,p)-E)dqdp=\int \varphi(a;x_1,\dots,x_{2n-1})\delta(a-E)dad\mu=\int \varphi(E;x_1,\dots,x_{2n-1})d\mu$?

2) В чем состоит трудность в применении упомянутой формулы из книги Хёрмандера: $\int_{R^n}f(x)\delta(g(x))dx=\int_{g^{-1}(0)}\frac{f(x)}{|\nabla g|}dS$? И в чем принципиальная разница между $dS$ и $d\mu$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиции с участием дельта-функции Дирака
Сообщение22.06.2016, 03:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
$d\mu = dS/|\nabla g|$ И этот агрегат инвариантен, в отличие от $dS$ и $|.|$, которые вычисляются в некоторой(любой) метрике на фазовом пространстве

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиции с участием дельта-функции Дирака
Сообщение22.06.2016, 12:54 


18/07/12
7
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group