Пространство Фока. Представление Фока-Баргмана

[WolfAlone]

Не могу четко понять по книжкам про пространство (представление) Фока. Оно строится как порожденное операторами рождения-уничтожения на вакуумный вектор. Получившееся пространство надо понимать как конечномерное (?) (хотя и сколь угодно большой размерности) или как такое же бесконечномерное, как и само гильбертово пространство векторов состояний? Если так, т.е. бесконечномерное, то чем пространство Фока отличается от просто гильбертова? Ведь фоковский базис - это тот же базис собственных состояний гамильтониана осциллятора. Это же нормальные элементы гильбертова $H$. Если же конечномерность, то не ясно как оно может быть замкнуто? Оператор рождения частицы $a^+$ добавляет новый вектор и повышает (эту конечную) размерность на единицу. Может дело все в слове представление. Т.е. что-то типа: фоковское пр-во - это реализация гильбертова пр-ва операторами $a, a^+$ и любыми степенями этих операторов? Которыми еще надо подействовать на вакуумный вектор, чтобы получить собственно привычное $H$ со стандартными векторами состояний из $H$.

[Munin]

WolfAlone в сообщении #1114664 писал(а):

Если так, т.е. бесконечномерное, то чем пространство Фока отличается от просто гильбертова?

Фоковское и есть просто гильбертово. Просто это некая его интерпретация, позволяющая рассматривать системы переменного числа частиц.

WolfAlone в сообщении #1114664 писал(а):

Т.е. что-то типа: фоковское пр-во - это реализация гильбертова пр-ва операторами $a, a^+$ и любыми степенями этих операторов? Которыми еще надо подействовать на вакуумный вектор

Да, конечно, вакуумный вектор там должен быть.

[WolfAlone]

Я так и не понял. Можно ли фоковское пр-во рассматривать просто как реализацию обычного гильбертового, но в терминах аналитических функций $f(z)$ с известным там скалярным произведением с весом (экспонента) и базовыми операторами $a$, $a^+$, реализованными как $\partial_z$ и $z\partial_z$. Иначе какой смысл называть другим именем стандартное гильбертово пр-во. Если имеет место реализация аналитическими функциями, то почему здесь же присутствуют вышеупомянутые операторы. Просто пр-во Фока без этих $a,a^+$ нельзя разве определить; т.е. просто пр-во без операторов?

[amon]

WolfAlone в сообщении #1126458 писал(а):

Можно ли фоковское пр-во рассматривать просто как реализацию обычного гильбертового, но в терминах аналитических функций $f(z)$ с известным там скалярным произведением с весом (экспонента) и базовыми операторами $a$, $a^+$, реализованными как $\partial_z$ и $z\partial_z$

Можно, только с некоторыми дополнениями и исправлениями. То, что Вы описали - представление Фока-Баргмана очень одинокого гармонического осциллятора, в таком представлении $a=\partial_z$, и $a^+=z$ (оператор умножения, без всякой производной). Такое гильбертово пространство унитарно эквивалентно $L_2$, то есть обычному пространству волновых функций квантовой механики, хорошо убывающих на бесконечности (сейчас придут математики, и закидают тапками).

WolfAlone в сообщении #1126458 писал(а):

Просто пр-во Фока без этих $a,a^+$ нельзя разве определить; т.е. просто пр-во без операторов?

Оператор и пространство - две вещи неразделимые. К примеру, оператор $\partial^2$ на полупрямой и на отрезке - это совершенно разные операторы. Посему в Гильбертовом пространстве нам надо определить базисные операторы, из которых будут строится все остальные. Это могут быть $p,q$ или $a, a^+$ или еще что-то. Определять пространство отдельно от операторов также бессмысленно, как и оператор отдельно от пространства.

[WolfAlone]

Нет, все-таки не ясно. Я могу построить из этих примитивных $L_2$ их тензорные произведения и получить более "не одинокое" пространство. Почему нельзя заняться операторами в нем отдельно? Пространство от операторов можно же самостоятельно определить/ввести. То, что операторы от пространства - нет, это и так ясно. Но почему пространство... нельзя? Мне кажется, что эта пара дифф. операторов используется сначала формально для удовлетворения коммутационного соотношения, а потом надо ввести доп ограничения (норма функций), определив/конкретизировав пр-во окончательно. После этого я их отбрасываю, а пр-во имею и радуюсь ему. Не ясно... почему и зачем все изначально в общей куче. Все-таки в результате мы должны иметь четкое определение 1) реализации пр-ва и 2) операторов на нем.

-- 27.05.2016, 16:01 --

Если убрать из объяснений выше слово "Баргмана", то где разница между "Фока" и "гильбертово"? В интерпретации с названиями рождение-уничтожение? Не убедительно. Если убрать слово "Фока", то остается реализация гильбертова пр-ва $f(z)$ с мерой. Операторы можно добавлять потом

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1126505 писал(а):

то где разница между "Фока" и "гильбертово"?

Здесь все просто. Пространство Фока (прямая сумма симметризованных тензорных произведений $L^2$) не имеет никакого отношения к представлению Баргмана-Фока. Это совершенно разные вещи. Что еще за "пространство Баргмана-Фока", нету такого! Представление операторов с таким названием есть, а пространства -- нет. Ну, с некоторой натяжкой можно так назвать реализацию гильбертова пространства функциями со специфическим скалярным произведением (с гауссианом в мере). Потому как такая реализация гильбертого пространства состояний одного осциллятора используется в представлении Баргмана-Фока.

[sergei1961]

В инете есть несколько замечательных видео лекций Ю.И.Любарского по когерентным состояниям. Найдёте ответы на свои вопросы. Советую.

[WolfAlone]

Искал, не нашел. Даже "НеВидео" не нашел... ? Но вопросы то очень простые. По-моему могущих хорошо просвятить на сей предмет и здесь на форуме достаточно найдется.

[kp9r4d]

Я могу рассказать про представления Фока с некоторой более алгебраической точки зрения, так как занимаюсь этим кругом вопросов уже пол-года, если вам будет интересно, конечно.

[WolfAlone]

Конечно не против. В любом случае что-то извлеку

[sergei1961]

Помогаю с видео: https://www.lektorium.tv/course/22867
А не видео нет, как написал мне автор лекций с год назад.

[kp9r4d]

Опять извиняюсь за мою физическую безграмотность. С алгебраической перспективы ситуация выглядит так: у нас есть некоторый почти комбинаторный объект, который я назову виковской $*$-алгеброй, которая записывается так $W(T) = \{a_1,...,a_n | a_i^* a_j = \delta_i^j 1 + \sum_{k,l=1}^n T_{ij}^{kl} a_k a_l^*} \}$ $T_{ij}^{kl} \in \mathbb{C}, \overline{T}_{ij}^{kl}=T_{ji}^{lk}$, это $*$-алгебра элементы которой - всевозможные линейные комбинации из конечных слов из $a_i$ и $a_i^*$, которые можно складывать, умножать, умножать на комплексное число и брать звёздочку (некоторый аналог эрмитового сопряжения в матрицах), то есть объект очень лингвистический по своей сути. Прелесть именно виковских $*$-алгебр в том, что при помощи подобных соотнешений любой элемент $*$-алгебры $W(T)$ ВСЕГДА можно привести к конечной линейной комбинации слов $a_{i_1} a_{i_2} a_{i_3} ... a_{i_p} a^*_{j_1} a^*_{j_2} ... a^*_{j_q} $ то есть таких, у которых незвёздная часть идёт до звёздной.

Примеров виковских алгебр очень много, но я рассмотрю только один из них, который интересен и мне и, думаю, вам как физикам таков:

$$CCR(n,q) = \{a_1,...,a_n : a_i^* a_j = \delta_{ij} 1 - q a_i a_j^*\}$$

где $q$ - некоторое комплексное число. Это алгебра $q$-деформированных канонических коммутационных соотношений (недеформированная $CCR$ получается при $q=1$, $CAR$ получается при $q=-1$, при $q=0$ получается тоже очень уважаемый объект - алгебра Кунца-Тёплица).

Для любой $*$-алгебры интересен следующий вопрос: можно ли представить её элементы как ограниченные операторы в некотором гильбертовом пространстве, так, чтобы все структуры (сложение, умножение и звезда) перешли в соответствующие структуры на оператарах на гильбертовом пространстве? Он интересен и сам по себе, и с некоторых других точек зрения, например: существование хотя бы одного точного представления, это необходимое условие для наделения $*$-алгебры канонической нормой, котороя называется "норма универсальной обёртывающей $C^*$-алгебры" и которая несёт в себе всю информацию о всех неприводимых представлениях $*$-алгебры в ограниченных операторах.

Вот один из способов построить такое линейное пространство, чтобы $W(T)$ реализовывалась как подалгебра операторов над ним и есть фоковское представление (оно, правда, не всегда точное и не всегда ограниченное, но об этом позже). Оно строится очень просто, пусть $a_1, ..., a_n$ - генераторы $W(T)$, сделаем "формальное" линейное пространство $H = <a_1,a_2,...a_n>$, рассмотрим тензорную алгебру $\tau(H) = \mathbb{C} \oplus H \oplus (H\otimes H) \oplus ...$, это пространство с особо введённым на ним скалярным произведением (не обязательно положительно определённым и невырожденным, но обязательно эрмитовым), $(\tau(H),(\cdot,\cdot)_{Fock,T})$ называется фоковским пространством для алгебры $W(T)$ (вернее говоря, фоковским пространством называется ассоциированное с этой формой предгильбертово пространство, когда скалярное произведение является положительно определённым). При этом это скалярное произведение $(\cdot,\cdot)_{Fock,T}$ не имеет ничего общего со стандартным "каноническим" скаялрным произведением, которое обычно вводят на полной тензорной алгебре $\tau(H)$.

Я сейчас объясню как $W(T)$ на нём действует операторами и как строить $(\cdot,\cdot)_{Fock,T}$. Сперва про первое, чтобы определить как действует любой элемент в $W(T)$ достаточно определить как действуют генераторы. А они действуют очень просто. Оператор $a_i$ действует оператором рождения

$$a_i (a_{j_1} \otimes a_{j_2} \otimes a_{j_3} ... \otimes a_{j_k})=a_i \otimes a_{j_1} \otimes a_{j_2} \otimes a_{j_3} ... \otimes a_{j_k}$$

. В то время как $a_i^* (1) = 0, 1 \in \tau(H)$ - действует оператором уничтожения. Этих соотношений достаточно, чтобы определить действие любого элемента $W(T)$ на любой элемент $\tau(H)$. $(a,b)_{T,Fock}, a,b \in \tau(H)$ определяется теперь просто как коэффициент при единице у $b^* a$ (где $a,b$ рассматриваются уже просто как элементы алгебры $W(T)$ вообще должно быть понятно, как любой элемент из $\tau(H)$ "перегонять" в $W(T)$, есть очевидный канонический гомоморфизм, переводящий каждый разложимый тензор в произведение).

Ну вот, представление и построено! Легко проверить, что скалярное произведение в пространстве фока $(\tau(H),(\cdot,\cdot)_{Fock,T})$ действительно эрмитово, и что представление - на самом деле представление в линейных операторах, согласованное со скалярным произведением ровно так, как должно быть, а именно $(Av,w)_{Fock,T}=(v,A^* w)_{Fock,T}$, где $A \in W(T); a,b \in \tau(H)$. При этом вакуумный вектор - это как раз $1 \in \tau(H)$ (та самая, которая в первой компоненте), вполне очевидно, что действие $W(T)$ на $1$ порождает всё пространство, а действие $a_i^*$ на $1$ убивает её.

Остались насущные вопросы: когда скалярное произведение $(\cdot,\cdot)_{Fock,T}$ положительно определено? Когда невырождено (что эквивалентно вопросу - когда представление является точным)? Если у $W(T)$ существует универсальная обёртывающая $C^*$-алгебра, то когда она изоморфна образу представлению Фока? Там есть большая структурная теория, разработкой части которой я сейчас занимаюсь (в частности меня интересует: есть ли поарный изоморфизм универсальных обёртывающих у $CCR(n,q)$ при $|q|<1$?). Скажу только, что у любимых физиками $CCR(n,1)$ и $CCR(n,-1)$ фоковские скалярные произведение положительно определенны, но вырождены (ещё бы, $CCR$ и $CAR$ алгебры вообще не имеют никаких точных представлений в ограниченных операторах!), но зато ядра этих фоковских представлений изучены очень хорошо. Вот.

Больше можно прочитать тут.

[Alex-Yu]

kp9r4d в сообщении #1127258 писал(а):

называется фоковским пространством для алгебры $W(T)$.

Все это замечательно. И даже понятно в общих чертах (а детальнее, во всяком случае мне, не интересно). Только все это не имеет НИКАКОГО отношения к представлению Баргмана-Фока. Ну вот такой продуктивный ученый был В.А.Фок, что его фамилия встречается в самых разных местах.

[kp9r4d]

Alex-Yu
Если под представлением Бергмана-Фока вы понимание нечто, что описано тут https://en.wikipedia.org/wiki/Fock_state то имеет самое прямое. И да, судя по тому, что в стартовом посте упомянуты операторы рождения-уничтожения и вакуумный вектор - я почти уверен, что говорю о том же самом.

[Alex-Yu]

kp9r4d в сообщении #1127261 писал(а):

Если под представлением Бергмана-Фока вы понимание нечто, что описано тут https://en.wikipedia.org/wiki/Fock_state

Нет, представление Баргмана-Фока не имеет к этому НИКАКОГО отношения. Разве что кроме упоминания одного и того же В.А.Фока.

-- Пн май 30, 2016 22:46:14 --

kp9r4d в сообщении #1127261 писал(а):

судя по тому, что в стартовом посте упомянуты операторы рождения-уничтожения и вакуумный вектор - я почти уверен, что говорю о том же самом.

Ваша уверенность ошибочна. Мало ли где упоминается вакуум и прочее.... Операторы рождения-уничтожения бывают, кстати, не только в фоковском пространстве (их, кстати, два разных). Но и в самом что ни на есть банальном $L^2$ тоже есть такие операторы Вот представление Баргмана-Фока к этому последнему случаю как раз и относится.