Вероятности и операторы в квантовой механике

[something strange]

И снова здравствуйте! Есть где-нибудь доступное изложение того, как учёные пришли к статистическому пониманию квантовой механики? Я понимаю, что это лишь одна из множества интерпретаций, которые никак не влияют на результаты вычислений. Но хотелось бы понять, каким образом люди пришли к мысли о том, что квадрат модуля волновой функции даёт именно вероятность? Далее, общеизвестное выражение на среднего значения динамической переменной $\left\langle A \right\rangle$ = \int\limits_{}^{}\psi^* \hat{A} \psi dr$$ выводится следующим образом. Сначала берётся координата, оператор которой является просто самой координатой, и вычисляется среднее её среднее значение по правилу математической статистики: среднее значение переменной равно сумме (интегралу) произведений значения величины на вероятность этого значения:
$\left\langle x \right\rangle$ = \int\limits_{}^{} x \psi^* \psi dr$$.
Тут все понятно. Дальше делается непонятный для меня шаг. В случае координаты мы спокойно можем под знаком интеграла переставить местами координату и волновую функцию, ибо координата - просто числовой множитель, на функцию не влияющий. Но дальше эта формула записывается в таком виде:
$\left\langle x \right\rangle$ = \int\limits_{}^{}\psi^* x \psi dr$$
и обобщается на случай произвольной динамической переменной, который я написал выше. Но если в случае координаты не имеет значение, в каком месте стоит её оператор, то в случае любой другой динамической переменной, очевидно, это имеет значение. Собственно, почему мы изначально ставим оператор величины после $\psi^*$ и перед $\psi$, а не перед $\psi^* \psi$?
Ещё один момент. В квантовой механике динамические переменные представлены в виде операторов. Означает ли это, что в левой части этой самой формулы под знаком среднего должна стоять не сама величина, а её оператор: $\left\langle \hat{A} \right\rangle$ = \int\limits_{}^{}\psi^* \hat{A} \psi dr$$ ? Если нет, то почему? А если да, то почему среднее значение от оператора равно числу (как-то меня это смущает)?
Другой вопрос связан с применением в квантовой механике самих операторов. Можно ли понять, каким образом к нему пришли? В классической механике мы имели величину, например, импульс, относящуюся к телу и системе отчёта и как бы "существующую" саму по себе, но в квантовой механике эта величина представлена оператором, который должен действовать на другой математический объект - волновую функцию. Я так понимаю, что использование операторов - просто удобный инструмент, который позволяет находить значения величин в стационарных состояниях, которые совпадают с собственными числами операторов. Но всё же есть ли обоснование применения именно этого мат. аппарата? И есть ли доказательство того, что собственные значения оператора вообще совпадают со значениями величины, которые мы получим при измерении?

[arseniiv]

something strange в сообщении #1130801 писал(а):

Собственно, почему мы изначально ставим оператор величины после $\psi^*$ и перед $\psi$, а не перед $\psi^* \psi$?

Тут лучше забыть про интеграл $\int_{\ldots}\psi^*\psi\,d\mathbf r$, вспомнив, что это эрмитово произведение $(\psi,\psi)$. Теперь посмотрим, что скалярнозначного можно составить из $\psi,A$, пользуясь только им: $(A\psi,\psi)$, $(\psi,A\psi)$ (хотя можно наделать ещё всяких $(A^m\psi,A^n\psi)$ — тут лучше обратиться к физикам, чтобы они сказали, почему это не то). Так вот, по удивительному стечению обстоятельств от оператора наблюдаемой требуется как раз $(A\psi,\psi) = (\psi,A\psi)$! То есть у нас всего один вариант остаётся. К $(\psi,\psi)$ мы оператор применить не можем, потому что тогда мы получим оператор $(\psi,\psi)A$, а не скаляр.

-- Сб июн 11, 2016 18:41:46 --

Но это сильно на пальцах.

[Cos(x-pi/2)]

something strange, ну Вы даёте жару...

Вы хоть понимаете, что для развёрнутых ответов на эти вопросы (с необходимыми выкладками) отвечающий вынужден будет пересказывать Вам десятки страниц учебника по КМ? На это потребовалась бы уйма времени; поэтому, если, как говорится в таких случаях "религия Вам не запрещает", то прочтите, пожалуйста, всё в книгах самостоятельно, выполняя выкладки с ручкой и бумагой.

Кратко:

Вероятностную интерпретацию в КМ открыл Макс Борн, и было немало дискуссий о ней между самими первооткрывателями КМ (погуглите).

Формула для средних значений в КМ теснейшим образом связана с принципом суперпозиции в КМ; она легко выводится, если Вы разложите волновую функцию (или в общем случае "вектор состояния") по собственным функциям (собственным состояниям) оператора данной физической величины.

Среднее "от оператора" это жаргон, так что хотите ставьте шляпку в левой стороне, хотите нет: в любом случае речь идёт о числе - оно интерпретируется как значение данной физ. величины, усреднённое по её квантовым флуктуациям в данном состоянии.

Обоснования применению операторов в квантовой теории есть, они могут быть сформулированы по-разному. Одна из формулировок связана с рассмотрением групп операторов, представляющих преобразования симметрии квантовой системы (найдёте в учебниках при желании).

Доказательств, что эксперимент всегда обязан выдавать предсказанное теорией, конечно же нет и быть не может. Но тот факт, что спектр значений квантово-механически флуктуирующей в опытах физической величины описывается в теории как спектр собственных значений соответствующего оператора, - закладывается в основу теории при её построении; поэтому в разумных моделях он подтверждается опытом в разумных пределах, и доказательств не требует.

Как фотон "вылазит" из излучающего атома никто не знает. И эксперимента такого нет, в котором было бы видно, как фотон зарождается в недрах атома, высовывается наружу, озираясь, и затем решает куда ему лететь. КМ не описывает цепочек одиночных событий во времени (она описывает только динамику амплитуд вероятностей, динамику средних значенйй - т.е. всё только статистически), а теория, объясняющая происхождение КМ не создана, и, имхо, неизвестно - может ли она быть создана.

Ну вот, как-то так, наверное,... Имхо, про подробности есть смысл спрашивать только если вдруг почему-то случится "затык" в понимании выкладок из учебников после длительных попыток самостоятельно про всё это прочесть, разобрать и самому себе пару раз вывести.

[arseniiv]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130810 писал(а):

Как фотон "вылазит" из излучающего атома никто не знает.

Кстати, а как же КЭД? Можно же теоретически представить атом в вакууме и посчитать состояние этой системы через какое-то время (наверно?). Понятно, что надо будет учесть кучу диаграмм, где фотон не только излучается, но и поглощается обратно и т. д., и само состояние будет, возможно, выражаться какой-нибудь страшной суперпозицией, но ведь можно?

[Cos(x-pi/2)]

arseniiv
Так ведь "состояние" это набор амплитуд вероятности - набор коэффициентов разложения вектора состояния системы по "базисным состояниям", а совокупность "базисных состояний" интерпретируется как перечень того, что с той или иной вероятностью может обнаружиться в эксперименте. Отдельный экземпляр конкретной системы, - конкретный атом, - остаётся вне обсуждения и в КМ и в КЭД.

Даже если при каких-то условиях теоретически "атом должен оказаться в одном определённом базисном состоянии" (а остальные коэффициенты суперпозиции равны нулю), то чтобы удостовериться в этом экспериментально, надо повторять и повторять испытания; одиночное измерение ни о чём ещё не говорит экспериментатору.

И диаграммы, имхо, не снимают вопроса ТС "о механизме квантового перехода"; в частности, - о механизме появления фотона: как конкретный фотон "вылазит" из вершины диаграммы и как "залазит" обратно в вершину (если это виртуальный фотон) или "залазит в детектор" - такое кино в эксперименте не доступно, и квантовая теория об этом благоразумно ничего не говорит.

[AnatolyBa]

something strange в сообщении #1130801 писал(а):

Есть где-нибудь доступное изложение того, как учёные пришли к статистическому пониманию квантовой механики?

Есть книга: Джеммер. Эволюция понятий квантовой механики.
Понятная и отвечающая на ваш вопрос. Но читать вам ее сейчас я крайне не рекомендую (можете пробежать глазами оглавление).
Сначала познакомьтесь с современным учебником.
Книга заканчивается где-то на уровне конца двадцатых годов. Сейчас многие вещи излагаются иначе.

[arseniiv]

Cos(x-pi/2)
А, ясно. (Ну, я придерживаюсь мнения, что можно сказать про конкретный атом, что он в состоянии каком-то там $\psi$, пусть даже мы и не знаем это состояние, а узнаем с нужной точностью, только имея большую кучу таких одинаковых атомов. Это убеждение, конечно, в какой-то степени ортогонально физике.) Вопрос об ансамбле атомов будет, видимо, пониматься всеми уже одинаково.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130815 писал(а):

И диаграммы, имхо, не снимают вопроса ТС "о механизме квантового перехода", в частности о механизме появления фотона: как конкретный фотон "вылазит" из вершины диаграммы и как "залазит" обратно в вершину (если это виртуальный фотон) или "залазит в детектор" - такое кино в эксперименте не доступно, и квантовая теория об этом благоразумно ничего не говорит.

Да, точно, не заметил сначала, что и тут может быть вопрос. Меня-то это устраивает, а вот устраивает ли something strange, не подумал.

[Cos(x-pi/2)]

arseniiv, всё хорошо: ведь обсуждение вопросов участниками с разных точек зрения дело полезное.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130815 писал(а):

И диаграммы, имхо, не снимают вопроса ТС "о механизме квантового перехода"; в частности, - о механизме появления фотона: как конкретный фотон "вылазит" из вершины диаграммы

Это вы зря. Достаточно перевести диаграмму в координатное представление (неудобное для расчётов, но всё же возможное).

[Cos(x-pi/2)]

Munin, что зря? И для чего "достаточно перевести диаграмму в координатное представление"? Получится такая же по форме диаграмма и прежний ответ для вероятности излучения фотона атомом.

Речь-то у меня шла об ответе вот на какой вопрос (а не о том, как считать вероятности):

something strange в сообщении #1130804 писал(а):

Но существует ли какой-либо способ (быть может, лежащий за рамками квантовой механики) рассмотреть процесс перехода электрона в атоме? А именно, каким образом он происходит, каким образом рождается фотон (а не так, что вот его не было, а вот он уже летит)?

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130855 писал(а):

Получится такая же по форме диаграмма и прежний ответ для вероятности излучения фотона атомом.

Это верно. А ещё эту диаграмму можно разрезать в произвольном месте пространственноподобной плоскостью, и получить *) картину Шрёдингера. И найти, каким образом происходит постепенный переход волновой функции электрона из $\psi_1$ в $\psi_2,$ и одновременно возникает полевая функция электромагнитного поля (и растёт вес однофотонного слагаемого), причём всё это безо всяких скачков, локально в каждой точке пространства-времени.

-- 11.06.2016 19:55:00 --

*) Интегралом по всем траекториям, то есть, по всем пространственно-временным координатам вершин.

[Cos(x-pi/2)]

Munin
С волновыми функциями всё ясно, но вопрос у ТС был, насколько я понял, про "квантовый переход" в смысле "квантовый скачок" - как скачок развивается во времени. Да, функции изменяются плавно, но число частиц-то меняется скачком; и поэтому нет оснований ставить знак равенства между понятием "полевая функция" и понятием "фотон" (и аналогично нет оснований ставить знак равенства между понятием "электрон" и "волновая функция электрона").

Цитировалась же уже много раз статья в УФН и вот эта картинка оттуда - вероятность обнаружить фотоны в резонаторе изменяется со временем непрерывно, а регистрируемое количество фотонов изменяется скачками (причём, не обязательно монотонно, оно может и увеличиваться и уменьшаться):



Если Вы умеете из диаграмм вычислять, в какой момент времени в очередной раз скакнёт количество фотонов и в какую сторону (т.е. станет их больше или меньше?), то уж не секретничайте, пожалуйста, поделитесь таким рецептиком :-)

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130879 писал(а):

Да, функции изменяются плавно, но число частиц-то меняется скачком

Оно вообще не меняется. Меняется вероятность иметь $n$ частиц и $n+1$ частицу. Меняется плавно. Какие здесь могут быть скачки???

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130879 писал(а):

Если Вы умеете из диаграмм вычислять, в какой момент времени в очередной раз скакнёт количество фотонов и в какую сторону (т.е. станет их больше или меньше?), то уж не секретничайте, пожалуйста, поделитесь таким рецептиком :-)

Вы же знаете, можно рассчитать эту функцию в вероятностном смысле (то есть, как распределение вероятностей реализаций случайных процессов, грубо говоря), но в экспериментах эта вероятность реализуется непредсказуемо.

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #1130885 писал(а):

Меняется вероятность иметь $n$ частиц и $n+1$ частицу. Меняется плавно. Какие здесь могут быть скачки???

Мне ясно о чём идёт речь, и Вам ясно о чём идёт речь: в эксперименте число частиц меняется скачком. (Я виноват: пропустил слова "в эксперименте" в своём тексте; но зато я экспериментальный график процитировал, на нём трудно не увидеть скачки числа частиц.)

Заодно взгляните на свой текст; вот какой скачок числа частиц может быть: $(n+1)-n=1.$ А также: $n-(n+1)=-1.$

Вероятность меняется плавно, а число частиц, регистрируемых на опыте, изменяется скачком; лишь среднее число частиц, т.е. усреднённое по реализациям случайной эволюции числа частиц, меняется непрерывно, в соответствии с изменением вероятности.

(Оффтоп)

Диалог этот меня огорчил; в дальнейшем воздержусь от подобных никому не нужных очевидных объяснений.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130893 писал(а):

Мне ясно о чём идёт речь, и Вам ясно о чём идёт речь: в эксперименте число частиц меняется скачком.

Э нет.

В эксперименте число частиц может быть получено только как целое число. Это так эксперимент поставлен. Это раз.

(Оффтоп)

Это не обязано быть так. Можно (хотя и трудно, наверное, в данном случае) поставить эксперимент так, чтобы он измерял состояние по другому базису, и давал бы ответ, что система обнаружена в состоянии с неопределённым числом частиц.

Далее. Особенность системы такова, что это число частиц с большой вероятностью уменьшается, и с очень малой - увеличивается. Речь здесь идёт об измеренном числе частиц, а если бы систему не измеряли - она бы на протяжении значительного времени пребывала в состоянии неопределённого числа частиц, так что $\langle n\rangle$ плавно бы уменьшалось от начального значения до нуля. Таким образом, "в скачках виноваты измерения" :-)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130893 писал(а):

Заодно взгляните на свой текст; вот какой скачок числа частиц может быть: $(n+1)-n=1.$

Разумеется. Вот это уже может быть сформулировано как закон рассматриваемой системы: матричные элементы переходов не нулевые только для соседних значений $n.$ Здесь легко разглядеть сказанное другими словами правило, что КЭД имеет единственную вершину из двух электронов и одного фотона. Впрочем, например, в веществе, или в процессах более высокого порядка (аннигиляция, например), бывают и рождения/уничтожения двух и большего числа фотонов, но это связано с тем, что "затравочная" матрица возводится в некоторую степень.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130893 писал(а):

Диалог этот меня огорчил; в дальнейшем воздержусь от подобных никому не нужных очевидных объяснений.

Мне кажется, тут мы зашли в область, не всем совершенно и одинаково очевидную, и стоит продолжить сопоставлять наши точки зрения.