Вращающаяся платформа с грузиком

[Formalizator]

Обозначим координату в ИСО комплексным числом $z$ ($z = 0$ - точка, вокруг которой вращается платформа).

Плаформа вращается с угловой скоростью $\omega$ ($\omega > 0$ - вращение против часовой стрелки).

При $|z| < \frac{\mu g}{\omega^2}$ грузик полностью увлекается платформой:

$$z(t) = z_0e^{i \omega t}$$

При $|z| > \frac{\mu g}{\omega^2}$ уравнение движения грузика в ИСО

$$\ddot z = \frac{i \omega z - \dot z}{|i \omega z - \dot z|}$$

Обозначим $\Lambda(x, z)$ ($x \in \mathbb R$, $x \geqslant 0$, $z \in \mathbb C$, $\Lambda(x, z) \in \mathbb C$) решение уравнения

$$\frac{\partial^2 \Lambda}{\partial x^2} = \frac{i \Lambda - \frac{\partial \Lambda}{\partial x}}{\left|i \Lambda - \frac{\partial \Lambda}{\partial x}\right|}$$

при условиях

$$\lim_{x \to +0} \Lambda(x, z) = z = \Lambda(0, z)$$

$$\lim_{x \to +0} \frac{\partial \Lambda}{\partial x}(x, z) = iz$$

Тогда решение уравнения движения (при условиях $z(0) = z_0$, $\dot z(0) = i \omega z_0$ - в начальный момент времени грузик неподвижен относительно платформы):

$$z(t) = \frac{\mu g}{\omega^2} \, \Lambda \! \left(\omega t, \frac{\omega^2 z_0}{\mu g}\right) \quad \text{при } \omega > 0$$

$$z(t) = \frac{\mu g}{\omega^2} \, \Lambda^* \! \left(-\omega t, \frac{\omega^2 z_0^*}{\mu g}\right) \quad \text{при } \omega < 0$$

Звёздочка обозначает комплексное сопряжение.

Функция $\Lambda(x, z)$ обладает свойством:

$$\forall \varphi \in \mathbb R \quad \Lambda\left(x, ze^{i \varphi}\right) = \Lambda(x, z)e^{i \varphi}$$

Это означает, что поворот начального положения грузика на произвольный угол поворачивает всё движение грузика (зависимость координаты от времени) на этот угол.

Траектория движения в ИСО при $|z| > \frac{\mu g}{\omega^2}$, полагаю, является спиралью, раскручивающейся в направлении вращения платформы. Т.к. начальная скорость грузика в ИСО равна скорости соответствующей точки платформы в ИСО, то касательная к траектории в начальной точке перпендикулярна лучу к этой точке из начала координат. Если бы не трение, грузик в ИСО двигался бы по прямой, но вращающаяся платформа (посредством трения) стремится увлечь грузик за собой.

[AnatolyBa]

Не могли бы вы пояснить, откуда взялась формула для $\ddot z$ и почему в ней нет коэффициента трения (и что с размерностью) ?
А также, как вы собираетесь решать уравнение для $\Lambda$ ?

[Formalizator]

Ой, конечно же,

$$\ddot z = \mu g \frac{i \omega z - \dot z}{|i \omega z - \dot z|}$$

Ускорение грузика - вектор длины $\mu g$, сонаправленный вектору скорости платформы относительно грузика в точке расположения грузика в ИСО.
Скорость платформы точке $z$ в ИСО равна $i\omega z$, скорость грузика в ИСО равна $\dot z$.

$\Lambda(x, z)$ придётся вычислять численно. Мне кажется, она не выражается ни в элементарных функциях, ни в квадратурах. Какие-то её свойства можно получить или доказать, используя её определение.

[AnatolyBa]

Понял вас.
Но тогда почему бы не решать численно непосредственно уравнение для $z$?
В чем смысл введения $\Lambda$? Тем более уравнение какое-то сомнительное. Вроде бы вы определили $\Lambda$ как функцию $x$ и $z$, а в уравнении $z$ не фигурирует никак

[Formalizator]

Какое уравнение Вы считаете "сомнительным" и почему?

В определении $\Lambda(x, z)$ $z$ фигурирует в условиях.

$\Lambda(x, z)$ - специальная функция, через которую выражаются решения этой задачи при любых $\mu > 0$, $g > 0$, $\omega \neq 0$, $z_0$, $|z_0| > \frac{\mu g}{\omega^2}$.

Выражение всех решений через одну специальную функцию позволяет увидеть, в чём схожи решения задачи при разных значениях параметров. Например, если меняются только $\omega$ и $\mu$, причём знак $\omega$ не меняется и $\frac{\omega^2}{\mu g}$ не меняется, то траектория тоже не меняется. Если меняется только $\omega$ на $-\omega$, то движение отражается относительно прямой, проходящей через точки $0$ и $z_0$. Если сохраняются $\frac{\omega^2 z_0}{\mu g}$ и знак $\omega$, траектория испытывает гомотетию с центром в точке $0$ с коэффициентом $\frac{(r_0)_\text{new}}{(r_0)_\text{old}}$.

[AnatolyBa]

Formalizator в сообщении #1129502 писал(а):

В определении $\Lambda(x, z)$ $z$ фигурирует в условиях.

Да, прошу прощения, в граничных условиях. Не обратил внимания.
Но все же полезность $\Lambda(x,z)$ была бы понятна, если бы вы смогли получить какое-то аналитическое выражение, хотя бы в предельных случаях.
Если же все равно придется вычислять численно - полезность ее не очевидна. Все перечисленные вами свойства легко получит из начального уравнения для $z$

Я почему, собственно, спрашиваю.
Уравнения записать - не проблема. Но вот решить их, хотя бы в предельных случаях, мне не удалось. И это меня заинтересовало, т. к. на первый взгляд задача не выглядит сложной.
Одно асимптотическое решение (для больших $t$) в ваших обозначениях $z=A t^2$, но меня смущает, что коэффициент пропорциональности не зависит от $z_0$. И вот хотелось бы понять, значит ли это, что любая траектория выходит на это асимптотическое решение, или ничего не значит? В ваших обозначениях - как $\Lambda(x,z)$ зависит от $z$ при больших $x$ ?

[Formalizator]

AnatolyBa в сообщении #1129509 писал(а):

Но все же полезность $\Lambda(x,z)$ была бы понятна, если бы вы смогли получить какое-то аналитическое выражение, хотя бы в предельных случаях.

Можно аппроксимировать $\Lambda(x, z)$ выражением в элементарных функциях (включая неаналитические функции, например, модуль комплексного числа).

AnatolyBa в сообщении #1129509 писал(а):

Одно асимптотическое решение (для больших $t$) в ваших обозначениях $z=A t^2$, но меня смущает, что коэффициент пропорциональности не зависит от $z_0$.

Каким образом Вы это получили? Если начальные условия ($z(0)$ и $\dot z(0)$) повернуть на угол $\varphi$, то и решение повернётся на угол $\varphi$.

AnatolyBa в сообщении #1129509 писал(а):

как $\Lambda(x,z)$ зависит от $z$ при больших $x$ ?

Для ответа на этот вопрос надо найти хорошую аппроксимацию $\Lambda(x,z)$.

[AnatolyBa]

Formalizator в сообщении #1129561 писал(а):

Можно аппроксимировать $\Lambda(x, z)$ выражением в элементарных функциях (включая неаналитические функции, например, модуль комплексного числа).

Пока это не будет фактически сделано, вы уж извините, я могу считать $\Lambda(x, z)$ только математическим построением не приближающим нас к решению физической задачи.

Formalizator в сообщении #1129561 писал(а):

Каким образом Вы это получили?

Увы, методом угадывания, поэтому оно меня и смущает. Учитывая некоторые ваши замечания это решение можно записать как $z\to i \frac{\mu g}{2\omega^2 }(\omega t)^2 \exp(i \arg(z_0))$. Однако совершенно неясно, насколько оно корректно, насколько чувствительно к начальным условиям и т. д.
Если бы ваш общий метод помог бы разрешению этих вопросов - это было бы интересно.

[rustot]

по моему "качественно описать движение грузика" это нарисовать картинку с двигающимся грузиком и обозначить направление силы трения (туда же куда направлена разность скоростей поверхности и грузика) отклоняющей его траекторию от прямой

[Formalizator]

AnatolyBa в сообщении #1129650 писал(а):

Учитывая некоторые ваши замечания это решение можно записать как $z\to i \frac{\mu g}{2\omega^2 }(\omega t)^2 \exp(i \arg(z_0))$.

Покажите, каким образом это получилось.

[AnatolyBa]

rustot в сообщении #1129736 писал(а):

по моему "качественно описать движение грузика" это нарисовать картинку с двигающимся грузиком и обозначить направление силы трения

Конечно, конечно. И ТС, по моему уже справился. Так что дальнейшее обсуждение ему читать, может быть, и не стоит.
Но и оффтопиком последние посты считать вроде бы нельзя, т. к. от темы не удаляемся далеко.

Formalizator в сообщении #1129737 писал(а):

Покажите, каким образом это получилось.

Как я уже сказал - методом угадывания. Искал решение в виде разных функций, подставлял, смотрел, чем можно пренебречь для больших $t$.
Степенная функция подошла. Не согласны?

[Formalizator]

Степенная функция с комплексным показателем. Действительная часть этого показателя равна 2.

Существуют решения уравнения для $y(x)$:

$$y'' = \frac{iy - y'}{|iy - y'|}$$

которые при $x \to + \infty$$ аппроксимируются функциями ($\varphi \in \mathbb R$):

$$\frac{e^{i\varphi}}{3\sqrt{2}}\,x^{2+i\sqrt{2}}$$

Так что траектория грузика действительно является спиралью, раскручивающейся в направлении вращения платформы (т.е. если платформа крутится против часовой стрелки, то грузик, двигаясь по спирали и отдаляясь от оси вращения платформы, движется вокруг оси вращения платформы тоже против часовой стрелки).

[AnatolyBa]

Formalizator в сообщении #1130086 писал(а):

Степенная функция с комплексным показателем. Действительная часть этого показателя равна 2.

Да, правильно, это у меня ошибка - потерял $i$.
Остается вопрос, всякое ли решение асимптотически стремится к этому.
Но это мы далеко забрались. Я, пожалуй, остановлюсь

[SomePupil]

Formalizator, AnatolyBa, круто!
Выяснить асимптотику "непробиваемого" дифура $-$ это действительно здорово!