Инвариантные подпространства

[RIP]

Azog писал(а):

К слову действительно не понятно что подразумевается под словом инвариантно.

Да Вы что, все сговорились что ли? А в учебник не судьба заглянуть? Или в википедию хотя бы
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 0%B2%D0%BE

[Azog]

Ну так википедия не истина в последней инстанции, вопрос же заключается от контекста - что Вы изучаете.

[RIP]

Azog писал(а):

Ну так википедия не истина в последней инстанции

Там у меня перед этим вопрос был:

RIP писал(а):

А в учебник не судьба заглянуть?

Azog писал(а):

вопрос же заключается от контекста - что Вы изучаете.

Пространство, инвариантное относительно оператора, - вполне конкретный математический термин. Если Вас попросят найти решения уравнения $x^2=1$, Вы ж (я надеюсь) не будете спрашивать, что понимается под решением, что значит "найти решения" и т.д. Вы ж не Yarkin...

[Azog]

даже не однофамилец Если Вы меня спросите именно так, то я у Вас спрошу над каким полем/мультипликативной группой это уравнение. Надеюсь Вы не будете мне говорить что вопрос некорректен

[RIP]

Согласен, пример с уравнением неудачный, но я к тому, что не надо искать некорректности там, где их нет. Вы ж не Архипов в конце концов.

[bot]

Уверен, что задача ставится для конкретной матрицы A небольшого порядка, предположительно 3-го или 4-го. Жордановой формой пользоваться необязательно - достаточно рассмотрения корневых подпространств, поскольку инвариантное подпространство раскладывается в прямую сумму корневых. Далее должен следовать небольшой перебор типа есть/нету в этом подпространстве корневые с разными собственными числами, а если как какое-то есть в разложении, то какой высоты векторы должны присутствовать в базисе.

[don Bass]

Цитата:

Уверен, что задача ставится для конкретной матрицы A небольшого порядка, предположительно 3-го или 4-го.

+1

Цитата:

...есть/нету в этом подпространстве корневые с разными собственными числами...

Собственных чисел может и не быть, как впрочем, и инвариантных подпространств.
Стандартный пример это матрица \left( \begin{matrix} 0&1\\ -1&0\end{matrix}\right) в \mathbb R^2.

[Brukvalub]

don Bass писал(а):

Собственных чисел может и не быть, как впрочем, и инвариантных подпространств.

Не верю! Нулевое подпространство и все пространство всегда инвариантны. Кроме того, в пространстве размерности 3 и выше над полем R всегда есть одномерное или двумерное (поправил пост, приношу извинения Azorgу) инвариантное подпространство.

[Azog]

В пространстве нечетной размерности..

[don Bass]

Имелись в виду нетривиальные инвариантные подпространства.

А вообще, над полем комплексных и действительных чисел нормальной процедуры нахождения инвариантных подпространств нет (по крайней мере в книжке, Invariant Subspaces of Matrices with Applications Israel Gohberg, Peter Lancaster and Leiba Rodman)

Видимо у топикстартера была конкретная матрица.

[Александр Т.]

Brukvalub писал(а):

Нулевое подпространство и все пространство всегда инвариантны.

Если детерминант матрицы оператора равен нулю, то, вроде бы, все пространство не является инвариантным подпространством. Или я ошибаюсь?

Да, ошибаюсь. Точнее сказать, ошибался. Надо было все-таки прочитать определение инвариантного подпространства из Википедии прежде, чем задавать этот вопрос.

Извиняюсь за свою неграмотность в вопросах терминологии. Я хотел бы уточнить, является ли стандартным называть множество, состоящее только из нулевого элемента линейного пространства, его нулевым подпространством? Прежде, чем задавать этот вопрос я перечиталрусскоязычное определение линейного пространства и его подпространства из Википедии. Если считать, что множество, состоящее только из нулевого элемента - это линейное пространство размерности ноль, то, вроде бы, возникает противоречие с определением размерности линейного пространства, данного в статье Википедии по вышеуказанной ссылке.

Если определение линейного пространства в Википедии - неполное, то я должен исправить свое утверждение, сделанное выше в этой теме. А именно, если все корни характеристического уравнения матрицы ненулевые, действительные и разные, то число всех инвариантных подпространств будет равно не $2^n-1$, а $2^n$ ($n$ - размерность пространства).

[Azog]

Да является. А википедии иной раз не надо безоглядно доверять..

[Егор Самосский]

друзья, а не могли бы Вы мне пояснить одну вещь: везде выше при разговоре о кол-ве инвариантных подпространств, сразу же идет оговорка вида "если все корни характеристического уравнения матрицы ненулевые, действительные и разные". А меня как раз интересует ситуация с кратными корнями! Как быть тогда, в чем будет разница(т.е. в каком месте логической цепочки, из-за какой теоремы или определения ситуация кардинально меняется)??

извиняюсь, если вопрос сформулирован некорректно...

Добавлено спустя 8 минут 16 секунд:

для конкретики хочу написать мой непосредственный вопрос:
пускай есть произвольная матрица $(4*4)$. Мы знаем, что у нее есть по крайней мере один корень кратности больше чем 1. Как тогда найти все ивариантные подпространства размерности 4, и сколько их вообще будет??

[Полосин]

Егор Самосский, существует только одно подпространство той же размерности, что и все пространство, - это само пространство. Оно, конечно, будет инвариантным. Оно называется тривиальным инвариантным подпространством, так же как и подпространство, состоящее только из нулевого вектора.
По поводу инвариантных подпространств советую почитать учебник по линейной алгебре, например:
И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
В.А.Ильин, Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Один из наиболее распространенных способов приведения к жордановой форме как раз основан на понятии инвариантных подпространств. Вообще, это довольно важное понятие.
Пересказывать здесь лекционный курс, наверное, неуместно.

[Егор Самосский]

Полосин писал(а):

Егор Самосский, существует только одно подпространство той же размерности, что и все пространство, - это само пространство. Оно, конечно, будет инвариантным. Оно называется тривиальным инвариантным подпространством, так же как и подпространство, состоящее только из нулевого вектора.
По поводу инвариантных подпространств советую почитать учебник по линейной алгебре, например:
И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
В.А.Ильин, Г.Д.Ким. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Один из наиболее распространенных способов приведения к жордановой форме как раз основан на понятии инвариантных подпространств. Вообще, это довольно важное понятие.
Пересказывать здесь лекционный курс, наверное, неуместно.

Опечатка! Имелись в виду подпространства размерности 2.