2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ТФКП,преобразования Мёбиуса(2)
Сообщение30.05.2016, 15:54 


30/05/16
10
Ещё один номер из сборника задач Волковыского,на этот раз 2.32.
Постановка задачи:
Найти общий вид дробно-линейной функции $w(z)$,отображающей круг $|z|<1$ на правую полуплоскость $\operatorname{Re(w)>0}$ так,чтобы $w(z_1)=0,w(z_2)=\infty$, где$ z_1,z_2$-заданные точки на окружности $|z|=1$ такие,что $\arg(z_1)<\arg(z_2)$.
Построить семейство линий в круге $|z|<1$,соответствующих полярной сетке в полуплоскости $\operatorname{Re(w)>0}$.
Указание. Воспользоваться общей формой дробно-линейного преобразования для трёх пар соответственных точек и найти $\arg((e^{i\varphi}-z_1)/(e^{i\varphi}-z_2))$.
Моя попытка решения:
Изначально попытался построить данное преобразование,имея обратное отображение-круга на правую полуплоскость(есть у того же Волковыского,номер 2.27,там с верхней полуплоскостью,но это на проблему не влияет,всегда можно осуществить поворот),получил следующую формулу:
$z=-i(w\bar{a}- e^{i\alpha}a)/(w-e^{i\alpha})$,где а-произвольное комплексное число. Тогда при указанной нормировке
$z_1=(e^{i\alpha}a)/\bar{a}, z_2=e^{i\alpha}$. Даже если учитывать,что здесь $\arg(z_1)<\arg(z_2)$,мне это лично ничего не дало.
Ангармоническое преобразование для трёх пар точек известно(у того же Привалова есть), но не вижу его связи с данным аргументом,и сам аргумент плохо вычисляется(аргумент от дроби есть разность аргументов числителя и знаменателя,а дальше-какие формулы можно использовать?). Прошу прощения за слабое решение,не разобрался в данном номере,если посоветуете хорошую литературу,буду признателен.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.05.2016, 15:56 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение30.05.2016, 23:55 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП,преобразования Мёбиуса(2)
Сообщение31.05.2016, 20:48 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
FrizzyBoy
Пусть $a=R\cdot e^{i\varphi}$. Подставьте в Ваши формулы. По заданным точкам, найдете $\alpha, \varphi$....

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП,преобразования Мёбиуса(2)
Сообщение01.06.2016, 00:46 
Аватара пользователя


05/04/13
580
FrizzyBoy
$$\omega=A\dfrac{z-z_1}{z-z_2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП,преобразования Мёбиуса(2)
Сообщение01.06.2016, 14:54 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
TelmanStud
Это, конечно, так. Осталось только указать все возможные $A$. Они имеют вид $A=A_0 \cdot R$, где $R$ - произвольное вещественное положительное, а $A_0$ - одно из допустимых. Вот счетом этого $A_0$ ТС и заморачивается...

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП,преобразования Мёбиуса(2)
Сообщение01.06.2016, 16:12 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
FrizzyBoy в сообщении #1127205 писал(а):
получил следующую формулу:
$z=-i(w\bar{a}- e^{i\alpha}a)/(w-e^{i\alpha})$

Вообще-то для обратного преобразования -- верхней полуплоскости в круг -- будет $z=e^{i\alpha}\frac{w-a}{w-\overline{a}}$, причём это довольно очевидно, даже если не помнить никаких формул. Общий вид дробно-линейного преобразования $z=c\,\frac{w-a}{w-b}$, где $|c|=1$ (иначе мы не попадаем на окружность при $w\to\pm\infty$), а тогда $b=\overline{a}$ (иначе модуль числителя на вещественной оси очевидно не равен модулю знаменателя).

Судя по всему, Вы именно эту формулу и имели в виду, только каким-то очень странным образом её изуродовали. Иначе откуда бы могло появиться Ваше

FrizzyBoy в сообщении #1127205 писал(а):
$z_1=(e^{i\alpha}a)/\bar{a}, z_2=e^{i\alpha}$
?

Ну да, это так. И что же Вам не нравится? Второе даёт Вам значение экспоненты, после чего первое сразу же даёт аргумент параметра $a$. Модуль же $a$ может быть, естественно, любым.

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП,преобразования Мёбиуса(2)
Сообщение01.06.2016, 17:24 
Аватара пользователя


05/04/13
580
DeBill
Поленился прочитать в чем проблема
Тогда наверное $A=-R i\,\text{sgn}\,(\alpha_2-\alpha_1) e^{i(\alpha_2-\alpha_1)}$, где $R>0$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group