2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 16:14 


13/08/15
98
И снова здравствуйте! Есть где-нибудь доступное изложение того, как учёные пришли к статистическому пониманию квантовой механики? Я понимаю, что это лишь одна из множества интерпретаций, которые никак не влияют на результаты вычислений. Но хотелось бы понять, каким образом люди пришли к мысли о том, что квадрат модуля волновой функции даёт именно вероятность? Далее, общеизвестное выражение на среднего значения динамической переменной $\left\langle A \right\rangle$ = \int\limits_{}^{}\psi^* \hat{A} \psi dr$$ выводится следующим образом. Сначала берётся координата, оператор которой является просто самой координатой, и вычисляется среднее её среднее значение по правилу математической статистики: среднее значение переменной равно сумме (интегралу) произведений значения величины на вероятность этого значения:
$\left\langle x \right\rangle$ = \int\limits_{}^{} x \psi^* \psi dr$$.
Тут все понятно. Дальше делается непонятный для меня шаг. В случае координаты мы спокойно можем под знаком интеграла переставить местами координату и волновую функцию, ибо координата - просто числовой множитель, на функцию не влияющий. Но дальше эта формула записывается в таком виде:
$\left\langle x \right\rangle$ = \int\limits_{}^{}\psi^* x \psi dr$$
и обобщается на случай произвольной динамической переменной, который я написал выше. Но если в случае координаты не имеет значение, в каком месте стоит её оператор, то в случае любой другой динамической переменной, очевидно, это имеет значение. Собственно, почему мы изначально ставим оператор величины после $\psi^*$ и перед $\psi$, а не перед $\psi^* \psi$?
Ещё один момент. В квантовой механике динамические переменные представлены в виде операторов. Означает ли это, что в левой части этой самой формулы под знаком среднего должна стоять не сама величина, а её оператор: $\left\langle \hat{A} \right\rangle$ = \int\limits_{}^{}\psi^* \hat{A} \psi dr$$ ? Если нет, то почему? А если да, то почему среднее значение от оператора равно числу (как-то меня это смущает)?
Другой вопрос связан с применением в квантовой механике самих операторов. Можно ли понять, каким образом к нему пришли? В классической механике мы имели величину, например, импульс, относящуюся к телу и системе отчёта и как бы "существующую" саму по себе, но в квантовой механике эта величина представлена оператором, который должен действовать на другой математический объект - волновую функцию. Я так понимаю, что использование операторов - просто удобный инструмент, который позволяет находить значения величин в стационарных состояниях, которые совпадают с собственными числами операторов. Но всё же есть ли обоснование применения именно этого мат. аппарата? И есть ли доказательство того, что собственные значения оператора вообще совпадают со значениями величины, которые мы получим при измерении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 16:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
something strange в сообщении #1130801 писал(а):
Собственно, почему мы изначально ставим оператор величины после $\psi^*$ и перед $\psi$, а не перед $\psi^* \psi$?
Тут лучше забыть про интеграл $\int_{\ldots}\psi^*\psi\,d\mathbf r$, вспомнив, что это эрмитово произведение $(\psi,\psi)$. Теперь посмотрим, что скалярнозначного можно составить из $\psi,A$, пользуясь только им: $(A\psi,\psi)$, $(\psi,A\psi)$ (хотя можно наделать ещё всяких $(A^m\psi,A^n\psi)$ — тут лучше обратиться к физикам, чтобы они сказали, почему это не то). Так вот, по удивительному стечению обстоятельств от оператора наблюдаемой требуется как раз $(A\psi,\psi) = (\psi,A\psi)$! То есть у нас всего один вариант остаётся. К $(\psi,\psi)$ мы оператор применить не можем, потому что тогда мы получим оператор $(\psi,\psi)A$, а не скаляр.

-- Сб июн 11, 2016 18:41:46 --

Но это сильно на пальцах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 17:01 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
something strange, ну Вы даёте жару... :D

Вы хоть понимаете, что для развёрнутых ответов на эти вопросы (с необходимыми выкладками) отвечающий вынужден будет пересказывать Вам десятки страниц учебника по КМ? На это потребовалась бы уйма времени; поэтому, если, как говорится в таких случаях "религия Вам не запрещает", то прочтите, пожалуйста, всё в книгах самостоятельно, выполняя выкладки с ручкой и бумагой.

Кратко:

Вероятностную интерпретацию в КМ открыл Макс Борн, и было немало дискуссий о ней между самими первооткрывателями КМ (погуглите).

Формула для средних значений в КМ теснейшим образом связана с принципом суперпозиции в КМ; она легко выводится, если Вы разложите волновую функцию (или в общем случае "вектор состояния") по собственным функциям (собственным состояниям) оператора данной физической величины.

Среднее "от оператора" это жаргон, так что хотите ставьте шляпку в левой стороне, хотите нет: в любом случае речь идёт о числе - оно интерпретируется как значение данной физ. величины, усреднённое по её квантовым флуктуациям в данном состоянии.

Обоснования применению операторов в квантовой теории есть, они могут быть сформулированы по-разному. Одна из формулировок связана с рассмотрением групп операторов, представляющих преобразования симметрии квантовой системы (найдёте в учебниках при желании).

Доказательств, что эксперимент всегда обязан выдавать предсказанное теорией, конечно же нет и быть не может. Но тот факт, что спектр значений квантово-механически флуктуирующей в опытах физической величины описывается в теории как спектр собственных значений соответствующего оператора, - закладывается в основу теории при её построении; поэтому в разумных моделях он подтверждается опытом в разумных пределах, и доказательств не требует.

Как фотон "вылазит" из излучающего атома никто не знает. И эксперимента такого нет, в котором было бы видно, как фотон зарождается в недрах атома, высовывается наружу, озираясь, и затем решает куда ему лететь. КМ не описывает цепочек одиночных событий во времени (она описывает только динамику амплитуд вероятностей, динамику средних значенйй - т.е. всё только статистически), а теория, объясняющая происхождение КМ не создана, и, имхо, неизвестно - может ли она быть создана.

Ну вот, как-то так, наверное,... Имхо, про подробности есть смысл спрашивать только если вдруг почему-то случится "затык" в понимании выкладок из учебников после длительных попыток самостоятельно про всё это прочесть, разобрать и самому себе пару раз вывести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 17:11 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Cos(x-pi/2) в сообщении #1130810 писал(а):
Как фотон "вылазит" из излучающего атома никто не знает.
Кстати, а как же КЭД? Можно же теоретически представить атом в вакууме и посчитать состояние этой системы через какое-то время (наверно?). Понятно, что надо будет учесть кучу диаграмм, где фотон не только излучается, но и поглощается обратно и т. д., и само состояние будет, возможно, выражаться какой-нибудь страшной суперпозицией, но ведь можно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 17:28 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
arseniiv
Так ведь "состояние" это набор амплитуд вероятности - набор коэффициентов разложения вектора состояния системы по "базисным состояниям", а совокупность "базисных состояний" интерпретируется как перечень того, что с той или иной вероятностью может обнаружиться в эксперименте. Отдельный экземпляр конкретной системы, - конкретный атом, - остаётся вне обсуждения и в КМ и в КЭД.

Даже если при каких-то условиях теоретически "атом должен оказаться в одном определённом базисном состоянии" (а остальные коэффициенты суперпозиции равны нулю), то чтобы удостовериться в этом экспериментально, надо повторять и повторять испытания; одиночное измерение ни о чём ещё не говорит экспериментатору.

И диаграммы, имхо, не снимают вопроса ТС "о механизме квантового перехода"; в частности, - о механизме появления фотона: как конкретный фотон "вылазит" из вершины диаграммы и как "залазит" обратно в вершину (если это виртуальный фотон) или "залазит в детектор" - такое кино в эксперименте не доступно, и квантовая теория об этом благоразумно ничего не говорит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 17:29 
Заслуженный участник


21/09/15
998
something strange в сообщении #1130801 писал(а):
Есть где-нибудь доступное изложение того, как учёные пришли к статистическому пониманию квантовой механики?

Есть книга: Джеммер. Эволюция понятий квантовой механики.
Понятная и отвечающая на ваш вопрос. Но читать вам ее сейчас я крайне не рекомендую (можете пробежать глазами оглавление).
Сначала познакомьтесь с современным учебником.
Книга заканчивается где-то на уровне конца двадцатых годов. Сейчас многие вещи излагаются иначе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 17:40 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Cos(x-pi/2)
А, ясно. (Ну, я придерживаюсь мнения, что можно сказать про конкретный атом, что он в состоянии каком-то там $\psi$, пусть даже мы и не знаем это состояние, а узнаем с нужной точностью, только имея большую кучу таких одинаковых атомов. Это убеждение, конечно, в какой-то степени ортогонально физике.) Вопрос об ансамбле атомов будет, видимо, пониматься всеми уже одинаково. :-)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130815 писал(а):
И диаграммы, имхо, не снимают вопроса ТС "о механизме квантового перехода", в частности о механизме появления фотона: как конкретный фотон "вылазит" из вершины диаграммы и как "залазит" обратно в вершину (если это виртуальный фотон) или "залазит в детектор" - такое кино в эксперименте не доступно, и квантовая теория об этом благоразумно ничего не говорит.
Да, точно, не заметил сначала, что и тут может быть вопрос. Меня-то это устраивает, а вот устраивает ли something strange, не подумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 17:46 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
arseniiv, всё хорошо: ведь обсуждение вопросов участниками с разных точек зрения дело полезное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 19:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Cos(x-pi/2) в сообщении #1130815 писал(а):
И диаграммы, имхо, не снимают вопроса ТС "о механизме квантового перехода"; в частности, - о механизме появления фотона: как конкретный фотон "вылазит" из вершины диаграммы

Это вы зря. Достаточно перевести диаграмму в координатное представление (неудобное для расчётов, но всё же возможное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 19:39 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
Munin, что зря? И для чего "достаточно перевести диаграмму в координатное представление"? Получится такая же по форме диаграмма и прежний ответ для вероятности излучения фотона атомом.

Речь-то у меня шла об ответе вот на какой вопрос (а не о том, как считать вероятности):

something strange в сообщении #1130804 писал(а):
Но существует ли какой-либо способ (быть может, лежащий за рамками квантовой механики) рассмотреть процесс перехода электрона в атоме? А именно, каким образом он происходит, каким образом рождается фотон (а не так, что вот его не было, а вот он уже летит)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 19:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Cos(x-pi/2) в сообщении #1130855 писал(а):
Получится такая же по форме диаграмма и прежний ответ для вероятности излучения фотона атомом.

Это верно. А ещё эту диаграмму можно разрезать в произвольном месте пространственноподобной плоскостью, и получить *) картину Шрёдингера. И найти, каким образом происходит постепенный переход волновой функции электрона из $\psi_1$ в $\psi_2,$ и одновременно возникает полевая функция электромагнитного поля (и растёт вес однофотонного слагаемого), причём всё это безо всяких скачков, локально в каждой точке пространства-времени.

-- 11.06.2016 19:55:00 --

*) Интегралом по всем траекториям, то есть, по всем пространственно-временным координатам вершин.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 20:28 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
Munin
С волновыми функциями всё ясно, но вопрос у ТС был, насколько я понял, про "квантовый переход" в смысле "квантовый скачок" - как скачок развивается во времени. Да, функции изменяются плавно, но число частиц-то меняется скачком; и поэтому нет оснований ставить знак равенства между понятием "полевая функция" и понятием "фотон" (и аналогично нет оснований ставить знак равенства между понятием "электрон" и "волновая функция электрона").

Цитировалась же уже много раз статья в УФН и вот эта картинка оттуда - вероятность обнаружить фотоны в резонаторе изменяется со временем непрерывно, а регистрируемое количество фотонов изменяется скачками (причём, не обязательно монотонно, оно может и увеличиваться и уменьшаться):

Изображение

Если Вы умеете из диаграмм вычислять, в какой момент времени в очередной раз скакнёт количество фотонов и в какую сторону (т.е. станет их больше или меньше?), то уж не секретничайте, пожалуйста, поделитесь таким рецептиком :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Cos(x-pi/2) в сообщении #1130879 писал(а):
Да, функции изменяются плавно, но число частиц-то меняется скачком

Оно вообще не меняется. Меняется вероятность иметь $n$ частиц и $n+1$ частицу. Меняется плавно. Какие здесь могут быть скачки???

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130879 писал(а):
Если Вы умеете из диаграмм вычислять, в какой момент времени в очередной раз скакнёт количество фотонов и в какую сторону (т.е. станет их больше или меньше?), то уж не секретничайте, пожалуйста, поделитесь таким рецептиком :-)

Вы же знаете, можно рассчитать эту функцию в вероятностном смысле (то есть, как распределение вероятностей реализаций случайных процессов, грубо говоря), но в экспериментах эта вероятность реализуется непредсказуемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 21:09 
Заслуженный участник


29/09/14
1249
Munin в сообщении #1130885 писал(а):
Меняется вероятность иметь $n$ частиц и $n+1$ частицу. Меняется плавно. Какие здесь могут быть скачки???

Мне ясно о чём идёт речь, и Вам ясно о чём идёт речь: в эксперименте число частиц меняется скачком. (Я виноват: пропустил слова "в эксперименте" в своём тексте; но зато я экспериментальный график процитировал, на нём трудно не увидеть скачки числа частиц.)

Заодно взгляните на свой текст; вот какой скачок числа частиц может быть: $(n+1)-n=1.$ А также: $n-(n+1)=-1.$

Вероятность меняется плавно, а число частиц, регистрируемых на опыте, изменяется скачком; лишь среднее число частиц, т.е. усреднённое по реализациям случайной эволюции числа частиц, меняется непрерывно, в соответствии с изменением вероятности.

(Оффтоп)

Диалог этот меня огорчил; в дальнейшем воздержусь от подобных никому не нужных очевидных объяснений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятности и операторы в квантовой механике
Сообщение11.06.2016, 21:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Cos(x-pi/2) в сообщении #1130893 писал(а):
Мне ясно о чём идёт речь, и Вам ясно о чём идёт речь: в эксперименте число частиц меняется скачком.

Э нет.

В эксперименте число частиц может быть получено только как целое число. Это так эксперимент поставлен. Это раз.

    (Оффтоп)

    Это не обязано быть так. Можно (хотя и трудно, наверное, в данном случае) поставить эксперимент так, чтобы он измерял состояние по другому базису, и давал бы ответ, что система обнаружена в состоянии с неопределённым числом частиц.

Далее. Особенность системы такова, что это число частиц с большой вероятностью уменьшается, и с очень малой - увеличивается. Речь здесь идёт об измеренном числе частиц, а если бы систему не измеряли - она бы на протяжении значительного времени пребывала в состоянии неопределённого числа частиц, так что $\langle n\rangle$ плавно бы уменьшалось от начального значения до нуля. Таким образом, "в скачках виноваты измерения" :-)

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130893 писал(а):
Заодно взгляните на свой текст; вот какой скачок числа частиц может быть: $(n+1)-n=1.$

Разумеется. Вот это уже может быть сформулировано как закон рассматриваемой системы: матричные элементы переходов не нулевые только для соседних значений $n.$ Здесь легко разглядеть сказанное другими словами правило, что КЭД имеет единственную вершину из двух электронов и одного фотона. Впрочем, например, в веществе, или в процессах более высокого порядка (аннигиляция, например), бывают и рождения/уничтожения двух и большего числа фотонов, но это связано с тем, что "затравочная" матрица возводится в некоторую степень.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130893 писал(а):
Диалог этот меня огорчил; в дальнейшем воздержусь от подобных никому не нужных очевидных объяснений.

Мне кажется, тут мы зашли в область, не всем совершенно и одинаково очевидную, и стоит продолжить сопоставлять наши точки зрения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Dmitriy40


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group