задачка по дифф геометрии

[svv]

dotPixel в сообщении #1129730 писал(а):

Действительно, мы получаем $n$ размерное пространство функций, но ведь должны были прыгнуть в $n$ мерное пространство дифференциальных операторов?

Давайте посмотрим, что у нас получается. «Дифгемовский» дифференциал отображения многообразий обозначим $D$, «матановский» дифференциал $d$.

Дано гладкое отображение $f: M\to N$. Выберем точку $p\in M$. Рассмотрим отображение $D_pf: T_pM\to T_{f(p)}N$.
Пусть в окрестности $p$ введены локальные координаты $(x^i)_{i=1}^m$, а в окрестности $f(p)$ — локальные координаты $(y^k)_{k=1}^n$. Если $Y=D_pf(X)$, где $X, Y$ — векторы из соответствующих касательных пространств, то
$\begin{array}{l}X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\quad\quad Y=Y^k\frac{\partial}{\partial y^k}\quad\quad Y^k=X^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\\[1.5ex]X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\stackrel{D_pf}{\mapsto}X^i\frac{\partial y^k}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial y^k}\end{array}$

А что с $d$ в математическом анализе? У нас уже нет каких-то многообразий, помимо (областей) векторных пространств: мы можем считать, что $\mathbf y=f(\mathbf x)$, где $\mathbf x \in M\subset \mathbb R^m$ и $\mathbf y \in N\subset \mathbb R^n$. Базисы, конечно, следует использовать канонические. Что мы получим в качестве значения дифференциала $df(\mathbf x, \mathbf X)$ в данной точке $\mathbf x\in \mathbb R^m$ и для выбранного касательного вектора $\mathbf X\in \mathbb R^m$ при условии $n\neq 1$ ?

Я не утверждаю ни того, что получится то же, что для $D$, ни того, что не получится. Просто предлагаю Вам записать результат в аналогичном виде и сравнить.