Совместность уравнений Максвелла и начальные данные Коши

[specialist]

Васильева прочту, дело в том, что мне не понятно как по системе дифференциальных уравнений в частных производных, узнать 1) максимальный порядок частной производной в граничном условии 2) минимально необходимое количество граничных и начальных условий.
У меня нет математической литературы, где описывались бы подобные правила для "систем уравнений в частных производных", подскажите пожалуйста авторов где оное есть?

[amon]

specialist в сообщении #1128118 писал(а):

У меня нет математической литературы, где описывались бы подобные правила для "систем уравнений в частных производных", подскажите пожалуйста авторов где оное есть?

Здесь полно настоящих математиков, поэтому так поставленный вопрос лучше передать им. В "физической" постановке кое-что написано у Васильева. Кроме того, всякая "физическая" постановка задачи почти всегда приводит и к корректной задаче матфизики. Корректные граничные условия
- Максвелловские (погуглите) граничные условия на границе диэлектрика.
- Равенство нулю тангенциальной составляющей электрического поля на границе металла
- Убывание на бесконечности поля, порожденного ограниченным телом и т.п.
В вакууме в качестве начального условия достаточно задать поле $\mathbf{E}$, причем не произвольным образом, а как, что бы $\operatorname{div}\mathbf{E}=0$.

Так что нет "универсальных начально-граничных условий". Они зависят от того, какую физическую задачу Вы решаете.

[specialist]

так, я запутался,
по пунктам:
- Максвелловские (погуглите) граничные условия на границе диэлектрика. Как я понимаю, это уравнения которые отвечают за электромагнитные процессы на границе раздела сред, эл-м волна "упала" "отразилась" "преломилась", но "начальные данные Коши" отличаются, геометрическая граница в "начальных данных Коши" может же выбрана произвольно? не обязательно на границе раздела сред.
- Равенство нулю тангенциальной составляющей электрического поля на границе металла, эт тоже граничные условия (как допустим приближенные условия Щукина-Леонтовича)
- Убывание на бесконечности поля, порожденного ограниченным телом и т.п. ну это условия на бесконечности, чтоб эл-м волны рассеивались на бесконечности, их часто вводят как дополнительные.

Видимо я не правильно использую фразу "граничные условия" в электродинамике это соотношение не границе раздела сред , а допустим в уравнениях математической физики их иногда называют "краевыми условиями" или "начальными условиями" или "дополнительными условиями", в математике "условиями Коши" или "начальными данными Коши". больше не буду использовать термин граничные условия, где не положено.
попробую сказать внятно (я путаюсь в терминах):

Я хочу научиться на примере уравнений Максвелла, правильно формулировать краевую задачу, этого я не умею.
Вот. Просто я смотрю уравнения математической физики, А.Н. Тихонов А.Н. Самарский, ну и тут естественное разделение на гиперболические, параболические и эллиптические, и для каждого типа есть "редукция общей задачи" и я пытаюсь как то для себя сформулировать "редукцию общей задачи" для уравнений Максвелла, но проблема в том что уравнения Максвелла это система уравнений с частными производными первого порядка, и в частных случаях, из них получаются гиперболические задачи.
Но мой мозг устроен так, что пока я не увижу "редукцию общей задачи" для ур. Максвелла, меня будет терзать незавершенность, и непонимание откуда все течет, вот поэтому я на этом форуме, конечно субъективно, но мне не верится что нет "редукции общей задачи" для ур. Максвелла или что её низя написать.

[Red_Herring]

Сплошная каша.

Граничные (краевые) условия ставярся на границе или границе раздела сред.

Начальные условия (условия Коши) только для нестационарной задачи при $t=0$ (или в другой момент времени)

Условия на бесконечности (Зоммерфельда) только для стационарной задачи.

И о какой редукции идет речь? К чему? Понятие гиперболоческих, параболических или эллиптических уравнений и систем неизмеримо более общее чем для уравнений 2го порядка. Большинство уравнений и систем (включая многие физически важные) ни к одному из этих типов не относятся.

[specialist]

http://elibrary.bsu.az/kitablar/1039.pdf страница 44, 45, я пытаюсь для себя относительно уравнений Максвелла, написать нечто похожее на систему (69), и очень хочется написать правильно.

[Munin]

specialist в сообщении #1128104 писал(а):

сначала выражу сомнения, опыт решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, подсказывает что если разрешить выше представленные уравнения относительно максимальной производной, то она будет 6 порядка

Эта система приводится к "расцеплённым" уравнениям 2-го порядка. Они называются волновыми, конкретнее Д'Аламбера. Для каждой компоненты $E_{x,y,z},H_{x,y,z}\to u$ выполняется

$$\square u\equiv\quad\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}-\dfrac{\partial^2u}{\partial y^2}-\dfrac{\partial^2u}{\partial z^2}=0$$

(принята сигнатура, положительная по времени, - это всего лишь соглашение о знаках, что подразумевать под символом $\square$ - "даламбертианом"). После чего, вы решаете 6 скалярных ДУЧП. На самом деле, решения для разных компонент у вас будут взаимосвязаны, но в этот момент вы этого "не видите". Ну и ладно.

Аналогично, можно было бы "расцепить" и уравнения для потенциалов, и решить 4 ДУЧП для $\varphi,A_{x,y,z}.$ Эти уравнения тоже решаются независимо. Но для такого "расцепления" необходимо наложить на потенциалы калибровочное условие Лоренца

$$\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial\varphi}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{A}=0.$$

Таким образом, по сути, решается 3 независимых ДУЧП, но это замаскировано под видом 4 ДУЧП в случае потенциалов, и 6 ДУЧП в случае напряжённостей, - где эти уравнения уже не являются независимыми. Другой способ увидеть этот факт, наиболее наглядно, - это использовать вейлевскую калибровку $\varphi=0,$ но при этом уравнения на $A_{x,y,z}$ будут уже не даламберовскими.

И вот теперь, зная, что ДУЧП будут второго порядка, можете почесать в затылке насчёт начальных и граничных условий. Учитывайте тот факт, что на границе уравнения Максвелла продолжают действовать, то есть, например, напряжённости и их нормальные производные не независимы, и их нельзя задать (независимыми) граничными условиями, а зависимыми - незачем.

-- 02.06.2016 15:43:08 --

amon в сообщении #1128126 писал(а):

Кроме того, всякая "физическая" постановка задачи почти всегда приводит и к корректной задаче матфизики.

Ахъеслиб! Обычно ситуация такая: "физические" условия задачи переводятся в начальные и граничные условия, а потом оказывается, что там насовано много лишнего, и не хватает чего-то другого. Сноровка в этом деле приобретается с опытом. Впрочем, достаточно быстро. Возможно, вы эту "тренировочную" стадию уже забыли :-)

-- 02.06.2016 15:56:31 --

specialist в сообщении #1128187 писал(а):

http://elibrary.bsu.az/kitablar/1039.pdf страница 44, 45

Вам тоже скажу: лучше назвать книгу (Тихонов, Самарский - здесь её все знают), чем давать какую-то нечитаемую безымянную ссылку.

Если хотите указать конкретное издание - тоже так и скажите. В интернете обычно гуляют одни и те же издания, так что слушатель, скорее всего, найдёт ваше.

Впрочем, ещё лучше - говорить не по номеру страницы, а по номеру параграфа и формулы. Эти величины не зависят от вёрстки, и меньше меняются от издания к изданию (если только авторы не меняют содержания книги).

[specialist]

магическое $4-2$
так попытка номер 2
Продолжаю ковырять кашу в своей голове:
Спасибо товарищу Muninу, что подсказал в какую сторону смотреть.

Значит есть система ДУЧП Максвелла

$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\frac{\partial {\varepsilon_0 E_x}}{\partial t} =0 $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-\frac{\partial {\varepsilon_0 E_y}}{\partial t} =0 $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial {\varepsilon_0 E_z}}{\partial t} =0 $
$\frac{\partial E_x}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}+\frac{\partial {\mu_0 H_x}}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}+\frac{\partial {\mu_0 H_y}}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial {\mu_0 H_z}}{\partial t}=0$

возвращаюсь к векторному виду

$\operatorname{rot}\mathbf{H}-\frac{\partial {\varepsilon_0 \mathbf{E}}}{\partial t}=0$ (1)
$\operatorname{rot}\mathbf{E}+\frac{\partial {\mu_0 \mathbf{H}}}{\partial t}=0$ (2)

теперь возмем ротор с двух сторон от первого уравнения (1)
$\operatorname{rot}(\operatorname{rot} \mathbf{H})=\operatorname{rot}(\frac{\partial \varepsilon_0 \mathbf E} {\partial t})$
получим

$(\varepsilon_0)^{-1} \operatorname{rot} (\operatorname{rot} (\mathbf{H}))=\frac{\partial \operatorname{rot} \mathbf{E} } {\partial {t}}$ (3)

и подставим уравнение (2) в правую часть уравнения (3)
получим

$(\varepsilon_0)^{-1} \operatorname{rot}(\operatorname{rot}(\mathbf{H}))= \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}$
и окончательно
$ \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial z^2}= \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}$

теперь проверну такой же финт ушами с уравнением (2)

$ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial z^2}= \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$

теперь можно сделать финт ушами круче и пойти дальше, но я так и не понял почему написал граничные условия не правильно

вот возьмем одно уравнение
$ \frac{\partial^{2} H_{x}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 H_x}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 H_x}{\partial z^2}= \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 H_x}{\partial t^2}$

оно второго порядка, скалярное, вот ту напишу как думаю, а в поправьте, и напишите как правильно думать:
1)раз оно второго порядка то частная производная в начальных данных Коши - первого порядка.
2)раз есть вторая частная производная по времени, то надо задать начальное значение частной производной по времени $ Н_x $ в момент времени $ t_0 $ ну и значение функции $ Н_x $ в в момент времени $ t_0 $
3)раз в уравнении есть вторые частные производные, по направлению, то надо задать значение функции на всей границе области в которой мы ищем решение уравнения. Допустим мы ищем решение в кубе, то мы должны указать значение поля на стенках этого куба? пожалуйста разжуйте это я не понимаю.

вот и подсчитаю для одного уравнения,
начальных значений: 2 штуки (производная и значение начальный момент времени - как я понял по всей области куба)
краевые условия: 4+4+4=12 условий (по оси x: два с одной стороны (производная и значение) и два с другой стороны куба; по оси y аналогично и по оси z)

итого 14 условий.

и так я понимаю что написал глупость, вы уже сказали, но почему? Просто мне кажется что краевые условия должны быть определены со всех сторон области где производится расчет.
Я уже спрашивал, не знаете ли математическую книгу про ДУЧП, чтоб не задавать глупых вопросов: "а сколько начальных условий нада", "а сколько краевых условий", но мне не написали, товарищ Munin может вы знаете?

[Red_Herring]

Объясняю (медленно и печально)

1) Сведение к системе 2го порядка работает только в достаточно ограниченных предположениях. Ладно, у Вас сейчас такие

2) Итак у Вас есть

$$\mathbf{E}_{,tt} = c^2 \Delta \mathbf{E}$$

и Вы хотите поставить граничные условия. Граничные условия диктуются физикой границы и потому не выводятся из ППП.

3) Допустим у нас граница абсолютно проводящая. Тогда касательная (к границе) компонента $\mathbf{E}$ равна 0. Это 2 граничных условия. Для простоты пусть граница $z=0$. Тогда мы имеем

$$ E_x=E_y =0$$

при $z=0$. Но это 2 условия, а нужно 3? Нет, потому что есть ещё дополнительное условие на дивергенцию

$$E_{x,x}+E_{y,y}+E_{z,z}=0.$$

Но из имеющихся уже условий следует, что первые два слагаемые здесь равны 0 при $z=0$ и потому автоматически

$$E_{z,z}=0$$

при $z=0$. Это и есть третье граничное условие.

[specialist]

И так продолжаю, ковыряться в каше, потихоньку захлебываюсь.
Судя по всем ответам я понял, что все чего то знают, чего не знаю я, поэтому погуглил и нашел приличное количество книг по системам ДУПЧ:
Э. Камке. Справочник по ДУПЧ первого порядка 1966 Наука. [1]
Н.М. Гюнтер Интегрирование уравнений в частных производных 1934 ОНТИ. [2]
В.В. Степанов Курс дифференциальных уравнений 2006 КомКнига. [3]
Рихард Курант Уравнения с частными производными Мир 1964. [4]
более лучших книг по системам ДУПЧ я не нашел.
1)Собственно я узнал, что есть системы ДУПЧ определенные, переопределенные, недоопределенные[4].
2)Также я понял, что когда решается система уравнений ДУПЧ, по крайней мере линейная [2], задача коши представляет собой: условие при котором полученное решение в виде некой поверхности пересекает определенную кривую, или несколько кривых[3]. Вообщем эта кривая должна быть объектом который на одну размерность меньше чем полученное решение.
3)Также я узнал из справочника[1], что когда система ДУПЧ не полная, чтоб найти её полные интегралы, её следует дополнить уравнениями полученными с помощью скобок Пуассона ([1] параграф 14.6), главное чтоб используемые уравнения для скобок Пуассона не были алгебраическими следствиями.
Также я узнал, что область систем ДУПЧ крайне плохо развита и то что для каждой системы уравнений необходимо доказывать единственность решения итд.

Есть система ДУПЧ, которая названа, уравнениями Максвелла.
$ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial y}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$
$\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial x}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$
$\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial x}+\frac{\partial D_z}{\partial z}-\rho =\rho^{ist} $
$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-J_x =J^{ist}_{x} $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-J_y =J^{ist}_{y} $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-J_z =J^{ist}_{z} $
$\frac{\partial E_x}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}+\frac{\partial B_x}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial t}=0$
Что можно сказать о системе:
Уравнения Максвелла это система ДУПЧ первого порядка.
Независимых переменных 4 штуки $x,y,z,t$
Искомых функций 16 штук: $B_x ; B_y ; B_z ; H_x ; H_y ; H_z ; D_x ; D_y ; D_z ; E_x ; E_y ; E_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$
Количество ДУПЧ которые связывают искомые функции: 9 штук.
Если количество искомых функций меньше количества ДУПЧ которые связывают искомые функции - система недоопределена
Перепишем систему по другому:
1)Будем обозначать искомые функции через $Z_i$ где $i =[1...16]$
2)А независимые переменные обозначать через $x_j$ где $j =[1...4]$
3)функции которые задают источники поля будем обозначать через $A_i$, да и пусть они будут заданы уже корректно.
4)Также дополнить уравнения Максвелла с помощью операции скобок Пуассона:
Тогда систему ДУПЧ Максвелла можно переписать в виде:
$F_1 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_1$
$F_2 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_2$
$F_3 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_3$
$F_4 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_4$
$F_5 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_5$
$F_6 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_6$
$F_7 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_7$
$F_8 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_8$
$F_9 (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_9$
$F_{10} (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_{10}$
$F_{11} (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_{11}$
$F_{12} (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_{12}$
$F_{13} (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_{13}$
$F_{14} (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_{14}$
$F_{15} (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_{15}$
$F_{16} (Z_1, ..., Z_{16}, \frac{\partial Z_1}{\partial x_1} ... \frac{\partial Z_{16}}{\partial x_4})=A_{16}$
И эта система будет определенной или полной
и из неё чисто гипотетически можно получить 16 решений, каждое которое будет зависеть от четырех независимых переменных и функций источников поля.
Решение можно записать как $Z_i = M_i (,x,y,z,t,\rho^{ist},J^{ist}_{x},J^{ist}_{y},J^{ist}_{z} )$ причем каждое решение будет являться семейством пятимерных поверхностей. И что бы получить точное решение (гипотетически) необходимо записать задачу Коши.
В данном случае, на сколько я понял, Задача Коши должна формулироваться так: необходимо найти такую пятимерную поверхность из семейства представляющего общее решение, которая будет пересекать четырехмерную кривую, которую мы сами зададим.
И видимо наиболее общая задача коши будет выглядеть так:
$x=X(l),y=Y(l), z=Z(l), t=T(l), Z_i=N(l)$ где $l$ - параметр кривой. Похожее определение задачи Коши я видел [3] глава 8, параграф 4.

Теперь вопросы:
1) можно ли использовать скобки Пуассона для дополнения уравнений Максвелла? если нельзя, то почему?
2) если все таки можно. то полученные уравнения будут нелинейными?
3) если уравнения максвелла являются системой уравнений первого порядка, то для них как написано в [4] задача Коши будет представлять просто некую кривую которую должно пересекать поверхность решения, однако в частных случаях уравнения приводятся к второму порядку, и там задача Коши уже представляет не только кривую, но еще и дополнительное условие с определенной первой производной решения по нормали к кривой (как я понял) - почему так?
4) в задаче Коши, мы имеем права захотеть чтобы искомая поверхность пересекала две заданные 4 мерные кривые или более?
5) Вы случаем не знаете математических трудов посвященным изучению системы ДУПЧ Максвелла, не всяким там частным случаям, а именно в общем?
6) Я не понял: материальные уравнения, они ведь не дифференциальные уравнения в частных производных, по чему всегда предлагается дополнять ими исходную систему если рассматривается задача для вещества.
7) Тут у меня вопрос из совсем другой области и скорее носит популярный характер: говорят что свет в веществе или в воде летит медленнее, так вот вроде это уменьшается фазовая скорость, и тут мне интересно, а сам фотон замедляется? или фотон тупо врезается в атом, а потом переизлучается и так далее, и эта скорость переизлучения и является скоростью света в веществе? а если замедляется, то почему, вроде же на него нечем подействовать? А еще вопрос: у этого фотона есть вектора напряженности $E$ и индукции $B$? а если их нет откуда берется для пучка фотонов вектора напряженности и индукции? и сколько фотонов в этот пучок нужно положить, чтоб он вел себя как эл-м волна?

вроде все вопросы задал, я много использовал некорректных терминов, сильно не бейте.

[Munin]

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

Есть система ДУПЧ, которая названа, уравнениями Максвелла.
$ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial y}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$
$\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial x}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$
$\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial x}+\frac{\partial D_z}{\partial z}-\rho =\rho^{ist} $
$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-J_x =J^{ist}_{x} $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-J_y =J^{ist}_{y} $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-J_z =J^{ist}_{z} $
$\frac{\partial E_x}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}+\frac{\partial B_x}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial t}=0$
Что можно сказать о системе:
Уравнения Максвелла это система ДУПЧ первого порядка.
Независимых переменных 4 штуки $x,y,z,t$
Искомых функций 16 штук: $B_x ; B_y ; B_z ; H_x ; H_y ; H_z ; D_x ; D_y ; D_z ; E_x ; E_y ; E_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$
Количество ДУПЧ которые связывают искомые функции: 9 штук.

А теперь сравниваем с тем, что писал раньше я:

Munin в сообщении #1127973 писал(а):

Поля: 12 величин.
Заряды и токи: 4 величины.
Итого 16.

Уравнения Максвелла - 8 штук. (Из них 2 - связей.)
Материальные уравнения "поле - поле" - 6 штук.
Материальные уравнения "поле - ток" (закон Ома) - 3 штуки.
1 уравнение непрерывности, связывающее токи и заряды.
Итого 18. За вычетом связей, опять 16.

Итого, искомые функции совпадают. Уравнений вы забыли:

Материальные уравнения "поле - поле" - 6 штук.
Материальные уравнения "поле - ток" (закон Ома) - 3 штуки.

Например, в линейном однородном случае это уравнения:

$H_x=B_x$
$H_y=B_y$
$H_z=B_z$
$E_x=D_x$
$E_y=D_y$
$E_z=D_z$
----------------
$J^{ist}_x+J_x=\sigma E_x$
$J^{ist}_y+J_y=\sigma E_y$
$J^{ist}_z+J_z=\sigma E_z$

Теперь, как видите, полное число уравнений добирает до 18, что и требовалось (2 уравнения связи придётся выбросить - они не делают систему переопределённой).

Выкидывать эти уравнения нет никакого повода. Если они не дифференциальные, то это ещё ничего не значит: они позволяют выразить одни функции через другие, подставить в дифференциальные уравнения, и тогда количество функций уменьшится и совпадёт с количеством дифуров.

Кроме того! Я не обратил внимания, но вы с самого начала неправильно пишете уравнения Максвелла! У вас каким-то мистическим образом пропал самый важный член в последнем уравнении. Правильно оно выглядит так:

$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\frac{\partial E_x}{\partial t}-J_x =J^{ist}_x$
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-\frac{\partial E_y}{\partial t}-J_y =J^{ist}_y$
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial E_z}{\partial t}-J_z =J^{ist}_z$

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

Также дополнить уравнения Максвелла с помощью операции скобок Пуассона

Бесполезно. Ничего нового вы таким образом не получите.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

В данном случае, на сколько я понял, Задача Коши должна формулироваться так: необходимо найти такую пятимерную поверхность из семейства представляющего общее решение, которая будет пересекать четырехмерную кривую, которую мы сами зададим.

Не кривую, конечно, а тоже поверхность.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

4) в задаче Коши, мы имеем права захотеть чтобы искомая поверхность пересекала две заданные 4 мерные кривые или более?

Боюсь, вы эти слова про "4-мерные кривые" не очень-то понимаете, раз задаёте такие вопросы.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

5) Вы случаем не знаете математических трудов посвященным изучению системы ДУПЧ Максвелла, не всяким там частным случаям, а именно в общем?

Море. Этим занимается теорфизика. В частности, для ДУЧП Максвелла:
- изучена калибровочная инвариантность;
- изучена вариационная формулировка;
- найдены решения в общем виде как методом функции Грина, так и методом Фурье - и бегущие, и стоячие волны.
Рассмотрены, например, пространственные симметрии, такие как конформная.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

6) Я не понял: материальные уравнения, они ведь не дифференциальные уравнения в частных производных, по чему всегда предлагается дополнять ими исходную систему если рассматривается задача для вещества.

Именно потому, что неизвестных становится больше, и уравнений должно стать больше.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

Тут у меня вопрос из совсем другой области и скорее носит популярный характер: говорят что свет в веществе или в воде летит медленнее, так вот вроде это уменьшается фазовая скорость

Для начала, это просто неверно. Уменьшается как раз групповая скорость. А фазовая скорость может, наоборот, увеличиваться. А может как угодно себя вести.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

а сам фотон замедляется? или фотон тупо врезается в атом, а потом переизлучается и так далее, и эта скорость переизлучения и является скоростью света в веществе?

Не "тупо", а квантово, потом интерферируя сам с собой. На самом деле, нет разницы между этими двумя описаниями - математически они выглядят одинаково.

Есть два понятия: "фотон в вакууме" и "фотон в среде". Можно сказать, что при переходе в среду "фотон в вакууме" превращается в "фотон в среде", и замедляется. А можно сказать, что "фотон в среде" состоит из непрерывных процессов поглощения и переизлучения "фотонов в вакууме", то есть кроме "фотона в вакууме" там есть ещё и примесь некоторых "возбуждений среды". И сложение с такой примесью даёт в итоге другую скорость.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

А еще вопрос: у этого фотона есть вектора напряженности $E$ и индукции $B$? а если их нет откуда берется для пучка фотонов вектора напряженности и индукции? и сколько фотонов в этот пучок нужно положить, чтоб он вел себя как эл-м волна?

На "грубом" уровне можно считать, что у фотона есть вектора $E$ и $B.$ По крайней мере, "чтобы не съезжала крыша". А если вы займётесь квантовой электродинамикой и квантовой оптикой (что подразумевает + 2-3 года грызения учебников, самое меньшее), то там узнаете, что ситуация гораздо хуже: в волне количество фотонов неопределённое, и только за счёт этого и существуют вектора напряжённостей. Эти величины оказываются "дополнительными", как, например, координата и импульс квантовой частицы. То есть, если переходить к пределу с определённым числом фотонов, то вектора напряжённостей у вас будут "размываться" до полной неопределённости, и наоборот.

[specialist]

И так, с чего бы начать. Вообщем я начал с этого:

Munin в сообщении #1132403 писал(а):

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

В данном случае, на сколько я понял, Задача Коши должна формулироваться так: необходимо найти такую пятимерную поверхность из семейства представляющего общее решение, которая будет пересекать четырехмерную кривую, которую мы сами зададим.

Не кривую, конечно, а тоже поверхность.

specialist в сообщении #1132232 писал(а):

4) в задаче Коши, мы имеем права захотеть чтобы искомая поверхность пересекала две заданные 4 мерные кривые или более?

Боюсь, вы эти слова про "4-мерные кривые" не очень-то понимаете, раз задаёте такие вопросы.


- найдены решения в общем виде как методом функции Грина, так и методом Фурье - и бегущие, и стоячие волны.
Рассмотрены, например, пространственные симметрии, такие как конформная.

Везде используется книга Смирнов В.И. Курс высшей математики Том 4 ГИТТЛ 1957г. глава 3
Вопросы перенумерованы римскими цифрами


1) Понял я, что ничего не понял, ни про интегральные поверхности, ни про начальные данные Коши, провел поиск литературы, по интегральным поверхностям в области систем ДУПЧ, оказалось все очень скудно, но скорее всего я просто не нашел нужных книг.
Поэтому обратился к классикам, открыл четвертый том В.И. Смирнова, и понял что "слона то и не заметил". Общая теория уравнений с частными производными была прочитана и многое выяснено, а именно:

- Если в результате поиска полного интеграла ДУПЧ возникает функция решения вида:
$M(u,x)=0$
то ДУПЧ является ОДУ и условия Коши представляют, как бы это сказать, ноль-мерную кривую, то есть числа или конечное число точек, условия Коши в случае ОДУ первого порядка выглядят так
$u(x_0)=K_1$ и
$u(x_1)=K_2$
В случае не первого порядка, туда же добавляется $n-1$ значений производных функции $u$ по $x$ в точках $x_0$ и $x_1$, и по сути это обозначает, скажем для уравнений второго порядка, это обозначает наклон характеристической поверхности в точке $x_0$ или $x_1$ задачи Коши к оси $x$.



-Если в результате поиска полного интеграла ДУПЧ возникает функция вида:
$M(u,x,y)=0$
то условия Коши будут задаваться на одномерной кривой:
$u(t)=f_1 (t)$ ,
$x(t)=f_2 (t)$ ,
$y(t)=f_3 (t)$
если ДУПЧ второго порядка, то надо добавить значения производных искомой функции по независимым переменным, определенным на кривой с параметром $t$
т.е.
$u_{x}(t)=f_4 (t)$ и
$u_{y}(t)=f_5 (t)$
Причем условия Коши называют "полосой нулевого порядка"
Поковырявшись с примерами, я понял что кривая на которой заданы значания искомой функции, может быть незамкнутой или вообще прямой, главное она должна делить пространство на две части: в одной части мы ищем решение ДУПЧ, а в другой нет.


I) Но возникает вопрос, а если у нас эта кривая является циклоидой, ну хотя бы гипотетически?


Если ДУПЧ третьего порядка или более, то необходимо задать еще частные производные второго порядка и больших порядков
Скажем для третьего порядка:
$u_{xx}(t)=f_6 (t)$ и
$u_{yy}(t)=f_7 (t)$ и
$u_{xy}(t)=f_8 (t)$



-Если в результате поиска полного интеграла ДУПЧ возникает функция вида:
$M(u,x,y,z,t)=0$,
наверное можно переписать так
$u=f(x,y,z,t)$

то условия Коши будут задаваться на "полосе второго порядка"
$u(t_{1},t_{2},t_{3} )=f_1 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$x(t_{1},t_{2},t_{3})=f_2 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$y(t_{1},t_{2},t_{3})=f_3 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$z(t_{1},t_{2},t_{3})=f_4 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$t(t_{1},t_{2},t_{3})=f_5 (t_{1},t_{2},t_{3})$ (1)

То есть условия Коши, заданы в неком "объеме" где пространственными координатами являются $t_{1},t_{2},t_{3}$ и этот "объем" должен быть границей разделяющей четырехмерное пространство x,y,z,t$ на две части: в которой мы ищем решение ДУПЧ и в которой не ищем.


II) Все равно возникает вопрос: если мы ищем решение ДУПЧ в области, то почему мы не можем искать решение ДУПЧ в двух областях сразу, или в трех? Видимо эти решения будут не совместные а раздельные.


2)Далее я узнал что, что есть такая клевая вещь, как "характеристическая поверхность" и что её в электродинамике, есть такие "поверхности слабого разрыва", которые являются характеристическими, и что при вычислении скорости перемещения такой поверхности. можно узнать скорость перемещения эл-м волны.


III) Вот тут тоже вопрос: поверхности слабого разрыва - это электромагнитная волна или это фронт волны? то есть есть место в волне где вторые производные претерпевают разрыв?


IV)3) Вообще не понял, что такое характеристический коноид, и для чего он?


Теперь про уравнения Максвелла:
в общем случае: это нелинейная система ДУПЧ первого порядка.
Согласно книге Смирнова В.И. для каждой искомой функции, необходимо записать свои условия Коши, и они будут выглядеть как (1)

Но тут возникает вопрос который мне очень сложно сформулировать:
По поводу искомых функций, я по горячности все запихиваю в искомые функции:
$B_x ; B_y ; B_z ; H_x ; H_y ; H_z ; D_x ; D_y ; D_z ; E_x ; E_y ; E_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$
однако, величины:
$B_x ; B_y ; B_z ; H_x ; H_y ; H_z ; D_x ; D_y $ и $D_x ; D_y ; D_z ; E_x ; E_y ; E_z$
связанны материальными уравнениями, эта связь может быть довольно жуткой, но это не важно.

Как я понимаю, материальные уравнения разбивают задачу поиска решений системы ДУПЧ Максвелла на две:
1) либо мы ищем их $B_x ; B_y ; B_z ; D_x ; D_y ; D_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$
либо их:
$ H_x ; H_y ; H_z ; E_y ; E_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$
либо еще комбинации?
2) если мы нашли решения выбранной комбинации, то по материальным уравнениям ищутся оставшиеся, скажем $ H_x ; H_y ; H_z ; E_y ; E_z $


V) И получается прежде чем решать нужно понять, что искать, напряженности или индукции или их комбинации разом, а потом вычислять недостающие. Это так?


Здесь меня терзают смутные сомнения, я работаю с электромашинами, у нас магнитная индукция и напряженность связанны хитрым гистерезисом, который сам зависит от много чего, вплоть до температуры железа. И как бы выразить напряженность через индукцию очень затруднительно или наоборот.


VI) И вот что меня смущает: материальные уравнения сложные, скажем среда нелинейная диспергирующая-анизатропная, то как выбирают те 7 величин которые ищут в начале?


VII) Cкажем $B_x ; B_y ; B_z ; D_x ; D_y ; D_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$ или другие комбинации, нужно же все уравнения Максвелла привести к этим величинам, а для этого будут использоваться материальные уравнения, которые сами ужасные?


Возвращаясь к старым баранам: если мы допустим выбрали что искать будем $ H_x ; H_y ; H_z ; E_y ; E_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$
материальные уравнения:
$H_x (B_x , B_y , B_z)=f_1 (...)$
$H_y (B_x , B_y , B_z)=f_2 (...)$
$H_z (B_x , B_y , B_z)=f_3 (...)$
$E_x (D_x , D_y , D_z)=f_4 (...)$ (2)
$E_y (D_x , D_y , D_z)=f_5 (...)$
$E_z (D_x , D_y , D_z)=f_6 (...)$
$J^{ist}_x+J_x=\sigma E_x$
$J^{ist}_y+J_y=\sigma E_y$
$J^{ist}_z+J_z=\sigma E_z$
В последних трех конечно может быть значительно сложнее. Забавно то что, есть материальные уравнения, для связей всех компонент полей и токов, но нет для зарядов недвижимых зарядов.

Исходная система уравнений, после подстановки системы материальных уравнений (2), будет состоять все также из 9 уравнений, НО будет только семь искомых величин:
$ H_x ; H_y ; H_z ; E_x ; E_y ; E_z ; \rho$,
то есть два уравнения будут лишними из системы.

Получим систему уравнений в простом случае:

Два уравнения сложим и преобразуем:
$ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial x}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$
$\frac{\partial\rho^{ist}}{\partial t}+\frac{\partial J^{ist}_x}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_y}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_z}{\partial z}=0,$

в одно, и получим систему для простого случая:

$ \frac{\partial \rho+\rho^{ist} }{\partial t}+\frac{\partial \sigma E_x}{\partial x}+\frac{\partial \sigma E_y}{\partial x}+\frac{\partial \sigma E_z}{\partial z} = 0$
$\frac{\partial \mu H_x}{\partial x}+\frac{\partial \mu H_y}{\partial x}+\frac{\partial \mu H_z}{\partial z}=0$
$\frac{\partial \varepsilon E_x}{\partial x}+\frac{\partial \varepsilon E_y}{\partial x}+\frac{\partial \varepsilon E_z}{\partial z}-\rho =\rho^{ist} $
$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\frac{\partial \varepsilon E_x}{\partial t} =\sigma E_x $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-\frac{\partial \varepsilon E_y}{\partial t} =\sigma E_y $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial \varepsilon E_z}{\partial t} =\sigma E_z $
$\frac{\partial E_x}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}+\frac{\partial \mu H_x}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}+\frac{\partial \mu H_y}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial \mu H_z}{\partial t}=0$

Munin в сообщении #1127897 писал(а):

Например, если вы решаете задачу Коши с начальным условием при $t_0=\mathrm{const},$ то можно вычеркнуть те 2 уравнения Максвелла, в которых не участвует производная по времени. Они не потребуются при интегрировании, а нужны только для проверки корректности начальных условий. Если начальные условия им удовлетворяют, то и решение для всех последующих моментов времени будет им удовлетворять автоматически - так что их можно не писать.

VIII) То есть вычеркивают уравнения исходя из задачи Коши. Но я не встретил ни одного такого примера из книг по математике, приведите пожалуйста, хотяб пару книжек, где абстрактная переопределенная система ДУПЧ решалось бы и там вычеркивали уравнение.


Ну хорошо, вроде уравнений хватает, какие вычеркивать пока не понял, но что с граничными условиями?
У нас семь искомых величин, $ H_x ; H_y ; H_z ; E_x ; E_y ; E_z ; \rho$
Согласно книжке Смирнова, для каждой искомой функции мы должны указать задачу Коши, коротая выглядит примерно так:

$u(t_{1},t_{2},t_{3} )=f_1 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$x(t_{1},t_{2},t_{3})=f_2 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$y(t_{1},t_{2},t_{3})=f_3 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$z(t_{1},t_{2},t_{3})=f_4 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$t(t_{1},t_{2},t_{3})=f_5 (t_{1},t_{2},t_{3})$

здесь $u$ - искомая функция а $t_{1},t_{2},t_{3}$ - параметры хитрого объема

но мне также приводили пример, когда уравнения максвелла переходят в уравнения второго порядка:
$ \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial z^2}= \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}$

$ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial z^2}= \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$

Но позвольте, они второго порядка, и для них по мимо этих условий:

$u(t_{1},t_{2},t_{3} )=f_1 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$x(t_{1},t_{2},t_{3})=f_2 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$y(t_{1},t_{2},t_{3})=f_3 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$z(t_{1},t_{2},t_{3})=f_4 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$t(t_{1},t_{2},t_{3})=f_5 (t_{1},t_{2},t_{3})$ (1)

нужны еще эти:
$u_{x}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_6 (t_{1},t_{2},t_{3})$,
$u_{y}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_7 (t_{1},t_{2},t_{3})$, (3)
$u_{z}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_8 (t_{1},t_{2},t_{3})$,
$u_{t}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_9 (t_{1},t_{2},t_{3})$,


IX) И у меня в голове возникает ДИССОНАНС, кто прав? почему так, почему почти за сто лет, развития математики не написали общей теории систем уравнений ДУПЧ, преходится задавать глупые вопросы.


Система (3) задает наклон решения к определенным ортам, а система (1) задает границу которая отделяет место где ищат решение и задает значния на границе, искомой функции. Это я вроде понял.


X) И меня терзает все еще вопрос, если бы у нас была бы произвольная система первого порядка из семи уравнений, то чисто гипотетически, то нужно было бы, задавать, производные максимум седьмого порядка? (ну просто я ни где этого не нашел, все авторы обходят эту тему как огня, а я ни как не пойму)


Так вроде чего я понял, написал, теперь вопросы которые отдельно:


XI) Вот пишут, что задача Коши должна однозначно определять решение системы ДУПЧ, там еще есть теорема Ковалевской, но все таки, в чем заключаются критерии однозначности для систем ДУПЧ? можете сказать, я все обыскал , но не нашел.
Как я понял чем выше порядок системы ДУПЧ, тем больше "степеней свободы" для её волн будет (тут я каюсь, нельзя использовать термин, степени свободы для ДУПЧ, но я оталкивлся от систем ОДУ, и пытаюсь представить геометрически: если мы задаем частные производные на границе задачи Коши, то это значит исходное решение без этих условий, могет само растягиваться (меняться угол наклона решения к орте) как захочет (т.е будет не определено) ) если будете отвечать по этому вопросу, можете по подробнее.


XII) Второй вопрос, про гистерезис, как его описывают математически? на работе часто их вижу, да мы их аппроксимируем, но чтоб сразу и все вместе не видел. по идее он должен описываться системой ОДУ, но как её составить по картинке (в смысле графику), не представляю.


XIII) Третий вопрос, собственно написали

Munin в сообщении #1132403 писал(а):

найдены решения в общем виде как методом функции Грина

а можно ссылку на это общее решение? я встречал подобные, но не в общем случае.


XIV) Четвертый вопрос: вот у меня зачесалось, научиться хоть что то понимать в квантовой механике, но когда читаю о частицах, понимаю что для меня это бесполезно, скажите а есть книжка по квантовой механике, но с макроскопическими приложениями, типа с модельками солнечных батарей и таких хитрых моделей как полупроводники. Просто вот есть, техническая электродинамика, а мне бы техническая квантовая механика, или техническая квантовая электродинамика.
Вроде все, как всегда, не сильно бейте, за терминологию, но направьте дальше по пути понимания.

[rustot]

Вы бы могли для простоты просто забыть про $\vec{H}, \vec{D}, \vec{M}, \vec{P}, \varepsilon, \mu$, чтобы не усложнять вопрос. $\vec{B}, \vec{E}, \vec{j}, \rho$ вполне достаточно если вы в уравнениях рассматриваете все заряды, а не скрываете усредненное поведение части из них в "параметрах среды". Вы себе материальными уравнениями жизнь усложняете без особой надобности.

[Munin]

Первую часть этого вашего сообщения - рекомендую скопировать на математический раздел форума. Там вам и объяснят всё, и подскажут литературу. Вопросы типа "а что если это циклоида" - типично математические.

Насчёт гистерезиса - да, это проблема. Она мне даже в голову не пришла (стыдно!), я излагал весьма простой линейный случай. Но проблема с гистерезисом даже не в том, что там сложная нелинейная функция зависимости $B(H).$ Проблема в том, что это вообще не однозначная функция. Одному и тому же значению $H$ могут отвечать разные значения $B,$ в зависимости от предыстории изменения этих величин. И решение тут одно: кроме самой $H,$ вводятся ещё какие-то "внутренние параметры вещества" (не знаю, какие именно), которые описывают, в каком состоянии это вещество сейчас находится, и зависят от того, какое поле было приложено в прошлом. На эти параметры придётся писать ещё какие-то уравнения. В общем, вместо просто уравнений Максвелла, получится более сложная система уравнений.

specialist в сообщении #1134757 писал(а):

Ну хорошо, вроде уравнений хватает, какие вычеркивать пока не понял

Если вы решаете систему в области $t>t_0$ (и какой-то пространственной), то можете просто вычеркнуть те уравнения, в которых нет частных производных по времени. Они вам не понадобятся для "совершения шага по времени" задачи Коши.

specialist в сообщении #1134757 писал(а):

но мне также приводили пример, когда уравнения максвелла переходят в уравнения второго порядка:
$ \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial z^2}= \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}$

$ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial z^2}= \varepsilon \mu \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$

Но позвольте, они второго порядка, и для них по мимо этих условий:

$u(t_{1},t_{2},t_{3} )=f_1 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$x(t_{1},t_{2},t_{3})=f_2 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$y(t_{1},t_{2},t_{3})=f_3 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$z(t_{1},t_{2},t_{3})=f_4 (t_{1},t_{2},t_{3})$ ,
$t(t_{1},t_{2},t_{3})=f_5 (t_{1},t_{2},t_{3})$ (1)

нужны еще эти:
$u_{x}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_6 (t_{1},t_{2},t_{3})$,
$u_{y}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_7 (t_{1},t_{2},t_{3})$, (3)
$u_{z}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_8 (t_{1},t_{2},t_{3})$,
$u_{t}(t_{1},t_{2},t_{3})=f_9 (t_{1},t_{2},t_{3})$,

Это на самом деле те же самые условия.

Смотрите. Допустим, вы имеете систему первого порядка для шести величин $(\mathbf{E},\mathbf{H}).$ Вы избавляетесь от $\mathbf{E},$ и получаете систему второго порядка для трёх величин $\mathbf{H}$ (видите? то же, что и для ОДУ, где систему из двух уравнений первого порядка для двух переменных можно превратить в одно уравнение второго порядка для уже одной переменной - ну, правда, не всегда; гарантированно только в обратную сторону). Теперь ваши бывшие шесть начальных условий для $(\mathbf{E},\mathbf{H})$ превращаются в другие шесть начальных условий для $(\mathbf{H},\mathbf{H}_t)$ - потому что избавляясь от $\mathbf{E},$ вы выражаете их через $\mathbf{H}_t.$