Совместность уравнений Максвелла и начальные данные Коши

[specialist]

Пытаюсь разобрать кашу в голове, коей много.
И так имеются уравнения Максвелла (я попытаюсь записать в общем случае) $+$ уравнение непрерывности $+$ материальные уравнения:
$ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial x}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$
$\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial x}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$
$\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial x}+\frac{\partial D_z}{\partial z}-\rho =\rho^{ist} $
$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-J_x =J^{ist}_{x} $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-J_y =J^{ist}_{y} $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-J_z =J^{ist}_{z} $
$\frac{\partial E_x}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}+\frac{\partial B_x}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial t}=0$
$H_x (B_x , B_y , B_z)=f_1 (...)$
$H_y (B_x , B_y , B_z)=f_2 (...)$
$H_z (B_x , B_y , B_z)=f_3 (...)$
$E_x (D_x , D_y , D_z)=f_4 (...)$
$E_y (D_x , D_y , D_z)=f_5 (...)$
$E_z (D_x , D_y , D_z)=f_6 (...)$
переменные:
$B_x ; B_y ; B_z ; H_x ; H_y ; H_z ; D_x ; D_y ; D_z ; E_x ; E_y ; E_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$

источники поля:
$ J^{ist}_{x} ; J^{ist}_{y} ; J^{ist}_{z} ; \rho^{ist}$

И так: всего переменных $16$, а уравнений $15$

И из этого складывается первый вопрос: какого уравнения не хватает? или исправьте если совсем, люто не прав.
(я скорее всего чегото не понимаю, но количество перемных должно быть равно количеству уравнений)
Мое решение: я пересмотрел кучу книжек, скорее всего я что то пропустил, но в общем систему уравнений Максвелла в материальных средах, записывают для частных случаев,
где часть уравнений не используют в условиях задачи, но я пытаюсь понять: каких и сколько должно быть уравнений Максвелла чтоб система в "общем случае" была совместна, и этого я пока не нашел.
Скорее всего я вообще не прав, так как еще не копал литературу, по системам уравнений в частных производных (не уравнения мат. физики).

Если действительно не хватает уравнения, то для единственности решения и определения переменных в каждой точке пространства, необходимы граничные, и начальные условия, так вот складывается вопрос:
Второй вопрос: в "начальных условиях" в "общем" случае необходимо задать значения переменной в начальный момент времени и некоторое количество значений частных производных переменной.
так вот, я не понимаю какой порядок системы уравнений которую я записал выше, точнее я в чувстве полной не уверенности
Мое решение: раз переменных $16$ то необходимо задать некое значение переменной на границе и $15$ частных производных по времени, в "общем случае". Но мне кажется я неправ и все проще.

Мне известно из многих книжек по уравнениям математической физики, что для уравнений второго порядка, граничные условия содержат максимум частную произодную первого порядка и из того вопрос:
Ну и последний вопрос: как выглядят граничные условия в общем случае, для уравнений $m$ порядка?
Мое решение: в книжке В.В. Степанова "курс дифференциальных уравнений" граничные и начальные условия не разделяются, а пишутся совместно, и называются "начальные данные Коши" и максимальный порядок частных производных там $m-1$,
а вид "начальных данных Коши" принимает (стр 334) для уравнения:
$\frac{\partial^{m} z}{\partial x^{m}_{1}}= f(x_2 , x_3 , ... , x_n, z, \frac{\partial^{1} z}{\partial x^{1}_{1}}, ... ,\frac{\partial^{m-1} z}{\partial x^{m-1}_{1}},\frac{\partial^{1} z}{\partial x^{1}_{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x_{1} x_{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}_{2}}, ... \frac{\partial^{m} z}{\partial x^{m}_{n}} )$
$z=\varphi (x_2 , x_3 , ... , x_n)$
$\frac{\partial z}{\partial x_1} =\varphi_{1} (x_2 , x_3 , ... , x_n) $
.
.
.
$\frac{\partial^{m-1} z}{\partial x^{m-1}_{1}} =\varphi_{m-1} (x_2 , x_3 , ... , x_n) $
и получается уже для "совместной" системы уравнений Максвелла, граничные и начальные условия будут выглядеть аналогично. (тут я вообще не уверен, так как ни одно уравнений разрешить относительно старшей производной в общем случае "точно" нельзя.

[Munin]

specialist в сообщении #1127822 писал(а):

И из этого складывается первый вопрос: какого уравнения не хватает? или исправьте если совсем, люто не прав.

В чём различие между вашими "просто токами" и "токами источников"?

Электродинамика складывается из двух половинок: заряды и токи (они называются "источниками поля" в математическом смысле), и электромагнитное поле. На них можно ставить разные задачи:
- задать полностью (во всём пространстве во все моменты времени) источники, и искать поле;
- задать полностью поле, и тогда оно задаст силы, действующие на заряженные частицы; из этого можно искать токи в проводящих средах;
- искать решение совместной задачи на источники и поле, то есть, считать и то и то незаданным, но удовлетворяющим каким-то начальным, граничным и прочим внешним условиям.
И другие формулировки, отличающиеся деталями, совмещающие черты того и другого.

Ваши уравнения Максвелла - списаны с первой из таких перечисленных задач: вы пишете уравнения поля, но не уравнения на токи. А вот ваши неизвестные - включают в себя и поле, и токи. Вот этих уравнений и не хватает:

$$\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}\quad\textit{или}\quad\mathbf{j}=f(\mathbf{E});\qquad\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{j}=0.$$

Причём, надо заметить, что в итоге ваша система уравнений окажется переопределённой: из 8 уравнений Максвелла 2 будут "лишними". Они не помогут искать решение, но наложат дополнительные ограничения на условия, при которых вы будете искать решение. Не всякие условия будут допустимыми.

В целом, постановке и однозначности задачи Коши в электродинамике - посвящены отдельные разделы в учебниках электродинамики.

[specialist]

Munin в сообщении #1127859 писал(а):

В чём различие между вашими "просто токами" и "токами источников"?

Вот этих уравнений и не хватает:

$$\mathbf{E}=\sigma\mathbf{j}\quad\textit{или}\quad\mathbf{j}=f(\mathbf{E});\qquad\dfrac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{j}=0.$$

Причём, надо заметить, что в итоге ваша система уравнений окажется переопределённой: из 8 уравнений Максвелла 2 будут "лишними". Они не помогут искать решение, но наложат дополнительные ограничения на условия, при которых вы будете искать решение. Не всякие условия будут допустимыми.

В целом, постановке и однозначности задачи Коши в электродинамике - посвящены отдельные разделы в учебниках электродинамики.

1)$ J^{ist}_{x} ; J^{ist}_{y} ; J^{ist}_{z} ; \rho^{ist}$ - это величины которые задали мы (расставили заряды, пустили токи)

$B_x ; B_y ; B_z ; H_x ; H_y ; H_z ; D_x ; D_y ; D_z ; E_x ; E_y ; E_z ; J_x ; J_y ; J_z ; \rho$ - а это величины которые которые порождены предыдущеми величинами
2) первое ваше уравнение уже содержится в $J_x , J_y , J_z$, а второе ваше уравнение - это первое мое (см. внимательно) $ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial x}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$
3) если бы я нашел корректно поставленную задачу коши в общем случае для уравнений Максвелла, я бы сюда не обратился. везде частные случаи.
4) и потом яж посчитал количество переменных, $16$ а уравнений у меня $15$, если говорить про $8$ ур. Максвелла, то там будет $12$ переменных, $B_x ; B_y ; B_z ; H_x ; H_y ; H_z ; D_x ; D_y ; D_z ; E_x ; E_y ; E_z $ а если добавить $6$ материальных уравнений, то задача будет переопределена, а я не знаю, даже литературу, где был бы пример где решалась бы переопределенная система уравнений, интуиция говорит что число переменных должно быть строго равно числу уравнений.

[Munin]

specialist в сообщении #1127866 писал(а):

2) первое ваше уравнение уже содержится в $J_x , J_y , J_z$

Где?

specialist в сообщении #1127866 писал(а):

а второе ваше уравнение - это первое мое (см. внимательно) $ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial x}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$

Да, вы правы. Я запутался, держа в голове, что таких уравнений должно быть два: с вашим индексом $ist,$ и без него.

Кстати, по-английски исток или источник - source. А если вы хотите добавить русский текст в формулу, это можно сделать командами \text{} или \textit{} .

specialist в сообщении #1127866 писал(а):

если бы я нашел корректно поставленную задачу коши в общем случае для уравнений Максвелла, я бы сюда не обратился. везде частные случаи.

А что такое "общий случай"?

Кроме того, я лично не уверен, что вы обсмотрели все учебники. Перечислите, где искали.

specialist в сообщении #1127866 писал(а):

и потом яж посчитал количество переменных, $16$ а уравнений у меня $15$

Ну вот я вам дал ещё три (за вычетом моей ошибки). Теперь уравнений 18, как и должно быть: 2 уравнения связей.

specialist в сообщении #1127866 писал(а):

а если добавить $6$ материальных уравнений, то задача будет переопределена

Именно об этом я вам и говорил - и опасаться этого не надо, если только вы не зададите неправильные условия, или у вас будет какая-то сильно дурацкая задача.

specialist в сообщении #1127866 писал(а):

а я не знаю, даже литературу, где был бы пример где решалась бы переопределенная система уравнений, интуиция говорит что число переменных должно быть строго равно числу уравнений.

Переопределённые системы бывают корректными и некорректными. Некорректным задачам посвящена отдельная литература, но это не наш случай. Уравнения Максвелла корректны. Из 8 можно выбросить 2 (не любых, а смотря по условиям). Это следствие того, что электродинамика является теорией со связями. Познакомиться с такими теориями на начальном уровне можно в курсах теормеханики, где связи появляются как естественная и часто необходимая часть формализма. Правда, лучше не Ландау-Лифшиц, потому что он-то связей почти не рассматривает.

Например, если вы решаете задачу Коши с начальным условием при $t_0=\mathrm{const},$ то можно вычеркнуть те 2 уравнения Максвелла, в которых не участвует производная по времени. Они не потребуются при интегрировании, а нужны только для проверки корректности начальных условий. Если начальные условия им удовлетворяют, то и решение для всех последующих моментов времени будет им удовлетворять автоматически - так что их можно не писать.

[amon]

Давайте для простоты ограничимся волнами в вакууме без источников. Там у нас будет 8 уравнений на 6 неизвестных. Является ли это катастрофой классической электродинамики? Для ответа на этот вопрос надо понять, бывает ли такое в классической механике. Ответ - такое бывает, если на механическую систему наложены связи. Это означает, что "реальное" число переменных и уравнений меньше. И действительно, можно переписать уравнения в вакууме через один векторный потенциал, и получится система из трех уравнений с тремя неизвестными. Наличие связей означает, что в задаче Коши нельзя задать произвольные начальные условия. Они должны удовлетворять неким условиям совместимости (одно из них для уравнений с источниками Вы написали - $ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial x}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$, но есть и другие).

[Munin]

specialist
Я гляжу, что вы опять хвастаетесь знакомством с книгами, но на самом деле их не читали.

-- 01.06.2016 15:13:32 --

amon в сообщении #1127899 писал(а):

Наличие связей означает, что в задаче Коши нельзя задать произвольные начальные условия. Они должны удовлетворять неким условиям совместимости (одно из них для уравнений с источниками Вы написали - $ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial x}+\frac{\partial J_z}{\partial z} = 0$, но естьи другие).

Кстати, нет. Это было бы верно для уравнения
$\frac{\partial\rho^{ist}}{\partial t}+\frac{\partial J^{ist}_x}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_y}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_z}{\partial z}=0,$
но именно его-то он и не написал. А уравнение
$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial J_x}{\partial x}+\frac{\partial J_y}{\partial x}+\frac{\partial J_z}{\partial z}=0$
просто следует из остальных написанных (плюс условие на $J^{ist}_x,J^{ist}_y,J^{ist}_z,\rho^{ist}$).

А впрочем, это эквивалентно (просто неудобовнятно записано).

-- 01.06.2016 15:31:09 --

specialist
У меня чувство дежа вю. Вот что вы спрашивали, и я вам писал, два года назад:

Munin в сообщении #891627 писал(а):

specialist в сообщении #891561 писал(а):

у меня несколько совсем глупых вопросов:
1) 4 уравнения Максвелла для однородно и изотропной среды, дополненные до материальных, в проекциях это 3 уравнения из первого (rotH), 3 уравнения из второго (rotE), и два скалярных уравнения, итого 8 уравнений, переменных же семь Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz, и объемная плотность зарядов p. - Будьте добры поправьте меня, 7 уравнений , 7 неизвестных, зачем еще одно (divH=0), Им можно пренебречь?


Нет. Уравнений 8, это верно, но неизвестных 6: $E_x,E_y,E_z,H_x,H_y,H_z.$ Объёмная плотность заряда - не неизвестная, а задаваемый внешний параметр. Из этих уравнений, действительно, 2 лишних, они называются "уравнения связи", и их можно не принимать во внимание, если только начальные и краевые условия им не противоречат. Исключить их можно по-разному, например, можно выбросить уравнения, в которые не входит производная по времени.

Если объёмная плотность заряда неизвестна, то необходимо пользоваться ещё законом Ома - это 3 уравнения; и уравнением непрерывности - это 1 уравнение. Получается ещё 4 уравнения и 4 неизвестных: скалярная плотность заряда и векторная плотность тока.

Не перечитать ли вам эту старую тему?

[specialist]

Munin в сообщении #1127897 писал(а):

specialist в сообщении #1127866 писал(а):

2) первое ваше уравнение уже содержится в $J_x , J_y , J_z$

Где?


А что такое "общий случай"?

Кроме того, я лично не уверен, что вы обсмотрели все учебники. Перечислите, где искали.

Ну вот я вам дал ещё три (за вычетом моей ошибки). Теперь уравнений 18, как и должно быть: 2 уравнения связей.

теорией со связями. Познакомиться с такими теориями на начальном уровне можно в курсах теормеханики, где связи появляются как естественная и часто необходимая часть формализма. Правда, лучше не Ландау-Лифшиц, потому что он-то связей почти не рассматривает.

...хвастаюсь знакомствами с книгами.

1) вообще я хотел записать формулы
$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\gamma E_x -\frac{\partial D_x}{\partial t}-\rho v^\rho_x - \gamma(v_y \times B_z) =J^{ist}_{x} $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-\gamma E_y-\frac{\partial D_y}{\partial t}-\rho v^\rho_y - \gamma(v_x \times B_z) =J^{ist}_{y} $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-\gamma E_z-\frac{\partial D_z}{\partial t}-\rho v^\rho_z - \gamma(v_y \times B_x) =J^{ist}_{z} $
но посчитал что нет необходимости (взято из Я. Туровского Техническая электродинамика), и зашифровыал их $J_x , J_y , J_z$
2) "общий случай" тут я хотел както собрать кашу из частных случаев с примерами в один общий из которого выйдут все частные (если я употребил неправильную терминологию, сразу же извиняюсь)
3) Товарищ Munin, когда я читаю книгу и не понимаю, я беру следующую, так до тех пор пока не разберу непонятное, но часто книг не хватает, тогда я иду сюда получать тумаки,
И так я не хвастаюсь, но я читал (не заучил, не выучил, не запомнил и не полностью осознал, а только на среднем по моей мерке уровне осознания):
начну с хорошего: В.А. Неганов Электродинамика и распространение радиоволн; взято из Я. Туровского Техническая электродинамика; Ю.В. Пименов Линейная макроскопическая электродинамика; К. Шимони Теоретическая электротехника; А.И. Инкин электромагнитные поля и параметры электрических машин; С.М. Аполлонский Дифференциальные уравнения математической физики в электротехнике; В.Т. Ерофеенко Аналитическое моделирование в электродинамике; ну конечно замечательные книги по мат физике: А.Н. Тихонов А.А. Самарский Ур. Мат. Физики; Н.С. Кошляков Уравнения в частных производных математической физики и В.П. Пикулин Практический курс по уравнениям математической физики, еще несколько книг включая ЛЛ, если необходимо я могу рецензию по каждой книге написать, в каждой книге авторы старательно избегают строгой постановки задачи коши, всегда есть, "давайте изотропность введем и еще целую кучу, в итоге решение получается частное, общей же постановки с математической точностью в них нет, в этом я уверен.
4) Вы очень клево написали про связи, я в теор механике вообще не сталкивался с уравнения в частных производных, но единственная книга по термеху. которая у меня есть это А.А Яблонский, можете еще написать названия книг, где была бы четко формулирована ваша мысль?

-- 01.06.2016, 17:05 --

Товарищ Munin, я вам раскрою великую тайну, в практическом смысле я понял многое, необходимое как для работы так для учебы, но эта тема осталась для меня загадкой, которую я намереваюсь добить, (только меня не надо сильно бить, я хрупкий).
Вы написали, что я не написал $\frac{\partial\rho^{ist}}{\partial t}+\frac{\partial J^{ist}_x}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_y}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_z}{\partial z}=0,$, так оно же не содержит ни одной переменной, я думал когда мы задаем граничные условия.... а у меня другой вопрос, мож так я вас пойму, что будет если мы зададим уграничные условия неправильно?

-- 01.06.2016, 17:11 --

я пытаюсь увидеть, систему уравнений в моем общем случае, начальными данными коши тоже в общем случае, так скажите какой порядок уравнений шестнадцатый или двенадцатый?

-- 01.06.2016, 17:26 --

amon в сообщении #1127899 писал(а):

Ответ - такое бывает, если на механическую систему наложены связи. Это означает, что "реальное" число переменных и уравнений меньше.

Я вас понял. но я не умею различать уравнения связей от других уравнений, какие главы теор меха мне читать, чтоб было больше похоже на электродинамику?

[Munin]

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

вообще я хотел записать формулы
$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\gamma E_x -\frac{\partial D_x}{\partial t}-\rho v^\rho_x - \gamma(v_y \times B_z) =J^{ist}_{x} $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-\gamma E_y-\frac{\partial D_y}{\partial t}-\rho v^\rho_y - \gamma(v_x \times B_z) =J^{ist}_{y} $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-\gamma E_z-\frac{\partial D_z}{\partial t}-\rho v^\rho_z - \gamma(v_y \times B_x) =J^{ist}_{z} $
но посчитал что нет необходимости

Напрасно-с.

Кстати, там ещё $v$ какие-то повылезли...

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

"общий случай" тут я хотел както собрать кашу из частных случаев с примерами в один общий из которого выйдут все частные

Вот этого и не бывает. А будет, как вы верно выразились, каша. Которая - следствие каши в голове.

Например, что у вас за скорости? Одно дело - текущий по проводам ток, другое - летящее заряженное тело, третье - точечные частицы, и т. д. Их не стоит пихать в один "общий случай", их стоит выбирать по принципу "или - или". Одну и ту же физическую ситуацию, задачу, можно изложить на разном языке. С математической задачей тоже нужно внимательно и аккуратно, и так далее...

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

Товарищ Munin, когда я читаю книгу и не понимаю, я беру следующую

Во! А надо брать предыдущую!
(Большая часть трудностей при чтении учебника - от недопрочитанности предыдущего учебника. Меньшая часть - решается чтением параллельно альтернативного учебника по той же теме, другого автора. Мало ли, косноязычие или другой порядок изложения - что поможет "щёлкнуть" в голове. А вот вперёд забегать обычно не стоит никогда.)

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

Вы очень клево написали про связи, я в теор механике вообще не сталкивался с уравнения в частных производных

Так. Стоп.

Тут надо подняться на более высокий уровень абстракции. ДУЧП - это обычно не механика, это "теория поля". Но строится она по аналогии с механикой. Например, можете посмотреть в ЛЛ-2, как рассказывается про принцип наименьшего действия, лагранжиан поля, законы сохранения, и наконец про гамильтонов формализм. Другая книга - учебник по механике Голдстейна, в котором в конце на примере цепочки грузиков и пружинок показан переход к теории поля. По сути, в механике per se - степени свободы дискретны, их конечное множество. А в теории поля степеней свободы становится бесконечно много, и они образуют непрерывный континуум. Но идейно теория поля, конечно же, воспроизводит теоретическую механику.

Кстати, после ЛЛ и Голдстейна, можете посмотреть ещё Медведев. Начала теоретической физики. Там ещё одна красивая аналогия, несколько другого типа.

----

Насчёт механики со связями - я навскидку не скажу, тут лучше поспрашивать кого-то ещё. Только не Яблонский. Там Арнольд, например, или кто там ещё...

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

Вы написали, что я не написал $\frac{\partial\rho^{ist}}{\partial t}+\frac{\partial J^{ist}_x}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_y}{\partial x}+\frac{\partial J^{ist}_z}{\partial z}=0,$, так оно же не содержит ни одной переменной, я думал когда мы задаем граничные условия.... а у меня другой вопрос, мож так я вас пойму, что будет если мы зададим граничные условия неправильно?

Получится беда: уравнения не решатся. Одно уравнение будет говорить "решение такое", а другое - "нет, решение не такое, решение сякое". Что-то типа системы уравнений $x=2,\quad x=5.$ Так что, выполнение этого уравнения - это вопрос корректности заданных условий.

-- 01.06.2016 16:37:00 --

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

я пытаюсь увидеть, систему уравнений в моем общем случае, начальными данными коши тоже в общем случае, так скажите какой порядок уравнений шестнадцатый или двенадцатый?

Поля: 12 величин.
Заряды и токи: 4 величины.
Итого 16.

Уравнения Максвелла - 8 штук. (Из них 2 - связей.)
Материальные уравнения "поле - поле" - 6 штук.
Материальные уравнения "поле - ток" (закон Ома) - 3 штуки.
1 уравнение непрерывности, связывающее токи и заряды.
Итого 18. За вычетом связей, опять 16.

Если решаете без токов (в непроводящей среде):

Поля: 12 величин.
Итого 12.

Уравнения Максвелла - 8 штук. (Из них 2 - связей.)
Материальные уравнения "поле - поле" - 6 штук.
Итого 14. За вычетом связей, опять 12.

Если решаете в однородной изотропной среде (избавляясь подстановкой от материальных уравнений):

Поля: 6 величин.
Заряды и токи: 4 величины.
Итого 10.

Уравнения Максвелла - 8 штук. (Из них 2 - связей.)
Материальные уравнения "поле - ток" (закон Ома) - 3 штуки.
1 уравнение непрерывности, связывающее токи и заряды.
Итого 12. За вычетом связей, опять 10.

И наконец, без материальных уравнений и без зарядов с токами:

Поля: 6 величин.
Итого 6.

Уравнения Максвелла - 8 штук. (Из них 2 - связей.)
Итого 8. За вычетом связей, опять 6.

Рекомендуется научиться решать последний, простейший вариант, а остальные от него получаются довольно простым усложнением.

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

но я не умею различать уравнения связей от других уравнений

См. выше:

Munin в сообщении #1127897 писал(а):

Например, если вы решаете задачу Коши с начальным условием при $t_0=\mathrm{const},$ то можно вычеркнуть те 2 уравнения Максвелла, в которых не участвует производная по времени.

-- 01.06.2016 16:40:12 --

P. S. А порядок уравнений везде первый. Если добавить механику заряженных частиц, будет второй (за счёт 2 закона Ньютона).

[amon]

specialist в сообщении #1127956 писал(а):

какие главы теор меха мне читать, чтоб было больше похоже на электродинамику?

Если хотите слазить в дебри (не очень глубокие), поищите статью Дирака про гамильтоновы системы со связями. Ссылку сейчас не помню, как найду - дам знать. Она, в том числе, и про электродинамику.

-- 01.06.2016, 16:55 --

О, почти сразу сама выскочила
Дирак П.А.М. (Dirac P.A.M.) Лекции по теоретической физике [РХД, 2001],
Вас интересуют первые две лекции.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1127897 писал(а):

Переопределённые системы бывают корректными и некорректными

Здесь всё сложнее: например, система $u_x=0, u_y=0$ имеет решения $u(x,y,z)=f(z)$, а система $u_x=0, u_y+xu_z=0$ только константы. Но система Максвелла--первого типа. Если все токи и заряды равны 0 то решение системы без условий дивергенции удовлетворяет этим условиям в любой момент времени, т.и т.т. когда им удовлетворяют начальные условия. В общем случае нужно иметь 2 условия совместности которые и являются двумя из "материальных" уравнений. И тогда то же самое: решение системы без условий дивергенции удовлетворяет этим условиям в любой момент времени, т.и т.т. когда им удовлетворяют начальные условия.

Аналог $u_x=f, u_y=g$ и условие совместности $f_y=g_x$.

[specialist]

а что такое т.и.т.т ?

[Munin]

$\Longleftrightarrow.$

-- 01.06.2016 17:28:03 --

(По-английски есть общепринятое iff, по русски изобретают кто во что горазд, от титтк до согда, правда, ничего особо не приживается.)

[specialist]

Первое впечатление от прочтения начала лекции ПАМ, "воу", так скалярный и векторный потенциал, не просто вводили, так сказать для удобства вычислений, а чтоб лагранжиан эл-м поля записать, а электродинамика теория со связями потому что потенциальная энергия зависит от скорости зарядов. Здорово.
И так как мне посоветовали учусь решать самый простой вариант:
(пока до формулы решения дойти не смогу, просто пока не уверен в своих силах, но попробую записать задачу с граничными услвиями)

$\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial H_y}{\partial z}-\frac{\partial {\varepsilon_0 E_x}}{\partial t} =0 $
$\frac{\partial H_x}{\partial z}-\frac{\partial H_z}{\partial x}-\frac{\partial {\varepsilon_0 E_y}}{\partial t} =0 $
$\frac{\partial H_y}{\partial x}-\frac{\partial H_x}{\partial y}-\frac{\partial {\varepsilon_0 E_z}}{\partial t} =0 $
$\frac{\partial E_x}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}+\frac{\partial {\mu_0 H_x}}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}+\frac{\partial {\mu_0 H_y}}{\partial t}=0$
$\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial {\mu_0 H_z}}{\partial t}=0$

$6$ уранений, а теперь граничные и начальные условия:

сначала выражу сомнения, опыт решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, подсказывает что если разрешить выше представленные уравнения относительно максимальной производной, то она будет 6 порядка, что то вроде:
$\frac{\partial^{6} H_{x}}{\partial x^2 \partial y^2 \partial z^2}$, но так как у нас производная вычисляется от компоненты поля, а не от любой функции, то такая производная обнуляется, и в выводимом уравнении производные максимального порядка будут второго.
из чего я делаю вывод, что граничные условия в общем будут вида: (пусть фигура будет кубик со стороной $ l $)
$\frac{\partial E_y (0,t)}{\partial y}-f_1 (E_y (0,t) -g_1 (t))=0$
$\frac{\partial E_y (l,t)}{\partial y}-f_2 (E_y (l,t) -g_2 (t))=0$
$\frac{\partial E_x (0,t)}{\partial x}-f_3 (E_x (0,t) -g_3 (t))=0$
$\frac{\partial E_x (l,t)}{\partial x}-f_4 (E_x (l,t) -g_4 (t))=0$
$\frac{\partial E_z (0,t)}{\partial z}-f_5 (E_z (0,t) -g_5 (t))=0$
$\frac{\partial E_z (l,t)}{\partial z}-f_6 (E_z (l,t) -g_6 (t))=0$

$\frac{\partial H_y (0,t)}{\partial y}-f_{10} (H_y (0,t) -g_{10} (t))=0$
$\frac{\partial H_y (l,t)}{\partial y}-f_{20} (H_y (l,t) -g_{20} (t))=0$
$\frac{\partial H_x (0,t)}{\partial x}-f_{30} (H_x (0,t) -g_{30} (t))=0$
$\frac{\partial H_x (l,t)}{\partial x}-f_{40} (H_x (l,t) -g_{40} (t))=0$
$\frac{\partial H_z (0,t)}{\partial z}-f_{50} (H_z (0,t) -g_{50} (t))=0$
$\frac{\partial H_z (l,t)}{\partial z}-f_{60} (H_z (l,t) -g_{60} (t))=0$

да и граничные условия должны удовлетворять уравнениям:
$\frac{\partial \mu_0 H_x (0,t)}{\partial x}+\frac{\partial \mu_0 H_y (0,t)}{\partial x}+\frac{\partial \mu_0 H_z (0,t)}{\partial z}=0$
$\frac{\partial \varepsilon_0 E_x (0,t)}{ \partial x}+\frac{\partial \varepsilon_0 E_y (0,t)}{\partial x}+\frac{\partial \varepsilon_0 E_z (0,t)}{\partial z}=0 $

$\frac{\partial \mu_0 H_x (l,t)}{\partial x}+\frac{\partial \mu_0 H_y (l,t)}{\partial x}+\frac{\partial \mu_0 H_z (l,t)}{\partial z}=0$
$\frac{\partial \varepsilon_0 E_x (l,t)}{ \partial x}+\frac{\partial \varepsilon_0 E_y (l,t)}{\partial x}+\frac{\partial \varepsilon_0 E_z (l,t)}{\partial z}=0 $
процедуру выбора граничных условий (чтоб они удовлетворяли условия совместности), не представляю, подскажите пожалуйста?

и начальные условия: по аналогии
$\frac{\partial E_y (y,0)}{\partial t}-f_{11} (E_y (y,0) -g_{11} (y))=0$
$\frac{\partial E_x (x,0)}{\partial t}-f_{21} (E_x (x,0) -g_{21} (x))=0$
$\frac{\partial E_z (z,0)}{\partial t}-f_{31} (E_z (z,0) -g_{31} (z))=0$
$\frac{\partial H_y (y,0)}{\partial t}-f_{12} (E_y (y,0) -g_{12} (y))=0$
$\frac{\partial H_x (x,0)}{\partial t}-f_{22} (E_x (x,0) -g_{22} (x))=0$
$\frac{\partial H_z (z,0)}{\partial t}-f_{32} (E_z (z,0) -g_{32} (z))=0$

я так думаю я жудко ошибся, не пинайте сильно, но поправьте.

[amon]

specialist в сообщении #1128104 писал(а):

подсказывает что если разрешить выше представленные уравнения относительно максимальной производной, то она будет 6 порядка

Этот опыт Вас нагло надул. Можно ввести потенциалы, и положить $\varphi=0$. Это всегда можно сделать, почему - можно подглядеть у А.Н. Васильева в "Классической электродинамике", параграф 1.6, 1.7. Вообще, я рекомендую эту книжку просмотреть - на мой взгляд она самый тонкий из хороших и самый хороший из тонких учебников по электродинамике. У Вас останется всего три функции. У того же Васильева можно прочитать, что на это самое $\mathbf{A}$ можно наложить еще одно условие $\operatorname{div}\mathbf{A}=0$. Итого, осталось две независимые функции. Т.е. Ваши начальные и граничные условия существенно избыточны. В общем, гляньте Васильева.

[Red_Herring]

Прежде всего, сведение к одному уравнению высшего порядка далеко не всегда возможно и тем более разумно.

Во вторых, граничные условия не вытекают из уравнений, а зависят от того, что происходит на границе. Например для Максвелла в полости граничные условия зависят от материала стенок (идеальный изолятор? идеальный проводник? что-то среднее). Но, разумеется, какие-то граничные условия могут исчезнуть. Так для Максвелла без токов и зарядов надо задавать 2 граничных условия (магическое 4 деленное на 2)