ТФКП,преобразования Мёбиуса(2)

[FrizzyBoy]

Ещё один номер из сборника задач Волковыского,на этот раз 2.32.
Постановка задачи:
Найти общий вид дробно-линейной функции $w(z)$,отображающей круг $|z|<1$ на правую полуплоскость $\operatorname{Re(w)>0}$ так,чтобы $w(z_1)=0,w(z_2)=\infty$, где$ z_1,z_2$-заданные точки на окружности $|z|=1$ такие,что $\arg(z_1)<\arg(z_2)$.
Построить семейство линий в круге $|z|<1$,соответствующих полярной сетке в полуплоскости $\operatorname{Re(w)>0}$.
Указание. Воспользоваться общей формой дробно-линейного преобразования для трёх пар соответственных точек и найти $\arg((e^{i\varphi}-z_1)/(e^{i\varphi}-z_2))$.
Моя попытка решения:
Изначально попытался построить данное преобразование,имея обратное отображение-круга на правую полуплоскость(есть у того же Волковыского,номер 2.27,там с верхней полуплоскостью,но это на проблему не влияет,всегда можно осуществить поворот),получил следующую формулу:
$z=-i(w\bar{a}- e^{i\alpha}a)/(w-e^{i\alpha})$,где а-произвольное комплексное число. Тогда при указанной нормировке
$z_1=(e^{i\alpha}a)/\bar{a}, z_2=e^{i\alpha}$. Даже если учитывать,что здесь $\arg(z_1)<\arg(z_2)$,мне это лично ничего не дало.
Ангармоническое преобразование для трёх пар точек известно(у того же Привалова есть), но не вижу его связи с данным аргументом,и сам аргумент плохо вычисляется(аргумент от дроби есть разность аргументов числителя и знаменателя,а дальше-какие формулы можно использовать?). Прошу прощения за слабое решение,не разобрался в данном номере,если посоветуете хорошую литературу,буду признателен.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[DeBill]

FrizzyBoy
Пусть $a=R\cdot e^{i\varphi}$. Подставьте в Ваши формулы. По заданным точкам, найдете $\alpha, \varphi$....

[TelmanStud]

FrizzyBoy

$$\omega=A\dfrac{z-z_1}{z-z_2}$$

[DeBill]

TelmanStud
Это, конечно, так. Осталось только указать все возможные $A$. Они имеют вид $A=A_0 \cdot R$, где $R$ - произвольное вещественное положительное, а $A_0$ - одно из допустимых. Вот счетом этого $A_0$ ТС и заморачивается...

[ewert]

FrizzyBoy в сообщении #1127205 писал(а):

получил следующую формулу:
$z=-i(w\bar{a}- e^{i\alpha}a)/(w-e^{i\alpha})$

Вообще-то для обратного преобразования -- верхней полуплоскости в круг -- будет $z=e^{i\alpha}\frac{w-a}{w-\overline{a}}$, причём это довольно очевидно, даже если не помнить никаких формул. Общий вид дробно-линейного преобразования $z=c\,\frac{w-a}{w-b}$, где $|c|=1$ (иначе мы не попадаем на окружность при $w\to\pm\infty$), а тогда $b=\overline{a}$ (иначе модуль числителя на вещественной оси очевидно не равен модулю знаменателя).

Судя по всему, Вы именно эту формулу и имели в виду, только каким-то очень странным образом её изуродовали. Иначе откуда бы могло появиться Ваше

FrizzyBoy в сообщении #1127205 писал(а):

$z_1=(e^{i\alpha}a)/\bar{a}, z_2=e^{i\alpha}$

?

Ну да, это так. И что же Вам не нравится? Второе даёт Вам значение экспоненты, после чего первое сразу же даёт аргумент параметра $a$. Модуль же $a$ может быть, естественно, любым.

[TelmanStud]

DeBill
Поленился прочитать в чем проблема
Тогда наверное $A=-R i\,\text{sgn}\,(\alpha_2-\alpha_1) e^{i(\alpha_2-\alpha_1)}$, где $R>0$