Ещё один номер из сборника задач Волковыского,на этот раз 2.32.
Постановка задачи:
Найти общий вид дробно-линейной функции
![$w(z)$ $w(z)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/e/38e1d80081c74d44735d326c2fd4143482.png)
,отображающей круг
![$|z|<1$ $|z|<1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/3/7137bf654645f306e2253637a01b838182.png)
на правую полуплоскость
![$\operatorname{Re(w)>0}$ $\operatorname{Re(w)>0}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/0/29076f2ed85a5aadfb18da135c381ff182.png)
так,чтобы
![$w(z_1)=0,w(z_2)=\infty$ $w(z_1)=0,w(z_2)=\infty$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/1/801d9d44839bf26e9c995a0dcc79217982.png)
, где
![$ z_1,z_2$ $ z_1,z_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/7/5c7ae524c81d8fd46b48ac7fe1b245c882.png)
-заданные точки на окружности
![$|z|=1$ $|z|=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/6/d06ac971dbeb00f7884d1fc4755c05e082.png)
такие,что
![$\arg(z_1)<\arg(z_2)$ $\arg(z_1)<\arg(z_2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/b/a1b503c44130923b94fee0b1bbdf1fea82.png)
.
Построить семейство линий в круге
![$|z|<1$ $|z|<1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/1/3/7137bf654645f306e2253637a01b838182.png)
,соответствующих полярной сетке в полуплоскости
![$\operatorname{Re(w)>0}$ $\operatorname{Re(w)>0}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/0/29076f2ed85a5aadfb18da135c381ff182.png)
.
Указание. Воспользоваться общей формой дробно-линейного преобразования для трёх пар соответственных точек и найти
![$\arg((e^{i\varphi}-z_1)/(e^{i\varphi}-z_2))$ $\arg((e^{i\varphi}-z_1)/(e^{i\varphi}-z_2))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/b/febd1082e93cde9b860f1242fd22c49d82.png)
.
Моя попытка решения:
Изначально попытался построить данное преобразование,имея обратное отображение-круга на правую полуплоскость(есть у того же Волковыского,номер 2.27,там с верхней полуплоскостью,но это на проблему не влияет,всегда можно осуществить поворот),получил следующую формулу:
![$z=-i(w\bar{a}- e^{i\alpha}a)/(w-e^{i\alpha})$ $z=-i(w\bar{a}- e^{i\alpha}a)/(w-e^{i\alpha})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/3/e53d3597922cfc272108aa45b5a984cc82.png)
,где а-произвольное комплексное число. Тогда при указанной нормировке
![$z_1=(e^{i\alpha}a)/\bar{a}, z_2=e^{i\alpha}$ $z_1=(e^{i\alpha}a)/\bar{a}, z_2=e^{i\alpha}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/6/a169729ee443ae19cc6432b90dab150882.png)
. Даже если учитывать,что здесь
![$\arg(z_1)<\arg(z_2)$ $\arg(z_1)<\arg(z_2)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/b/a1b503c44130923b94fee0b1bbdf1fea82.png)
,мне это лично ничего не дало.
Ангармоническое преобразование для трёх пар точек известно(у того же Привалова есть), но не вижу его связи с данным аргументом,и сам аргумент плохо вычисляется(аргумент от дроби есть разность аргументов числителя и знаменателя,а дальше-какие формулы можно использовать?). Прошу прощения за слабое решение,не разобрался в данном номере,если посоветуете хорошую литературу,буду признателен.