2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: задачка по дифф геометрии
Сообщение08.06.2016, 17:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
dotPixel в сообщении #1129730 писал(а):
Действительно, мы получаем $n$ размерное пространство функций, но ведь должны были прыгнуть в $n$ мерное пространство дифференциальных операторов?
Давайте посмотрим, что у нас получается. «Дифгемовский» дифференциал отображения многообразий обозначим $D$, «матановский» дифференциал $d$.

Дано гладкое отображение $f: M\to N$. Выберем точку $p\in M$. Рассмотрим отображение $D_pf: T_pM\to T_{f(p)}N$.
Пусть в окрестности $p$ введены локальные координаты $(x^i)_{i=1}^m$, а в окрестности $f(p)$ — локальные координаты $(y^k)_{k=1}^n$. Если $Y=D_pf(X)$, где $X, Y$ — векторы из соответствующих касательных пространств, то
$\begin{array}{l}X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\quad\quad Y=Y^k\frac{\partial}{\partial y^k}\quad\quad Y^k=X^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\\[1.5ex]X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\stackrel{D_pf}{\mapsto}X^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial y^k}\end{array}$

А что с $d$ в математическом анализе? У нас уже нет каких-то многообразий, помимо (областей) векторных пространств: мы можем считать, что $\mathbf y=f(\mathbf x)$, где $\mathbf x \in M\subset \mathbb R^m$ и $\mathbf y \in N\subset \mathbb R^n$. Базисы, конечно, следует использовать канонические. Что мы получим в качестве значения дифференциала $df(\mathbf x, \mathbf X)$ в данной точке $\mathbf x\in \mathbb R^m$ и для выбранного касательного вектора $\mathbf X\in \mathbb R^m$ при условии $n\neq 1$ ?

Я не утверждаю ни того, что получится то же, что для $D$, ни того, что не получится. Просто предлагаю Вам записать результат в аналогичном виде и сравнить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Mikhail_K


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group