Площадь поверхности наклонного конуса.

[iifat]

Стоит ли поминать всуе двойные интегралы? Окружность параметризуется одним параметром, достаточно и одиночного. wafemand, вы разбирались с интегралами? Если да, то вам и правда стоит начать с

Red_Herring в сообщении #1130486 писал(а):

Самое простое

[Aritaborian]

(Проектировать и проецировать)

На самом деле «проектировать» такой же математизм, как, например, «компле́ксные числа»: правильно и так и этак, но умные дядьки любят умно́ выглядеть и могут косо посмотреть на тех, кто говорит «проецировать» и «ко́мплексные» ;-) Я сам предпочитаю слово «проецировать», но хочу, чтобы wafemand знал: оба варианта верны.

[wafemand]

Red_Herring в сообщении #1130486 писал(а):

Самое простое: использование элементов векторного исчисления. Вот если есть кривая $\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)$, $0<t < T$, как найти площадь элемента конуса (закрашен)? И как параметризовать Ваш конус?

\begin{tikzpicture} \fill[cyan!20] (0,0)--(1,2)--(1.4, 2.1); \draw[thick,->] (0,0)--(1,2) node[above] {$\mathbf{r}$}; \draw[thick,->] (1,2)--(1.4, 2.1) node[above] {$d\mathbf{r}$}; \draw (0,0)--(1.4, 2.1); \end{tikzpicture}

Кажется, я думал в правильном направлении). Рассказал задачу учителю, она говорила про представление конуса каноническим уравнением и двойной интеграл, но мне хочется попробовать через векторы.
На картинке типа развёртка конуса.
Пока проблема в поиске $f(\alpha)$.

Я думаю, что нужно взять определённый интеграл S по $d\alpha$ от 0 до $\varphi$, где $\varphi$ - угол развёртки.


з.ы.: Прошу понять (и желательно исправить) математические ошибки в записи.
з.з.ы. : Прошу прощения за почерк ), но вроде понятно.

[svv]

Я бы рекомендовал не разворачивать конус. OK, развернули, посмотрели, теперь свернём обратно.
Дальше вспомните про векторное произведение. Вы пишете: $\Delta S=\frac 1 2 f(\alpha)f(\alpha+\Delta\alpha)\sin(\Delta \alpha)$. Будем считать, что $f(\alpha)$ — это длина вектора $\mathbf r$, а $f(\alpha+\Delta\alpha)$ — длина вектора $\mathbf r+d\mathbf r$. Как можно записать $\Delta S$ через векторное произведение?

[Red_Herring]

Вам уже объяснили, что двойной интеграл в данном случае--из пушки по воробьям. Надо параметризовать не конус, а образующую кривую. И это то, что я имел в виду, но не озвучивал

svv в сообщении #1130622 писал(а):

Как можно записать $\Delta S$ через векторное произведение?

[DeBill]

wafemand
Извините за наезд не по делу - показалось, неуч какой-то ленится. Ан нет...
И задачку Вы придумали замечательную ... Но она, увы, приводит к интегралу, который не берется в элементарных функциях: можно свести к интегралу типа $\int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\varepsilon \cos (x)} dx$, но...

[svv]

del

[DeBill]

svv
Да фигня случилась: член один потерялся. Но вот я его нашел, и аннулировал свои дебильные заявки...

-- 10.06.2016, 21:29 --

А Munin и сразу - навскидку - сказал, что эллиптический интеграл будет. Он и есть. Вот ведь накаркал.. .

[svv]

«Накаркал» — это гениально.

[Munin]

(Подсказка: эллиптические интегралы возникают при попытке найти длину дуги эллипса. А получившийся конус - эллиптический. Вот и весь ход мысли. Был некоторый шанс, что "скособоченность" основания чего-нибудь скомпенсирует, но я его прикинул как небольшой.)