Как доказать равенство определителей?

[nevezhda]

В учебнике Mary Boas есть задача, начало которой я не могу решить. Там нужно доказать цепочку равенств определителей, не вычисляя их, а используя свойства определителей. Остальные шаги цепочки доказываются легко (поэтому я заменил их многоточием), но первый шаг...

$$ \det(\begin{pmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ac\\ 1 & c & ab \end{pmatrix})=\det(\begin{pmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix})=...$$

Прибавление к третьему столбцу линейной комбинации остальных ничего не даёт.
А если я пытаюсь прибавлять какую-то строку к другой строке, то портятся первые столбцы.
Как же это доказать?
(в последней строчке первого определителя была ошибка - я исправил)

[ET]

без дополнительных условия на $a$,$b$,$c$ и именно это - никак

Ps У вас там в последней строчке 1го определителя точно ошибки нету? Впрочем, это ничего не меняет

[Xaositect]

Домножьте все строки на правильные буквы и посмотрите внимательнее (если внизу $ab$ вместо $cb$)

[nevezhda]

Спасибо. Исправил опечатку в исходной матрице. Домножил все строки на правильные буквы:

$$ \det{\begin{pmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ac\\ 1 & c & ab \end{pmatrix}}= \det{\begin{pmatrix} a^2/bc & a^3/bc & a^2\\ b^2/ac & b^3/ac & b^2\\ c^2/ab & c^3/ab & c^2 \end{pmatrix}}=...=\det{\begin{pmatrix} 1 & a & a^2\\ 1 & b & b^2\\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}}=...$$

И смотрю внимательно... как баран на новые ворота. Что можно сделать с испорченными первыми столбцами?

[Xaositect]

Я имел в виду каждую строку на соответствующую одну букву. $\det{\begin{pmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ac\\ 1 & c & ab \end{pmatrix}}= \dfrac{1}{abc}\det{\begin{pmatrix} a & a^2 & abc\\ b & b^2 & abc\\ c & c^2 & abc \end{pmatrix}}$

[nevezhda]

Действительно, оказалось всё просто. Спасибо!
$\det{\begin{pmatrix} 1 & a & bc\\ 1 & b & ac\\ 1 & c & ab \end{pmatrix}}= \dfrac{1}{abc}\det{\begin{pmatrix} a & a^2 & abc\\ b & b^2 & abc\\ c & c^2 & abc \end{pmatrix}}= \det{\begin{pmatrix} a & a^2 & 1\\ b & b^2 & 1\\ c & c^2 & 1 \end{pmatrix}}= \det{\begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}}$

[svv]

$=(a-b)(b-c)(c-a)$

[bot]

С домножениями хорошо, только потом делить надо, а на ноль делить не рекомендуется, стало быть возникают, хотя и простые, но отдельные особые случаи. Можно чуток иначе.
Просто вычтем из первой строчки вторую и вуаля: детерминант делится на $a-b$. По симметрии возникают ещё два множителя, степень три, значит нашли все, остаётся определить знак, сравним с диагональным $1\cdot b\cdot ab$ - он самый, значит всё.

[Xaositect]

bot в сообщении #1131222 писал(а):

С домножениями хорошо, только потом делить надо, а на ноль делить не рекомендуется, стало быть возникают, хотя и простые, но отдельные особые случаи. Можно чуток иначе.
Просто вычтем из первой строчки вторую и вуаля: детерминант делится на $a-b$. По симметрии возникают ещё два множителя, степень три, значит нашли все, остаётся определить знак, сравним с диагональным $1\cdot b\cdot ab$ - он самый, значит всё.

По-моему, с нулевыми случаями мороки меньше - из за непрерывности обоих определителей равенство для нулей следует из равенства для произвольно малых ненулевых значений.

[svv]

Козырный аргумент алгебраистов.