задачка по дифф геометрии

[dotPixel]

надо найти интеграл от дифференциальной формы $\omega=y^2 dx +z^2 d y +x^2 d z $ по линии, являющейся пересечением сферы $x^2+y^2+z^2=R^2$ и $x^2+y^2=Rx, R>0, z>=0 $, пробегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть из точки начала координат.

Понятно, что вторая поверхность это цилиндр вдоль оси z, смещенный по оси x на r/2, но как получить саму кривую? Можно в лоб найти уравнение кривой, решив систему и найдя условие $\sin\theta=\cos\phi$, и далее преобразование из переменной $\phi$ в $x,y,z$, найти оратное преобразование для формы и вычислить интеграл. Но есть ли более элегантное решение?

[Brukvalub]

Чтобы получить параметризацию кривой, можно сначала параметризовать окружность $x^2+y^2=Rx$, а потом "навесить" эту параметризацию на $z$ .

[svv]

Пересечение обеих поверхностей даёт кривую Вивиани. Эта кривая состоит из двух петелек. Наша кривая $\gamma$ — её верхняя петелька. Для кривой Вивиани существует удобная параметризация.

Но, действительно, можно придумать и нечто более элегантное. Здесь целый арсенал методов, тем более, что $\gamma$ замкнутая.
$\bullet$ Можно из уравнений поверхностей получать новые уравнения (которым соответствуют какие-то новые поверхности; наша кривая умудряется лежать на всех этих поверхностях, включая исходные). Например, $Rx+z^2=R^2$.
$\bullet$ Так как на кривой переменные $x,y,z$ не являются независимыми, можно выразить, например, $x$ через $z$ и подставить в форму.
$\bullet$ Можно делать замену переменных, например, перейдя к сферическим координатам.
$\bullet$ Можно брать дифференциалы от уравнений и таким образом находить связь между дифференциалами $dx, dy, dz$ на кривой. Например, $R\;dx+2z\;dz=0$.
$\bullet$ Можно использовать соображения симметрии.
$\bullet$ Можно использовать теорему Стокса.
$\bullet$ Можно выбрасывать слагаемые—полные дифференциалы: по теореме Стокса интеграл от них по замкнутой кривой равен нулю.
Я не уверен, что перечислил всё.

На примере двух первых слагаемых.

$y^2\;dx=(Rx-x^2)dx=d\left(\frac R 2 x^2-\frac 1 3{x^3}\right)$. Полный дифференциал. Интеграл равен нулю.

$z^2\;dy=(R^2-Rx)dy=d(R^2y)-Rx\;dy$. Первое слагаемое выбрасываем.
Форма $-Rx\;dy$ не содержит $z$, поэтому интеграл от неё по $\gamma$ не изменится, если вместо $\gamma$ взять такую кривую $\gamma_0$, точки которой получаются из соответствующих точек $\gamma$ изменением координаты $z$. Например, пусть $z=0$ для всех точек $\gamma_0$ (далее работаем на плоскости $Oxy$). Тогда $\gamma_0$ — это окружность $x^2+y^2=Rx$. Применим теорему Стокса:
$\int\limits_{\gamma_0}(-Rx)dy=\int\limits_G d(-Rx\;dy)=-R\int\limits_G dx\wedge dy$ ,
где $G$ — область, ограниченная $\gamma_0$, т.е. круг. Но форма $dx\wedge dy$ есть форма площади, а интеграл от неё по $G$ — площадь $G$.

Я предполагал (вопреки условию?), что кривая обходится против часовой стрелки, если смотреть на $Oxy$ сверху.

[dotPixel]

Brukvalub в сообщении #1128316 писал(а):

Чтобы получить параметризацию кривой, можно сначала параметризовать окружность $x^2+y^2=Rx$, а потом "навесить" эту параметризацию на $z$ .

Brukvalub , спасибо за быстрый ответ! Я думал над таким преобразованием. С одной стороны действительно,можно параметризовать цилиндр $x=r/2(1+cos\phi), y=r/2\sin\phi$, но как сделать переход от цилиндра к сфере?

[Brukvalub]

Кривая лежит на верхней полусфере, где $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$

[dotPixel]

Brukvalub в сообщении #1128476 писал(а):

Кривая лежит на верхней полусфере, где $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$

Ага, то есть мы получаем тогда одно преобразование из множества одной переменной сразу в кривую.

svv в сообщении #1128434 писал(а):

Пересечение обеих поверхностей даёт кривую Вивиани. Эта кривая состоит из двух петелек. Наша кривая $\gamma$ — её верхняя петелька. Для кривой Вивиани существует удобная параметризация.

svv, спасибо за прекрасный ответ! Я получил практически все ответы на свои вопросы. Именно подобные решения я и искал. Особенно мне понравился ваш вариант решения через выбрасывание полных дифференциалов.
Тогда по логике последнее слагаемое $x^2 dz=(R^2-y^2-z^2)dz=-y^2dz$, в последнем равенстве использовали теорему Стокса, $-y^2dz$ не зависит от х, тогда можем сдвинуть кривую по переменной х, то есть в уравнении $x^2-Rx+y^2=0$ положить $x=0$, отсюда $y=0$ и интеграл от $-y^2dz$ также равен нулю.

Другие ваши методы тогда сводятся к обычным заменам переменных в интеграле (или параметризации кривой):

svv в сообщении #1128434 писал(а):

$\bullet$ Можно из уравнений поверхностей получать новые уравнения (которым соответствуют какие-то новые поверхности; наша кривая умудряется лежать на всех этих поверхностях, включая исходные). Например, $Rx+z^2=R^2$.
$\bullet$ Так как на кривой переменные $x,y,z$ не являются независимыми, можно выразить, например, $x$ через $z$ и подставить в форму.
$\bullet$ Можно делать замену переменных, например, перейдя к сферическим координатам.

Единственное, что мне не совсем осталось ясным- как использовать

svv в сообщении #1128434 писал(а):

$\bullet$ Можно брать дифференциалы от уравнений и таким образом находить связь между дифференциалами $dx, dy, dz$ на кривой. Например, $R\;dx+2z\;dz=0$.

Действительно, я могу получить две связи на дифференциалы. А потом подставлять их в начальную дифференциальную форму? В данном случае я могу получить две связи
$ x dx+ y dy+z dz=0$ и $R dx+2z dz=0$ или $(2x-r)dx+2y dy=0$, но они не упрощают мою начальную форму

[Brukvalub]

dotPixel в сообщении #1128566 писал(а):

Действительно, я могу получить две связи на дифференциалы. А потом подставлять их в начальную дифференциальную форму? В данном случае я могу получить две связи
$ x dx+ y dy+z dz=0$ и $R dx+2z dz=0$ или $(2x-r)dx+2y dy=0$, но они не упрощают мою начальную форму

Белка летом прячет орехи, чтобы съесть их зимой!

[svv]

Brukvalub, хорошо сказано. Действительно, однажды это может пригодиться.

dotPixel
Вы правы, интеграл от $x^2\;dz$ также равен нулю, хорошо, что вы это нашли сами. Пара замечаний по выводу.

dotPixel в сообщении #1128566 писал(а):

Тогда по логике последнее слагаемое $x^2 dz=(R^2-y^2-z^2)dz=-y^2dz$

Первое равенство верно. Во втором надо иметь в виду, что не буквально сами формы $R^2\;dz$ и $z^2\;dz$ равны нулю, а только интеграл от них, причём не любой, а по замкнутой кривой:
$\int\limits_{\gamma}(R^2-y^2-z^2)dz=\int\limits_{\gamma}(-y^2)dz$

dotPixel в сообщении #1128566 писал(а):

$-y^2dz$ не зависит от $x$, тогда можем сдвинуть кривую по переменной $x$

Это правильно.

dotPixel в сообщении #1128566 писал(а):

то есть в уравнении $x^2-Rx+y^2=0$ положить $x=0$, отсюда $y=0$

Тонкий момент. Мы не имеем права полагать $x=0$ в самих уравнениях. Но мы можем получить уравнение, в которое не входит $x$, и сказать: для вычисления $\int y^2\;dz$ ничего не изменится, если считать, что $x=0$.

Заметьте: для $\int y^2\;dz$ важно лишь, какова проекция кривой на плоскость $Oyz$, потому что координаты $x$ точек кривой не влияют на значение этого интеграла и их можно взять любыми (ну, разве что такими, чтобы кривая осталась гладкой). Уравнение проекции получается исключением $x$ из исходной системы уравнений:
$z^2(R^2-z^2)=R^2y^2$
Но при этом мы вовсе не получим, что $y=0$, хотя $y^2=Rx-x^2$ !

Зато получив уравнение $z^2(R^2-z^2)=R^2y^2$, мы можем считать, что $x=0$, потому что уравнение проекции полностью определяет значение $\int y^2\;dz$ независимо от $x$.

[svv]

Вот, наконец, нашёл нужные слова.
У нас есть различные уравнения, справедливые на кривой. Есть такие, в которые входят все три переменных $x,y,z$. Есть такие, в которых одной из переменных нет.
Когда мы проецируем кривую $\gamma$ на плоскость $Oyz$, мы получаем другую кривую $\gamma_1$. Её построение можно описать так: каждой точке $(x,y,z)\in \gamma$ ставим в соответствие точку $(0,y,z)\in\gamma_1$. Поскольку это другая кривая, для неё некоторые уравнения, справедливые для $\gamma$, будут неверны. Ясно, что
$\bullet$ любое уравнение, справедливое для $\gamma$, в которое входили только $y$ и $z$, будет справедливо и для $\gamma_1$;
$\bullet$ однако уравнение, справедливое для $\gamma$, в которое входит $x$, может быть уже несправедливым для $\gamma_1$.

Так что уравнение $x^2-Rx+y^2=0$ использовать уже нельзя: при переходе от точки $\gamma$ к соответствующей точке $\gamma_1$ значение $y$ остаётся прежним, а $x$ становится нулевым.

[dotPixel]

svv в сообщении #1128697 писал(а):

Вот, наконец, нашёл нужные слова.
У нас есть различные уравнения, справедливые на кривой. Есть такие, в которые входят все три переменных $x,y,z$. Есть такие, в которых одной из переменных нет.
Когда мы проецируем кривую $\gamma$ на плоскость $Oyz$, мы получаем другую кривую $\gamma_1$. Её построение можно описать так: каждой точке $(x,y,z)\in \gamma$ ставим в соответствие точку $(0,y,z)\in\gamma_1$. Поскольку это другая кривая, для неё некоторые уравнения, справедливые для $\gamma$, будут неверны. Ясно, что
$\bullet$ любое уравнение, справедливое для $\gamma$, в которое входили только $y$ и $z$, будет справедливо и для $\gamma_1$;
$\bullet$ однако уравнение, справедливое для $\gamma$, в которое входит $x$, может быть уже несправедливым для $\gamma_1$.

Так что уравнение $x^2-Rx+y^2=0$ использовать уже нельзя: при переходе от точки $\gamma$ к соответствующей точке $\gamma_1$ значение $y$ остаётся прежним, а $x$ становится нулевым.

Да, тут я скосил угол :) Действительно, надо смотреть на проекцию кривой, а не тупо класть нулю саму переменную в уравнении. Но здесь я так понимаю, мне повезло- уравнение проекции выражает y^2 через z и мы опять получаем полный дифференциал, а значит по теореме Стокса интеграл от формы $-y^2dz$ все равно равен нулю

-- 06.06.2016, 14:15 --

Тут у меня возникло еще два возможно глупых вопроса:

1. Пусть f- отображение из M в N. Данное отображение порождает $f^{*}$, отображающее касательный вектор из $T M$ в $T N$. То есть оно кушает касательный вектор и выдает также касательный вектор.
С другой стороны, это отображение называют также дифференциалом отображения $f$: $df(\chi)$, $\chi\subset TM$. Но ведь дифференциал-это функция, кушающая вектор и выдающая опять функцию, а не касательный вектор.

Где ошибка в логике?

2. рассмотрим цилиндрические координаты, в них $dr(e_r)=dz(e_z)=1$, $d\phi(e_\phi)=1/r$, где $e_i$ это орты координатных направлений, но ведь с другой стороны, $d\phi(\frac{\partial}{\partial \phi})=\frac{\partial \phi}{\partial \phi}=1$, где я наврал?

[Brukvalub]

dotPixel в сообщении #1129428 писал(а):

1. Пусть f- отображение из M в N. Данное отображение порождает $f^{*}$, отображающее касательный вектор из $T M$ в $T N$. То есть оно кушает касательный вектор и выдает также касательный вектор.
С другой стороны, это отображение называют также дифференциалом отображения $f$: $df(\chi)$, $\chi\subset TM$. Но ведь дифференциал-это функция, кушающая вектор и выдающая опять функцию, а не касательный вектор.

В началах мат.анализа дифференциал - это, грубо говоря, локально наилучшее линейное приближение отображения в данной точке. Если развить данную мысль, то как раз и придем к определению дифференциала на многообразии как к некоторому специальному линейному отображению касательных пространств.
Изучая последовательно сначала мат.анализ для функций одного переменного, затем - нескольких переменных, а уж потом - анализ на многообразиях, вы сможете проследить развитие понятия дифференциала.

dotPixel в сообщении #1129428 писал(а):

но ведь с другой стороны, $d\phi(\frac{\partial}{\partial \phi})=\frac{\partial \phi}{\partial \phi}=1$, где я наврал?

Каково определение символа $d\phi()$?

[dotPixel]

Brukvalub в сообщении #1129491 писал(а):

dotPixel в сообщении #1129428 писал(а):

1. Пусть f- отображение из M в N. Данное отображение порождает $f^{*}$, отображающее касательный вектор из $T M$ в $T N$. То есть оно кушает касательный вектор и выдает также касательный вектор.
С другой стороны, это отображение называют также дифференциалом отображения $f$: $df(\chi)$, $\chi\subset TM$. Но ведь дифференциал-это функция, кушающая вектор и выдающая опять функцию, а не касательный вектор.

В началах мат.анализа дифференциал - это, грубо говоря, локально наилучшее линейное приближение отображения в данной точке. Если развить данную мысль, то как раз и придем к определению дифференциала на многообразии как к некоторому специальному линейному отображению касательных пространств.
Изучая последовательно сначала мат.анализ для функций одного переменного, затем - нескольких переменных, а уж потом - анализ на многообразиях, вы сможете проследить развитие понятия дифференциала.

Определение дифференциала, как дифференциальной формы я понимаю, но это функция. То есть нечто, сопоставляющее векторным полям числовую функцию.
При определении дифференциала отображения, мы сопоставляем вектору опять вектор. Налицо противоречие.

Brukvalub в сообщении #1129491 писал(а):

dotPixel в сообщении #1129428 писал(а):

но ведь с другой стороны, $d\phi(\frac{\partial}{\partial \phi})=\frac{\partial \phi}{\partial \phi}=1$, где я наврал?

Каково определение символа $d\phi()$?

Это дифференциал угловой координаты. Вопрос в том, что я всегда считал, что дифференциалы координат являются дуальным базисом, и это подтверждалость общим утверждением, что $dx_i(\frac{\partial}{\partial \x_j})=\delta_{ij}$

[svv]

2. (Пора различать верхние и нижние индексы.) Действительно, в каждой точке базис $(dx^k)$ будет дуальным к $(\mathbf e_k)$, где $\mathbf e_k=\frac{\partial}{\partial x^k}$. В частности, $d\varphi(\mathbf e_{\varphi})=1$.
Далее, скалярное произведение двух базисных векторов равно соответствующей компоненте метрического тензора:
$\mathbf e_i\cdot\mathbf e_k=g_{ik}$,
откуда $|\mathbf e_k|=\sqrt{g_{kk}}$ (без суммирования).
В полярных (и цилиндрических) координатах $g_{\varphi\varphi}=\rho^2$, т.е. длина базисного вектора $\mathbf e_{\varphi}$ в данной точке равна $\rho$. (См. Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике, стр.186, таблица 6.5-1, строка «Квадрат элемента длины».) Иными словами, $\mathbf e_{\varphi}$ — это базисный вектор, но не орт.

Такова ситуация в дифференциальной геометрии. Но в приложениях (инженерных и большей части физических, за исключением ОТО и некоторых других разделов физики) используется другой стандарт — ортонормированный базис всюду, где только возможно. «Физические», т.е. ортонормированные базисные векторы, обозначим через $\mathbf i_k$, чтобы не смешивать с $\mathbf e_k$. В ортогональных системах координат они получаются из $\mathbf e_k$ так:
$\mathbf i_k=\frac{\mathbf e_k}{|\mathbf e_k|}=\frac{\mathbf e_k}{\sqrt{g_{kk}}}$
Вы, собственно, вычисляли
$d\varphi(\mathbf i_{\varphi})=\frac 1{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}d\varphi(\mathbf e_{\varphi})=\frac 1{\sqrt{\rho^2}}\cdot 1=\frac 1\rho$

Преимущества дифференциально-геометрического определения: более простая и естественная теория; простой закон преобразования компонент при замене базиса.
Преимущества физического определения: более простая интерпретация компонент с точки зрения практики. Но, как следствие, «физический» базис $\mathbf i_k$ оказывается некоординатным, соответствующие векторные поля не коммутируют и т.д. Да и применим подобный подход лишь там, где используются ортогональные системы координат.

[svv]

1.

dotPixel в сообщении #1129428 писал(а):

Пусть f- отображение из M в N. Данное отображение порождает $f^{*}$, отображающее касательный вектор из $T M$ в $T N$.

Тут звёздочка должна быть внизу. Отображение $f: M\to N$ индуцирует отображения:
$f_*: TM\to TN$ — дифференциал, англ. pushforward, differential,
$f^*: T^*N\to T^*M$ — кодифференциал, англ. pullback, codifferential.

Неформально говоря, отображение $f$ из $M$ в $N$ позволяет протянуть вперёд (pushforward) векторные поля, и назад (pullback) дифференциальные формы (любой степени, начиная с 0-форм — функций на $N$). Отображения, обратные указанным, могут и не существовать. Полезное упражнение — понять, почему именно так; почему, например, заданное $f: M\to N$ естественно переносит скалярные функции с $N$ на $M$, а не наоборот.

dotPixel в сообщении #1129428 писал(а):

Но ведь дифференциал-это функция, кушающая вектор и выдающая опять функцию, а не касательный вектор.

Только в случае, если размерность $N$ равна единице. В случае же отображений $f: U\to \mathbb R^n$, где $U\subset \mathbb R^m$, у Вас появится $n$ вещественных функций на $N$, которые интерпретируются как компоненты «выходного» векторного поля.

Если читаете по-английски, то: M.Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, p. 109-112. Хорошее обсуждение взаимосвязи между дифференциалами функции в анализе, отображения в дифгеме, дифференциальной формы.

[dotPixel]

svv в сообщении #1129513 писал(а):

2. (Пора различать верхние и нижние индексы.) Действительно, в каждой точке базис $(dx^k)$ будет дуальным к $(\mathbf e_k)$, где $\mathbf e_k=\frac{\partial}{\partial x^k}$. В частности, $d\varphi(\mathbf e_{\varphi})=1$.
Далее, скалярное произведение двух базисных векторов равно соответствующей компоненте метрического тензора:
$\mathbf e_i\cdot\mathbf e_k=g_{ik}$,
откуда $|\mathbf e_k|=\sqrt{g_{kk}}$ (без суммирования).
В полярных (и цилиндрических) координатах $g_{\varphi\varphi}=\rho^2$, т.е. длина базисного вектора $\mathbf e_{\varphi}$ в данной точке равна $\rho$. (См. Г.Корн, Т.Корн, Справочник по математике, стр.186, таблица 6.5-1, строка «Квадрат элемента длины».) Иными словами, $\mathbf e_{\varphi}$ — это базисный вектор, но не орт.

Такова ситуация в дифференциальной геометрии. Но в приложениях (инженерных и большей части физических, за исключением ОТО и некоторых других разделов физики) используется другой стандарт — ортонормированный базис всюду, где только возможно. «Физические», т.е. ортонормированные базисные векторы, обозначим через $\mathbf i_k$, чтобы не смешивать с $\mathbf e_k$. В ортогональных системах координат они получаются из $\mathbf e_k$ так:
$\mathbf i_k=\frac{\mathbf e_k}{|\mathbf e_k|}=\frac{\mathbf e_k}{\sqrt{g_{kk}}}$
Вы, собственно, вычисляли
$d\varphi(\mathbf i_{\varphi})=\frac 1{\sqrt{g_{\varphi\varphi}}}d\varphi(\mathbf e_{\varphi})=\frac 1{\sqrt{\rho^2}}\cdot 1=\frac 1\rho$

Преимущества дифференциально-геометрического определения: более простая и естественная теория; простой закон преобразования компонент при замене базиса.
Преимущества физического определения: более простая интерпретация компонент с точки зрения практики. Но, как следствие, «физический» базис $\mathbf i_k$ оказывается некоординатным, соответствующие векторные поля не коммутируют и т.д. Да и применим подобный подход лишь там, где используются ортогональные системы координат.

svv, спасибо за обстоятельный ответ! Этот пример я нашел изучая книгу Арнольда, и про другую нормировку базиса он тактично умолчал, а у меня заворот мозга случился

-- 07.06.2016, 16:54 --

svv в сообщении #1129579 писал(а):

Неформально говоря, отображение $f$ из $M$ в $N$ позволяет протянуть вперёд (pushforward) векторные поля, и назад (pullback) дифференциальные формы (любой степени, начиная с 0-форм — функций на $N$). Отображения, обратные указанным, могут и не существовать. Полезное упражнение — понять, почему именно так; почему, например, заданное $f: M\to N$ естественно переносит скалярные функции с $N$ на $M$, а не наоборот.

Да, я накосячил со звездочкой, а исправить форум не дает :(

svv в сообщении #1129579 писал(а):

dotPixel в сообщении #1129428 писал(а):

Но ведь дифференциал-это функция, кушающая вектор и выдающая опять функцию, а не касательный вектор.

Только в случае, если размерность $N$ равна единице. В случае же отображений $f: U\to \mathbb R^n$, где $U\subset \mathbb R^m$, у Вас появится $n$ вещественных функций на $N$, которые интерпретируются как компоненты «выходного» векторного поля.

Действительно, мы получаем $n$ размерное пространство функций, но ведь должны были прыгнуть в $n$ мерное пространство дифференциальных операторов? Пространство дифф операторов и дифференциалов дуальны друг другу, и преобразуются по разному.

svv в сообщении #1129579 писал(а):

Если читаете по-английски, то: M.Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, p. 109-112. Хорошее обсуждение взаимосвязи между дифференциалами функции в анализе, отображения в дифгеме, дифференциальной формы.

Спасибо за книгу, сижу изучаю. К сожалению, проблема не в английском, а в том что почти все книги по дифф геометрии немного ортогональны друг другу, и начав чтение нового автора эквивалентно изучению предмета с чистого листа :)