Уравнение x^2-n y^2=2, n -- простое

[Karan]

NMWK45, предупреждение за флуд, капслок и неоформление формул. Сообщение удалено.

[Andrey A]

Cash в сообщении #1129367 писал(а):

Именно, что предполагает.

Утверждение
"уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда, когда $n$ - сумма двух целых квадратов"
означает, что для любого верного решения найдется хотя бы одна пара $p,q$ таких, что $n=p^2+q^2$.
Утверждение
"уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах только тогда, когда $n$ - сумма двух целых квадратов"
означает, что если для некоторого решения такой пары не находится, оно не верно.

Cash в сообщении #1129367 писал(а):

... необходимость доказывать разрешимость уравнения для всех $n=p^2+q^2$.

требовало бы следующее утверждение:
"Уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда $n$ - сумма двух произвольных целых квадратов".
Но оно не верно, тут годится Ваш контрпример и подобные. А также случаи $p=0,\ q=0,\ \gcd (p,q)>0$ с оговорками.

[Cash]

Andrey A в сообщении #1129387 писал(а):

"уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда, когда $n$ - сумма двух целых квадратов"
означает, что для любого верного решения найдется хотя бы одна пара $p,q$ таких, что $n=p^2+q^2$.

Andrey A, вы здесь ошибаетесь

Утверждение $A$ тогда и только тогда, когда $B$ - это словесная формулировка утверждения $A \Leftrightarrow B$ и никак иначе.

[Andrey A]

Cash, а как тогда правильно? Ладно, перепишу так:

Задача "Доказать, что уравнение $x^2-ny^2=-1$ имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда $n$ представимо формой $P^2+Q^2$" не предполагает необходимости доказывать разрешимость уравнения для всех $n=p^2+q^2$. Тем более, что в общем случае это не верно, а первое верно. В случае простого $n$ верно и то и другое, но в рамках задачи доказательство второго факта избыточно.

Если опять не так, постригусь налысо. Вообще странно. Предложение "Каждое нечетное - разность квадратов" тоже тогда не верно. Не любые ведь квадраты!

[evzhur]

Фраза "число является нечетным тогда и только тогда, когда оно представимо в виде суммы квадратов"
утверждает истинность двух высказываний
"Каждое нечетное - разность квадратов" и "Всякая разность квадратов - нечетное число". Первое истинно, второе нет, следовательно, утверждение "число является нечетным тогда и только тогда, когда оно представимо в виде суммы квадратов" ложно.

[Andrey A]

evzhur в сообщении #1129453 писал(а):

Фраза "число является нечетным тогда и только тогда, когда оно представимо в виде суммы квадратов"...

Не понял, Вы о суммах или о разностях? Второе для примера было взято. А то запутаемся.

[Andrey A]

evzhur в сообщении #1128939 писал(а):

... $x^2-n y^2=2$, $n$ -- простое нечетное число. Надо доказать, что оно имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда $n\equiv -1 (\mod 8)$.

Последняя попытка. На листе бумги записано некоторое частное решение уравнения $x^2-ny^2=2$. Известно что $n$ простое. Можно ли заключить не глядя, что деление $n$ на 8 дает в остатке 7?
Для решения достаточно теории сравнений и вовсе ничего не нужно знать о других простых (может для них и не разрешимо), это задачи разного уровня сложности. Если на руках имеется хотя бы один пример, и для остальных не разрешимо, значит на листе записан именно он. В противном случае - не обязательно, но вопрос-то не в этом. Разве это не задача из начального поста?

[Cash]

Andrey A, трудно вести диалог с человеком, который не читает посты собеседников, а упрямо гнёт свою линию.
Если бы читали, то видели, что та тривиальщина, которую вы себе возомнили, ТС не интересует, поскольку он уже ответил на нее в первом посте.

evzhur в сообщении #1128939 писал(а):

В одну сторону я доказал. Если решение $(x,y)$ существуют, то $x$ и $y$ -- нечетные числа и $x^2=8k+1$ и $y^2=8m+1$, для некоторых целых $k, m$, так как квадраты нечетных чисел сравнимы с $1$ по модулю $8$. Подставляем: $8k+1-n(8m+1)=2$, $n=8(k-nm)-1$ сравнимо с $-1$ по модулю $8$.

Если бы читали, то как-то бы отреагировали вот на это сообщение

Cash в сообщении #1129400 писал(а):

Утверждение $A$ тогда и только тогда, когда $B$ - это словесная формулировка утверждения $A \Leftrightarrow B$ и никак иначе.

Поэтому вот вам задание. Почитайте хотя бы википедию, после чего проведите разбор утверждения из стартового сообщения. Выделите выражения $A$ и $B$ (в википедии $P$ и $Q$) и проставьте нужную логическую связь, а затем расскажите - что же хотел доказать ТС?

Andrey A в сообщении #1129445 писал(а):

Предложение "Каждое нечетное - разность квадратов" тоже тогда не верно.

Сами напросились. Затем проведите аналогичный разбор и этого предложения.

[Andrey A]

Cash, я понимаю что формально не прав. Возможно, перестановка (если...) "тогда верно" $\leftrightarrow $ "верно тогда" (когда...) производит в латыни менее разрушительный эффект, но в русском "верно тогда и только тогда" звучит как плохой перевод, от чего и происходят мозоли. Следует ли логика из языка - отдельный вопрос, но всяко уж не язык из логики, она сама по себе язык. Наверное для меня это чужой язык. Чем дольше люди общаются на чужом языке, тем больше спорят о словах, меньше о смыслах, и тем вернее теряют инициативу. Похоже на войну. Спасибо за задание конечно, но пора мне с этим заканчивать. Троллить никого не хотел, отвечать не обязательно.