Пространство Фока. Представление Фока-Баргмана

[physicsworks]

Про вторичное квантование с краткими историческими ремарками хорошо написано у Вадима Каплуновского здесь.

[WolfAlone]

Да, очень хорошие лекции. Лучше, чем где-либо в книжках я видел. Особенно мне понравился переход-конструкция

$$ \mathrm{const}\oplus\mathbb H\oplus (\mathbb H\odot\mathbb H)\oplus\cdots=\mathbb H\otimes\mathbb H\otimes\cdots$$

Теперь везде четко видно, что и где есть "частица". Я бы даже приписал добавку к определению пр-ва Фока: пространство Фока НАД 1-чаcтичным гильбертовым $\mathbb H$. Наподобие того как в математике говорят "... что-то над полем...".

Alex-Yu в сообщении #1129523 писал(а):

не забывайте, что состояния с разным числом частиц (например 4-частичное и 2-частичное, как уже фигурировало) тоже ортогональны по физике. Посто потому, что если частицы точно две, то никогда в (идеальном, без повторов счета) эксперименте Вы не насчитаете их четыре

А после только что приведенной формулы этот вопрос-путанница у меня даже и не возникает. Минимальное ядро определено и дальше все ясно, по каким "костям идти", чтобы не путаться в книжковых интерпретациях на тему

Munin в сообщении #1129459 писал(а):

КТП-частица - не имеет (почти) ничего общего с КМ-частицей

вокруг чего раньше и был сыр-бор. Кстати, возврат к старой КМ, я так понимаю сейчас элементарен. Усаживаемся в один этаж фока и живем.
Но я вроде читал, что КМ получается как низкоэнергетический предел КТП. Где в вышеразобранных конструкциях (линейная теория) такой предел? В них допустимы квантовые переходы между этажами Фока? Надо ведь как-то еще релятивизм отбросить (?) Или может надо сначала включить взаимодействие (нелинейные поля) и теория будет все еще в башне Фока. Потом взять взаимодействия слабыми и построить теорию/динамику так, чтобы квантовые переходы между фоковскими этажами были почти исключены. Тогда вроде динамика расщепится на независимые динамики в каждом этаже и мы, таким образом, получим самостоятельные КМ. Рассуждения правильное?

-- 08.06.2016, 12:58 --

Меня несколько запутало сопоставление следующих постов

Alex-Yu в сообщении #1129477 писал(а):

А наплюйте! Это чисто исторические "заморочки". Когда-то очень давно Дирак затеял такую игру: а давай обычную 1-частичную волновую функцию сделаем оператором, и посмотрим что из этого получится. Это очень формальная и действительно непонятная затея.

Alex-Yu в сообщении #1129511 писал(а):

то в КТП все сложнее: оператор поля в некоторой точке --- это вторичноквантованный оператор (линейный по операторам рождения/уничтожения)

То есть вы вроде говорите, что вторичное квантование волновой функции можно отбросить, чтобы не морочить себе голову, а потом снова "вторично квантованный"... ? Здесь не понятно. Например, часть "линейный по операторам рождения уничтожения" я понимаю (поле = оператор наблюдаемой...все ок). Но откуда/зачем тут опять прикрепляются слова (интерпретация) вторично-квантованный?

PS. Вновь про вакуум. Вчера я поговорил с одним человеком про вакуум и он мне употреблял его в точности в смысле "вакуум частиц", да еще объяснял, что добавление вакуума (в правильном понимании Alex-Yu) - это если взять пределы в неполной башне Фока (см. посты выше) и они, якобы, будут выходить из из такой башни. Поэтому пополняем и вводим правильный вакуум. Мне не то и не другое "не нравится" и кажется некорректным. Человек был знающий (но и я придирчивый )

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1129990 писал(а):

Например, часть "линейный по операторам рождения уничтожения" я понимаю (поле = оператор наблюдаемой...все ок). Но откуда/зачем тут опять прикрепляются слова (интерпретация) вторично-квантованный?

Ну что поделать, историческая терминология: вторичноквантванный = действующий в пространстве Фока и выраженный через опрераторы рождения/уничтожения.

-- Ср июн 08, 2016 18:22:12 --

WolfAlone в сообщении #1129990 писал(а):

Особенно мне понравился переход-конструкция

$$ \mathrm{const}\oplus\mathbb H\oplus (\mathbb H\odot\mathbb H)\oplus\cdots=\mathbb H\otimes\mathbb H\otimes\cdots$$

Про эту конструкцию я Вам еще здесь post1128171.html#p1128171 рассказывал. Впрочем, очень кратко, только идею. Надеялся, что Вы дальше самостоятельно додумаете.

-- Ср июн 08, 2016 18:33:44 --

WolfAlone в сообщении #1129990 писал(а):

Но я вроде читал, что КМ получается как низкоэнергетический предел КТП. Где в вышеразобранных конструкциях (линейная теория) такой предел? В них допустимы квантовые переходы между этажами Фока?

Не очень ясно, в каом смысле "линейная теория". В смысле осциллятры строго линейные? В такой теории вообще никаких переходов нет. Но слабый ангармонизм дает переходы (как внутри этажа так, вообще говоря, и между этажами). Но какая будет амплитуда таких переходов? Надеюсь, знаете, что в формулах теории возмущений есть знаменатели, равные разности энергии между "смешиваемыми" состояниями. Но "этажи" пространства Фока отличаются по энергии по меньшей мере на энергию покоя уничтоженных или рожденных частиц. Это очень большая энергия по сравнению с типичными нерелятивисткими энергиями. Поэтому переходами между этажами в нерелятивистком случае можно принебречь.

-- Ср июн 08, 2016 18:38:43 --

WolfAlone в сообщении #1129990 писал(а):

Или может надо сначала включить взаимодействие (нелинейные поля) и теория будет все еще в башне Фока. Потом взять взаимодействия слабыми и построить теорию/динамику так, чтобы квантовые переходы между фоковскими этажами были почти исключены. Тогда вроде динамика расщепится на независимые динамики в каждом этаже и мы, таким образом, получим самостоятельные КМ. Рассуждения правильное?

Почти правильно. За тем лишь исключением, что ничего специально строить не надо при массивных частицах (см. выше). Само получится. А безмассовые всегда релятивисткие.

И еще. Техника переменного числа частиц на самом деле широко применяется в нерелятивисткой физике. Но не для истинных частиц, а для так называемых квазичастиц. Например, мы можем проквантовать поле деформаций кристалла. Тогда мы получим квазичастицы, называемые акустическими фононами. Тем самым нам удастся очень сложную динамику сильновзаимодействующих атомов кристалла во всяком случае в некотором аспекте свести к примитивной динамике невзаимодействующих фононов. Ну или слабовзаимодействующих, если учесть небольшие отклонения от закона Гука (ангармонизм нормальных мод --- осцилляторов). $n$-частичной КМ тут не обойдешься, фононы запросто возникают и исчезают.

Если кристалл охладить до абсолютного нуля, то фононов, очевидно, не будет. В этом смысле охлажденный до абсолютного нуля кристалл является (фононным) вакуумом. Помнится, в детстве эта идея произвела на меня колоссальное впечатление.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1129990 писал(а):

Но я вроде читал, что КМ получается как низкоэнергетический предел КТП. Где в вышеразобранных конструкциях (линейная теория) такой предел?

Речь о том, что чтобы породить новую частицу, нужно затратить энергию не меньше чем $mc^2.$ Поэтому, если в квантовом состоянии слишком мало энергии, то новые частицы не рождаются (точнее, рождаются, но остаются малыми поправками к предыдущим этажам - "ниже порога рождения", остаются виртуальными частицами, сразу исчезают, и не могут стать свободными). И чем меньше лишняя энергия, тем меньше такие поправки, и в пределе они исчезают.

Правда, тут надо добавить два уточнения.

1) Во-первых, надо, чтобы в рассматриваемом состоянии уже существующие частицы не могли исчезнуть - потому что при этом выделится энергия по $mc^2$ на каждую, и мы не получим низкоэнергетического предела. Это можно обеспечить законами сохранения: например, в системе из одного протона и одного электрона, частицы исчезать не могут, потому что это запрещено законами сохранения барионного и лептонного числа. В системе из нескольких электронов - тоже частицы исчезать не могут, по закону сохранения электрического заряда. А вот если мы возьмём систему из нескольких электронов и позитронов - у нас появляется возможность аннигиляции электрона с позитроном, то есть это непригодный случай. Мы можем взять только чисто электронную или чисто позитронную систему - вот ей некуда будет "сваливаться".

2) Во-вторых, бывают частицы с $m=0,$ например, фотоны. Для них, увы, нельзя взять такого аналогичного предела: они всегда будут выше порога рождения, будут "легко" рождать новые частицы. Они всегда находятся в высокоэнергетическом пределе (ультрарелятивистском, $E\gg mc^2$). Из-за этого, фотон "не слишком удобная" частица для начального рассмотрения, но что уж тут поделаешь.

Alex-Yu в сообщении #1129997 писал(а):

Не очень ясно, в каом смысле "линейная теория".


Я подозреваю, он подразумевает то, что называется "свободная теория", "теория без взаимодействия".

WolfAlone в сообщении #1129990 писал(а):

я понимаю (поле = оператор наблюдаемой...все ок).

Не так. Не "поле", а "оператор поля". И "оператор наблюдаемой" - слишком широкое словосочетание. Надо уточнить, что речь о вполне конкретной наблюдаемой: о величине полевой переменной в данной точке пространства-времени. Например, о 4-потенциале $A_\mu$ или о напряжённости электромагнитного поля $F_{\mu\nu}.$

WolfAlone в сообщении #1129990 писал(а):

(но и я придирчивый :D )

Чего вы не понимаете - это что ваша "придирчивость" вам сейчас вредит. При освоении сложных вещей, есть период, когда надо перестать быть придирчивым, а вместо этого смирно класть чужие слова к себе в уши. Вот когда этих слов наберётся достаточно, чтобы сложиться во что-то единое, тогда можно заняться пониманием и после некоторого опыта - придирчивостью.

-- 08.06.2016 17:36:42 --

Alex-Yu в сообщении #1129997 писал(а):

И еще. Техника переменного числа частиц на самом деле широко применяется в нерелятивисткой физике. Но не для истинных частиц, а для так называемых квазичастиц.

Тут надо уточнить, что слово "нерелятивистский" само может означать несколько разные вещи. Да, для квазичастиц в кристалле верно, что $v\ll c,$ и для них не действует группа Лоренца (да и вообще, есть "абсолютная система отсчёта" - сам кристалл, так что никакая группа относительности не действует).

Но с другой стороны, для этих частиц могут быть свои аналоги "релятивистского" поведения. Например, в длинноволновом пределе акустические фононы лежат на ветке $E=pc,$ где $E$ - энергия фонона, $p$ - квазиимпульс, а $c$ - скорость звука в кристалле (к тому же, она может быть разной для продольных и поперечных волн). Это поведение подобно поведению фотонов или ультрарелятивистских частиц в вакууме. А с другой стороны, электроны проводимости и дырки - лежат на ветке $E=p^2/2m,$ где $m$ - эффективная масса, и это поведение подобно нерелятивистскому пределу частиц в вакууме. (Однако, $m$ не связана с порогом рождения частицы - шириной щели, в отличие от физики в вакууме.) Кстати, в однослойном графене электроны и дырки - "ультрарелятивистские", что является одним из самых интересных моментов в его физике.

Alex-Yu в сообщении #1129997 писал(а):

$n$-частичной КМ тут не обойдешься, фононы запросто возникают и исчезают.

Ещё один пример: бесщелевые полупроводники. В них нет порога рождения пар электрон-дырка, и поэтому аналогично, "запросто" возникают и исчезают электроны проводимости. Хотя кинематически для них всё равно выполняется соотношение $E=p^2/2m,$ в отличие от фононов.

И да, сравнение кристалла при $T=0$ с вакуумом - очень хорошее. Например, в полупроводнике при $T=0$ электроны не исчезают, но нет возбуждений электронной подсистемы: ни электронов выше уровня энергии Ферми $E_F,$ ни дырок ниже этого уровня (если никто не зарядил полупроводник). Истинный вакуум тоже можно мысленно себе представить как такой "полупроводник", это называется картиной "моря Дирака": мы не видим ни одного электрона и позитрона, хотя вокруг нас полно "невидимых" электронов, плотно заполняющих все уровни энергии $E\leqslant-mc^2.$ Если бы там было хоть что-то незаполненное, то мы бы увидели его как позитрон, но там никаких дырок нет.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1130056 писал(а):

это называется картиной "моря Дирака": мы не видим ни одного электрона и позитрона, хотя вокруг нас полно "невидимых" электронов, плотно заполняющих все уровни энергии $E\leqslant-mc^2.$

Мне не нравится эта картина. Давно пора ее забыть. И я не один такой: Швингер утверждал, что о этой картине давно пора забыть (см. "Историческое введение" у Вайнберга).

А вот частицы как возбудения полей (в полной аналогии с фононами) --- это нормально. Кстати, фононы бывают и с параболическим законом дисперсии, аналогичным массивной частице. Очевидно, что это оптические фононы (которые, правда, зачастую имеют параболу перевернутую наоборот).

А квазичастиц в твердом теле много. Плазмоны, магноны, поляроны, амплитудоны, фазоны, поляритоны... Даже, помнится, вводились дефектоны. Правда, не помню чтобы дефектоны как-нибудь реально проявлялись. Уж очень плохо реальные дефекты "квантово скачут" между узлами решетки.

-- Ср июн 08, 2016 21:59:22 --

Munin в сообщении #1130056 писал(а):

При освоении сложных вещей, есть период, когда надо перестать быть придирчивым, а вместо этого смирно класть чужие слова к себе в уши.

А я вот тоже никогда так не делал.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1130073 писал(а):

Мне не нравится эта картина. Давно пора ее забыть.

Ну конечно, при изучении "настоящей КТП" немножко путается в ногах. Но как тропинка аналогии к ФТТ - почему бы нет?

Фейнман говорил, что чем больше физик знает эквивалентных способов описания одного и того же, тем лучше.

Alex-Yu в сообщении #1130073 писал(а):

Кстати, фононы бывают и с параболическим законом дисперсии

Alex-Yu в сообщении #1130073 писал(а):

А квазичастиц в твердом теле много.

+1. +1.

Ну, шокировать, имхо, всегда надо дозированно. А то подопечный убежит с криками, и всё...

Alex-Yu в сообщении #1130073 писал(а):

Даже, помнится, вводились дефектоны. Правда, не помню чтобы дефектоны как-нибудь реально проявлялись. Уж очень плохо реальные дефекты "квантово скачут" между узлами решетки.

Насколько я помню Википедию, атомы примеси на поверхности могут бегать сравнительно бодро...

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1130074 писал(а):

Ну конечно, при изучении "настоящей КТП" немножко путается в ногах.

Хуже другое. У этой идеи "ноги растут" из другой, очень плохой идеи. А именно считать функцию $\psi$, удовлетворяющую уравнению Дирака, аналогом волновой функции в уравнении Шредингера, т.е. квантовой амплитудой. Неверно (хотя исторически долго было распространено). Это не волновая функция, а полевая. Я выше уже писал об этом. Более подробно см. все то же "Историческое введение" у Вайнберга. "Больше эквивалентных способов описания одного и того же", по Фейнману --- это хорошо, но лишь до тех пор, пока нет концептуально паталогических вещей. Из которых тоже зачастую можно правильно посчитать. Но возможность правильно посчитать ИМХО не может оправдывать концептуальную патологичность. Ну, на этапе поиска, открытия... Однако со временем все же должно быть выброшено на помойку.

[Munin]

Ну а почему аналогом волновой функции не может быть полевая функция? При том, что вероятностная интерпретация всё равно худо-бедно сохраняется: величины $\psi$ характеризуют вероятность найти электрон с данным спином в данной точке пространства, или неподалёку. Впрочем, не буду настаивать, это в большой степени вопрос философии и мировоззрения.

Alex-Yu в сообщении #1130079 писал(а):

это хорошо, но лишь до тех пор, пока нет концептуально паталогических вещей.

Чем дальше, тем больше у меня складывается впечатление, что вещей не концептуально патологических в физике вообще не бывает... Всегда на что-то приходится закрывать глаза и смотреть сквозь пальцы, вопрос только - на что именно.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1130111 писал(а):

Ну а почему аналогом волновой функции не может быть полевая функция? При том, что вероятностная интерпретация всё равно худо-бедно сохраняется: величины $\psi$ характеризуют вероятность найти электрон с данным спином в данной точке пространства, или неподалёку.

А вот не всегда. Для скаляра полевая функция не может быть интерпретирована как плотность вероятности положения частицы. Ну и еще много чего. Не могу писать много букв, см. Вайнберга. А еще круче случай фотонов. Об этом есть немного у Скали-Зубайри.

[Munin]

Разумеется, "худо-бедно". Например, без нормировки на единицу. Но в КТП это получает тоже какое-то объяснение ("на пальцах" и нестрогое).

Я и не говорю, что это хорошая аналогия.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1130152 писал(а):

Разумеется, "худо-бедно". Например, без нормировки на единицу.

Если бы дело было в нормировке... Там все намного хуже: нельзя устроить закон сохранения вероятности при положительно определенной вероятности.

В КТП же все нормально: полевая функция не имеет отношения к "волновой функции" (которорая теперь функционал). С вероятностями при этом все нормально. В общем это все довольно детально "обжеванно" у Вайнберга, например. И не только у него.

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1129997 писал(а):

Ну что поделать, историческая терминология: вторичноквантванный = действующий в пространстве Фока

Как я понял, всюду в текстах, где встречается "вторично-квантованный" следует понимать строго как просто в "пространстве Фока + без (!) квантования волновой функции". Хотя вы и писали, что Вайнберг строго доказал все же, что схема вторичного квантования Дирака дираковской $\psi$ по физике не хороша, но по математике нормальна.

Alex-Yu в сообщении #1130079 писал(а):

А именно считать функцию $\psi$, удовлетворяющую уравнению Дирака, аналогом волновой функции в уравнении Шредингера, т.е. квантовой амплитудой. Неверно (хотя исторически долго было распространено). Это не волновая функция, а полевая.

Что-то я опять запутался. Мы дираковскую функцию еще вроде не обсуждали. В Дираке из всех лоренцевых координат выделяется переменная $t$. Смысл у нее - физическое $t$ (?), а само уравнение строилось (?по замыслу?) как обобщение шредингеровой $\psi$. Как здесь может исчезнуть смысл ее как амплитуды, да еще и появиться полевой смысл?! Далее, справа мы получаем самосопряженный оператор - оператор Дирака - а слева нормальное $\partial t$. Вроде получается совершенно аккуратная унитарная эволюция (типа как в шредингере), но с учетом релятивизма и спина. То, что появляется релятивисткое (электромагнитное) поле вроде не затрагивает изначальное содержание, которое мы подразумевали для обновленной $\psi$. Книжные выводы ур-я Дирака ведь в точности с такими соображениями...?

[Munin]

WolfAlone
Почитайте уже ЛЛ-3 главу 9! Ну что за странное нежелание открыть букварь и всё понять?

-- 09.06.2016 15:54:54 --

WolfAlone в сообщении #1130303 писал(а):

В Дираке из всех лоренцевых координат выделяется переменная $t$.

Не-а. Не выделяется. Уравнение Дирака пишется лоренц-инвариантно: $(i{\not\!\partial}-m)\psi\equiv(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0.$

-- 09.06.2016 15:56:11 --

WolfAlone в сообщении #1130303 писал(а):

Книжные выводы ур-я Дирака ведь в точности с такими соображениями...?

Это попытки изложить исторический путь к уравнению Дирака. А потом все эти строительные леса стряхиваются, и оно остаётся само по себе.

[WolfAlone]

Alex-Yu в сообщении #1129997 писал(а):

За тем лишь исключением, что ничего специально строить не надо при массивных частицах (см. выше). Само получится. А безмассовые всегда релятивисткие.

Подробнее пожалуйста здесь: ничего не надо для массивных, а безмассовые и сами релятивисткие...? Массивные тоже релятивистские.

[Munin]

У массивных есть нерелятивистский предел $E\ll m$ (а есть и ультрарелятивистский $E\gg m$). А у безмассовых нету - они всегда живут в ультрарелятивистском.

-- 09.06.2016 16:00:03 --

$E-m\ll m.$