Вращающаяся платформа с грузиком

[SomePupil]

Готовлюсь к ЕГЭ. Фурсю следующую задачу:
Горизонтальная платформа равномерно вращается с угловой скоростью $\omega$. На расстоянии $R_0$ от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения груза о платформу $\mu$. Качественно описать движение грузика.

До чего я дошёл:
При $\mu \geq \dfrac{\omega^2R_0}g$ грузик вращается вместе с платформой.

При $\mu < \dfrac{\omega^2R_0}g$ грузик начинает скользить по поверхности платформы. Дальше все слишком усложнилось, и, чтобы хоть как-то выйти из положения, пришлось пренебречь Кориолисом (я понимаю, что это незаконно, но по-другому никак). В этом случае получается дифуришко $\omega^2r -\mu g = r''$. Его решение:

$$r = \dfrac{\mu g + A\cos{\omega t}}{\omega^2},$$

где $A = \omega^2R_0 - \mu g$.

То есть, если не учитывать силу Кориолиса, груз будет колебаться (или выйдет за пределы платформы, если её размеры достаточно малы).

Я уверен, что Кориолисова сила должна принципиально менять дело. Помогите разобраться, как именно.

-- 03.06.2016, 13:12 --

Что я предполагаю: Кориолис меняет направление скорости грузика, а вместе с ним и направление силы трения, действующей на него. Из-за этого траектория груза должна искривиться.

Это все очевидно, а вот пропадет ли колебательный характер движения, установится ли в конце концов движение грузика $-$ это для меня нетривиально.

[iifat]

Навскидку — что-то тут не то. Убираем трение ($\mu=0$) — груз должен бы двигаться по прямой. А он у вас осциллирует.

[SomePupil]

Мдя, где же косяк? Я написал второй закон Ньютона для груза $-$ там центробежная сила $+$ сила трения. Своим глазам не верю.

-- 03.06.2016, 13:38 --

Стоп-стоп, почему по прямой? После первого шевеления сразу же подключится сила Кориолиса, и груз пойдет по кривой.

Что касается осцилляций $-$ может быть, это от того, что Кориолиса нет?

[AnatolyBa]

Пробовали подставлять решение в диф уравнение? Для проверки?

[SomePupil]

Только что подставил $-$ ошибка в знаке. Вот там и косяк. Спасибо, AnatolyBa!

[amon]

SomePupil в сообщении #1128503 писал(а):

В этом случае получается дифуришко $\omega^2r -\mu g = r''$

Это откуда такое чудо? Там ведь вектора, они куда-то направлены, а с направлением силы сухого трения дело - труба.

[iifat]

SomePupil в сообщении #1128518 писал(а):

После первого шевеления сразу же подключится сила Кориолиса, и груз пойдет по кривой

Во вращающейся системе — разумеется. В ИСО же — по прямой, а стало быть, радиус растёт до бесконечности.

[SomePupil]

amon, все вектора спроецированы по направлению движения грузика при "выключенном Кориолисе".

Вот новое решение:

$$r = \dfrac{C(e^{\omega t} + e^{-\omega t}) + \mu g}{\omega^2},$$

$C = \dfrac{\omega^2 R_0 - \mu g}2$.

iifat писал(а):

В ИСО же $-$ по прямой.

Точно! Силы направлены по прямой, одна из них (центробежная) растет, следовательно, грузик вылетает. И никаких дифуров! Вот это настоящее чудо $-$ с помощью простых финтов, не выписывая уравнений, полностью разобраться в задаче. Жму Вам руку!

Вердикт: Кориолис искривляет траекторию, центровуха выталкивает наружу $-$ так и напишу. Спасибо всем отвечавшим!

[Formalizator]

В ИСО на грузик действует сила трения со стороны вращающейся платформы. Это может быть сила трения покоя - и тогда грузик увлекается платформой (${\mathbf v}_\text{грузик} = {\mathbf v}_\text{платформа}$), или сила трения скольжения - на грузик будет действовать сила с модулем $\mu m g$, сонаправленная вектору ${\mathbf v}_\text{платформа} - {\mathbf v}_\text{грузик}$.

В СО платформы силу Кориолиса игнорировать нельзя.

[SomePupil]

Formalizator писал(а):

сила трения скольжения

Вот то то и оно!

Formalizator писал(а):

В СО платформы силу Кориолиса игнорировать нельзя.

Вот оно-то и то то!

[Formalizator]

Модуль силы трения покоя не может превышать $\mu m g$.
Можно составить уравнения в ИСО и решить их.
При необходимости можно перевести решение в СО платформы.
Центробежная сила и сила Кориолиса возникают в СО платформы (эти силы можно считать кинематическими эффектами). В ИСО этих сил нет.

Составьте в ИСО выражение для $\mathbf a = \mathbf a(\mathbf r, \mathbf v)$; путём интегрирования полученного дифференциального уравнения найдите $\mathbf r(t, \mathbf r_0, \mathbf v_0)$.

[SomePupil]

В этой задаче естественнее и проще (по крайней мере, мне) перейти в СО платформы.
Ну, а в ИСО, как сказал amon, дело $-$ труба, потому что сухое трение меняет свое направление. Задача становится невыносимо муторной и извращенской.

[iifat]

Несомненно. Если грузик начинает скользить, сила трения направлена противоположно относительной скорости (относительно платформы). Векторная дифура получится не очень сложной, особенно, по-моему, в ИСО; вот решить её вряд ли получится. Впрочем, качественно-то достаточно очевидно, вроде бы.

[SomePupil]

iifat писал(а):

Впрочем, качественно-то достаточно очевидно, вроде бы.

То, что вылетет при $t \to \infty$ $-$ это очевидно и так, и так. Но описать скорость (хотя бы качественно) $-$ слишком сложная задача для меня. Может, в ИСО сокрыто что-то, чего я не вижу.
Что скажете?

[iifat]

В принципе, подозреваю, уравнение-то простое: если уж грузик скользит, то сила трения направлена против скорости и имеет постоянную величину. То бишь, $\mathbf{\dot { v}}=-\frac{k\mathbf v}{|\mathbf v|}$. Вот решить я б не взялся. Да и описать по виду, пожалуй, тоже.