Задача о кубической функции (касательные, экстремум, ...)

[TOTAL]

А если так

$$y(x)=-3x^3 - 3x^2 +3x +1$$

?

[Алексей К.]

bot писал(а):

Исходя отсюда аккуратно учёл все условия и получилась система трёх.
Видимо в условии что-то не то.

TOTAL (и я вслед за ним) были ещё более аккуратны...

Добавлено спустя 3 минуты 38 секунд:

KPEHgEJIb писал(а):

Получил систему из 3-ёх уравнений:
$b^2-3ac+12a=0$
$a-2b+3c=12$
$3a-2b+c-4=0$

Третье уравнение неверно.
Обоснование первого уравнения (по-прежнему) неверно.

[bot]

TOTAL писал(а):

А если так

$$y(x)=-3x^3 - 3x^2 +3x +1$$

?

Так, во всяком случае похоже - циферки ушли на ту страничку, помню только 4, а посмотреть недосуг - пишу между "ещё шарик надуй" и "мультик хочу".
А вот bot вместе с автором дискриминант считать не умеют.
Дошёл до этого окольным путём на ходу - циферки тут не нужны. Выключив компутер сначала вообразил, ...
всё - допишу потом - надо на ве5лосипеде кататься.

[TOTAL]

bot писал(а):

А вот bot вместе с автором дискриминант считать не умеют.

Я вообще дискриминант забыл найти. Необходимые условия (а дальше как повезет):

$$y'(-\frac{1}{3})=4$$

$$y''(-\frac{1}{3})=0$$

$$y'(-1)=0$$

[bot]

Ну вот мама пришла ..., продолжаю:
Выключил компутер и пошёл на остановку, представил график в виде загогулины - откуда единственности-то взяться? Ежели есть такой наклон на одном краю загогулины, то есть и на другом ... значит и считать было нечего ... - ясен пень с условием не то чего-то ...
Хотя нет, это только одно означает эта единственность между сменами монотонности может быть и стало быть это в точке, где производная имеет экстремум - максимум, поскольку 4>0. Точка нам дана - пусть $x_0$. Тогда $f'(x)=4-3A(x-x_0)^2$ и $f(x)=C+4x-A(x-x_0)^3$. Ещё есть стационарная точка, отличная от $x_0$, отсюда коэффициент A однозначно определяется. ну а свободный член в условии уже есть. Итого, какие численные данные не давай - задача корректна, а где же я прокололся?..
Взял производную и вот она двоечка-то перед b уже есть, а мы с автором ещё и четвёрочку в дискриминант. С остальным должно быть всё чисто, за исключением аргументации - за ней я и не следил.

Претендовать на приоритет в написании системы я не могу, а вот претендовать на независимость имею полное моральное право. Слово джентльмена, что авторскую систему обнаружил в окошке просмотра только после написания своей - они совпали.

Добавлено спустя 11 минут 51 секунду:

TOTAL - а ведь это я бы успел написать, даже вставая со стула ... Должна была мама придти, чтобы я смог написать то же самое.

[Алексей К.]

KPEHgEJIb, если у Вас после всего этого сложилось впечатление, что это повышенная задача олимпиадной трудности, то это не так.
Или всё уже порешалось?

bot писал(а):

Итого, какие численные данные не давай - задача корректна, а где же я прокололся?

Ага, Архипов как раз в соседней теме корректность исследует. Ща...

[KPEHgEJIb]

Я теперь совсем запутался :S
Если я правильно думаю, то функция выглядит так:

Где ж тут вообще экстремумы?

незваный гость писал(а):

Теорема Ферма говорит, что если функция дифференцируема в точке экстремума, то её производная в этой точке равна нулю.

С этим пунктом, вроде, разобрался:
$y'=3ax^2+bx+c=0$
$x=-1$
$c=b-3a$

TOTAL,

TOTAL писал(а):

А если так

$$y(x)=-3x^3 - 3x^2 +3x +1$$

?

Почему такие знаки? Или это ваше предположение, что задача должна выглядеть так?

Алексей К., не сложилось, но решить до конца пока не могу. Сегодня пытался решить вместе у учителем. Учитель тоже не осилил

Azog, буду искать.

[Azog]

разумеется нет. Вы изобразили нам $y=a x^3$
А под экстремумами подразумеваются локальные экстремумы функции.. Например у квадратичной параболы в нуле - экстремум..

[KPEHgEJIb]

Azog,
Ну у квадратной параболы понятно. А как тогда предствить функцию в задаче?

[bot]

KPEHgEJIb Проверьте последнее уравнение системы - в нём ошибка и есть. А на дискриминант я вчера зря грешил, не имея циферок перед глазами трудно было предположить чисто механическую промашку - глянул не туда, куда надо и получил не то, что следовало.

Цитата:

TOTAL, ... Почему такие знаки? Или это ваше предположение, что задача должна выглядеть так?

Нет, это не предположение - это верный ответ. Откуда он его получил, сам же и написал в присущей ему манере очень кратно. Я же со своей занудливостью написал длиннее, но то же самое. Если хотите в этом разобраться, советую взять несколько разных кубических парабол и нарисовать их графики.

[Алексей К.]

Путаться особо нечего --- Вы начали правильно решать. Неправильно то, что начав возиться с кубической параболой, Вы не изучили разнообразие формы этих кривых. К своему графику $y=x^3$ пририсуйте графики прямых $y=x$ и $y=-x$ и прямо графически выполните сложение $y=x^3+x$ и $y=x^3-x$. В первом случае добавка ещё круче потянет параболу вверх. В втором --- суммарный график от нуля пойдёт вниз $y(0.1)=0.001-0.1<0$, но потом парабола победит: $y(10)=1000-10$. Но экстремчик образоваться успеет (слева аналогично).

Что касается моего предыдущего упрёка о необоснованном выводе:
Вы составили уравнение для поиска точек $x$, в которых угловой коэфф. касательной равен 4:
Вы составили уравнение для поиска точек $x$, в которых производная функции равна 4.
Оно случилось квадратным и, стало быть, может иметь два решения. У Вашей же параболы точка с таким значением производной должна быть одна и только одна. Иными словами --- $a,b,c$ в Вашем уравнении должны быть такими, чтобы решение квадратного уравнения было единственно (а вовсе не потому что касательная имеет c кривой одну общую точку; так это или не так --- мы не знаем, этот вопрос здесь не фигурирует, уравнения под него не заточены, оно здесь ни при чём, это другое исследование и другие уравнения).
Итак --- $a,b,c$ в Вашем уравнении должны быть такими, чтобы решение квадратного уравнения было единственно, что выражается через нулёвость его дискриминанта.

Осталось внимательно переписать-перепроверить все уравнения и порешать их.
Что некоторые уже проделали и привели ответ.

Добавлено спустя 31 минуту 53 секунды:

Чисто технологическое замечание

KPEHgEJIb писал(а):

Получил систему из 3-ёх уравнений:
$b^2-3ac+12a=0$
$a-2b+3c=12$
$3a-2b+c-4=0$

Решив её получил $a=\frac{3}{11}$, $b=\frac{6}{11}$, $c=4\frac{6}{11}$. Но проверка не проходит

Так не бывает. Если Вы её действительно решили, то проверка пройдёт.
Я не проверял ни систему, ни решение (они сейчас неактуальны и неинтересны), но у Вас между системой и решением имеется куча прмежуточных выладок-результатов. Подставляя в них свои $a,b,c$, Вы сможете обнаружить, на каком этапе Вы лопухнулись (забыли минус, потеряли единичку, и пр.)

[bot]

Алексей К. писал(а):

Так не бывает. Если Вы её действительно решили, то проверка пройдёт.

Это смотря какая проверка. Если он имел в виду, что это не решение системы, то да, а если он проверял параболу с найденными параметрами, то такое вполне возможно, поскольку система априори лишь необходима. В данном случае однако тоже не могло быть - он ведь нашёл только одно решение, а из бездискриминантного подхода вытекает корректность и единственность решения задачи при любых различных значений $-\frac{1}{3}$ и $-1$, а также для любого углового коэффициента $4$, отличного от нуля.
Надеюсь, не напутал в обозначениях точек и углового коэффициента?

P.S. Вот что бывает, когда заходишь править, вслепую нажимаешь на пипку, которая ещё не проявилась и попадаешь на цитирование. Ждать загрузки просмотра долго (да и что там может быть в простеньком тексте? А после отправки замечаешь дубль, опять заходишь, на этот раз не промахиваешься и один из дублей стираешь, а оставшийся оказывается цитированием самого себя. Снова в правку, тут всё наглухо зависает, а за это время Алексей К уже что-то написал.
Не, лучше уж больше шутковать не буду.

[Алексей К.]

bot, я имел в виду распространённое явление --- путь от некоторого уравнения до решения, зачастую с повторением одной и той же ошибки (типа вместо $x^3+y^3$ пишешь сто раз $(x+y)(x^2+xy+y^2)$, и в голову не приходит, что именно это не так). Безотносительно к конкретной параболе и проч. Чисто технологический приём. Другой способ --- попросить бабушку проверить твои выкладки. Третий способ --- попросить дядю всё переделать, не показывая ему своих выкладок.

Здесь была проиллюстрирована такая ситуация --- система (неважно какого просхождения) $\to$ ошибочное решение $\to$ "проверка не проходит" $\to$ растерянность.
Мы явно ошиблись, видим это, и, не умея искать ошибку, ставим растерянный смайлик???

[Бодигрим]

Приведенные $a$, $b$, $c$ даже не решения системы, не то что исходной задачи.

[KPEHgEJIb]

Сперва по решению:
Исправил, получил такую систему:
$b^2-3ac+12a=0$
$a-2b+3c=12$
$3a-2b+c=0$

Перерешал. Параметры такие: $a=-3$, $b=-3$, $c=3$.
Подставил в функцию: $f(x)=-3x^3-3x^2+3x+1$
Надеюсь что теперь правильно.

Алексей К. писал(а):

Оно случилось квадратным и, стало быть, может иметь два решения. У Вашей же параболы точка с таким значением производной должна быть одна и только одна. Иными словами --- $a,b,c$ в Вашем уравнении должны быть такими, чтобы решение квадратного уравнения было единственно (а вовсе не потому что касательная имеет c кривой одну общую точку; так это или не так --- мы не знаем, этот вопрос здесь не фигурирует, уравнения под него не заточены, оно здесь ни при чём, это другое исследование и другие уравнения).
Итак --- $a,b,c$ в Вашем уравнении должны быть такими, чтобы решение квадратного уравнения было единственно, что выражается через нулёвость его дискриминанта.

Уловил разницу, спасибо большое за разъяснение

(ушёл изучать разнообразие форм кривых)