Инвариантные подпространства

[malykh89]

Линейный оператор k n-мерного вещественного пространства задан матрицей A в стандартном базисе e1,...,eN. Как найти все подпространства, инвариантные относительно оператора k?

[Brukvalub]

Интересно, откуда Вы взяли эту задачу? Я, например, не уверен, что на нее есть полный ответ

[malykh89]

Вот и у меня такое же подозрение. Задачник Беклимешовой по ангему и линалу.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Хорошо. А какие можно найти точно и как?

[Бодигрим]

По-моему, жорданова нормальная форма вам поможет.

[Александр Т.]

malykh89 писал(а):

Линейный оператор k n-мерного вещественного пространства задан матрицей A в стандартном базисе e1,...,eN. Как найти все подпространства, инвариантные относительно оператора k?

То есть найти такие подпространства n-мерного вещественного пространства, что при действии на элементы этих подпространств оператора k они преобразуются сами в себя.

Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы). Если среди этих чисел нет единицы, то таких подпространств нет (т.е. только нулевой элемент n-мерного вещественного пространства преобразуется сам в себя). Если - есть, то нужно найти все собственные векторы оператора k, соответствующие единице. Все элементы линейной оболочки над этими векторами при действии на них оператора k преобразуются сами в себя. Соответственно любое подпространство этой линейной оболочки будет инвариантным
относительно оператора k. Наверное (в этом случае) так и следует сформулировать ответ - это все подпространства линейной оболочки, построенной на таких-то векторах (которые нужно будет вычислить).

Вроде бы так, если я правильно догадался, что такое подпространство, инвариантное относительно некоторого оператора.

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству. Тогда таким подпространством будет линейная оболочка над любой комбинацией собственных векторов этого оператора, соответствующих ненулевым действительным собственным числам, и пар векторов, соответствующих ненулевым комплексным собственным числам. Для конечномерного ($n$-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее $2^n-1$ (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

[malykh89]

Александр Т. писал(а):

malykh89 писал(а):

Линейный оператор k n-мерного вещественного пространства задан матрицей A в стандартном базисе e1,...,eN. Как найти все подпространства, инвариантные относительно оператора k?

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству. Тогда таким подпространством будет линейная оболочка над любой комбинацией собственных векторов этого оператора, соответствующих ненулевым действительным собственным числам, и пар векторов, соответствующих ненулевым комплексным собственным числам. Для конечномерного ($n$-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее $2^n-1$ (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

имелось в виду последнее, но откуда взялось число $2^n-1$? и как доказать, что больше инвариантных подпространств нет?

[Brukvalub]

Александр Т. писал(а):

Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы).

А как это сделать, если нет алгоритма решения полиномиальных уравнений степени 5 и выше

Александр Т. писал(а):

Если среди этих чисел нет единицы, то таких подпространств нет

Ничего не понял! Каких подпространств нет - собственных? Это неверно.

Александр Т. писал(а):

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству.

Интересное дело - Вы беретесь разъяснять вопрос, не зная даже стандартных определений объектов, о которых спрашивается в этом вопросе

Александр Т. писал(а):

Для конечномерного ($n$-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее $2^n-1$ (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

Это неверно. Рассмотрим тождественный оператор. Любое одномерное подпространство является для него собственным. Даже в двумерном пространстве можно построить континуум разных одномерных подпространств

[malykh89]

Бодигрим писал(а):

По-моему, жорданова нормальная форма вам поможет

В нашем курсе отсутствует понятие жордановой формы.

Добавлено спустя 2 минуты 29 секунд:

Brukvalub


Жжете, товарищ

[Александр Т.]

malykh89 писал(а):

имелось в виду последнее, но откуда взялось число $2^n-1$?

Такое количество инвариантных подпространств будет в случае, когда все собственные числа - ненулевые, вещественные и разные. Это число всех возможных сочетаний из $n$ собственных векторов за исключением пустого сочетания.

malykh89 писал(а):

и как доказать, что больше инвариантных подпространств нет?

Я ошибся, посчитав это число максимальным и полностью упустив из рассмотрения случай кратных собственных чисел (корней характеристического уравнения). Если у характеристического уравнения существует хотя бы один ненулевой кратный корень (неважно действительный или комплексный), то число инвариантных подпространств будет бесконечным.

Но Вам, похоже, это было всегда известно.

Добавлено спустя 40 минут 30 секунд:

Brukvalub писал(а):

Александр Т. писал(а):

Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы).

А как это сделать, если нет алгоритма решения полиномиальных уравнений степени 5 и выше

Я думал, что речь идет о каком-то конкретном операторе, для которого эти числа можно найти, а автор темы просто обобщил вопрос. (Рядом там было написано "операторы, срочно".)

Brukvalub писал(а):

Александр Т. писал(а):

Можно, правда, предположить, что подпространство называется инвариантным относительно некоторого оператора, если любой его ненулевой элемент при действии этого оператора преобразуется в какой-либо ненулевой элемент, принадлежащий этому же подпространству.

Интересное дело - Вы беретесь разъяснять вопрос, не зная даже стандартных определений объектов, о которых спрашивается в этом вопросе

Ну, правилами форума это, вроде бы, не запрещено. (Может быть, хотя бы для разделов типа "помогите помочь разобраться" имело бы смысл ввести такие ограничения и банить всех тех, кто их нарушает?)

Brukvalub писал(а):

Александр Т. писал(а):

Для конечномерного ($n$-мерного) линейного пространства таких подпространств будет конечное число (не превышающее $2^n-1$ (если не считать подпространством множество, состоящее только из нулевого элемента)).

Это неверно. Рассмотрим тождественный оператор. Любое одномерное подпространство является для него собственным. Даже в двумерном пространстве можно построить континуум разных одномерных подпространств

Согласен.

[Brukvalub]

Александр Т. писал(а):

Ну, правилами форума это, вроде бы, не запрещено. (Может быть, хотя бы для разделов типа "помогите помочь разобраться" имело бы смысл ввести такие ограничения и банить всех тех, кто их нарушает?)

Я не предлагаю Вас забанить , я всего лишь предлагаю помогать лишь в том случае, когда помогающий уверен в правильности своей помощи Как говорил Учитель: "Пусть тот, кто грешен менее нее, первым бросит в нее камень". Я поостерегусь бросать камни в других, ибо грешен не менее других.

[нг]

Александр Т. писал(а):

Brukvalub писал(а):

Интересное дело - Вы беретесь разъяснять вопрос, не зная даже стандартных определений объектов, о которых спрашивается в этом вопросе

Ну, правилами форума это, вроде бы, не запрещено.

Не запрещено. Не запрещено и ошибаться. И все мы (включая меня) ошибаемся время от времени.

Я думаю (B. — включаю модуль телепатии ), Brukvalub говорил об ответственности, которую берёт на себя помогающий. О том, что дав неудачный совет, он подводит того, кому помогает. И что поэтому стоит перепроверить то, что пишешь ещё раз (в частности, проверить определения, в которых не уверен).

[Бодигрим]

Цитата:

В нашем курсе отсутствует понятие жордановой формы.

Ну так найдите ее построение в любом классическом учебнике. Дело в том, что если построить жорданову нормальную форму для матрицы оператора, то ее жордановы клетки и будут наименьшими инвариантными подпространствами в новом базисе пространства. Или я ошибаюсь?

[Brukvalub]

Беда в том, что жорданов базис определён неоднозначно

[RIP]

Да и пространство у нас вещественное.

[Azog]

Александр Т. писал(а):

Brukvalub писал(а):
Александр Т. писал(а):
Если это так, то нужно найти все собственные числа оператора k (т.е. собственные числа его матрицы).
А как это сделать, если нет алгоритма решения полиномиальных уравнений степени 5 и выше

Я думал, что речь идет о каком-то конкретном операторе, для которого эти числа можно найти, а автор темы просто обобщил вопрос. (Рядом там было написано "операторы, срочно".)

Так нам все находить не надо. Хватит тех которые равны 1 если я ничего не путаю...


К слову действительно не понятно что подразумевается под словом инвариантно. Что именно нас интересует? Наверное то что переходит в себя - наиболее разумно, но возможно предполагается что действие оператора тождественно? И к слову, оператор какой: вырожденный, невырожденный? А то может интересует является ли оператор нильпотентным - т.е. переводящим все после подходящего количества применений в 1 (тоже в какомто смысле инвариантен) или
стабилизирующийся (например проектор) Вопрос поставлен некорректно..