Andrey A, трудно вести диалог с человеком, который не читает посты собеседников, а упрямо гнёт свою линию.
Если бы читали, то видели, что та тривиальщина, которую вы себе возомнили, ТС не интересует, поскольку он уже ответил на нее в первом посте.
В одну сторону я доказал. Если решение

существуют, то

и

-- нечетные числа и

и

, для некоторых целых

, так как квадраты нечетных чисел сравнимы с

по модулю

. Подставляем:

,

сравнимо с

по модулю

.
Если бы читали, то как-то бы отреагировали вот на это сообщение
Утверждение

тогда и только тогда, когда

- это словесная формулировка утверждения

и никак иначе.
Поэтому вот вам задание. Почитайте хотя бы
википедию, после чего проведите разбор утверждения из стартового сообщения. Выделите выражения

и

(в википедии

и

) и проставьте нужную логическую связь, а затем расскажите - что же хотел доказать ТС?
Предложение "Каждое нечетное - разность квадратов" тоже тогда не верно.
Сами напросились. Затем проведите аналогичный разбор и этого предложения.