ТФКП,преобразования Мёбиуса.

[FrizzyBoy]

Всем добрый день. Есть задача из Волковыского,не поддающаяся решению. Укажу её номер,по современным задачникам.
Номер 2.44. Доказать,что при отображении круга на круг линейное преобразование однозначно определяется заданием образов одной внутренней и одной граничной точек.
Моя попытка решения:
Не нашёл хорошей литературы по данному вопросу,но нечто подобное заметил у Привалова,"Введение в ТФКП"(страница 116). Там говорится,что если мы имеем окружность радиуса $R$, две точки $P$ и $P'$,симметричные относительно данной окружности,то с помощью произвольного линейного преобразования "пара взаимно симметричных точек перейдёт в пару точек,взаимно симметричных относительно отображенной окружности". При доказательстве берётся за основу тот факт,что через точку $P$ и произвольную точку $A$(вот где задействовано наше условие из номера!) основной окружности,можно провести окружность,ортогональную к основной,и при том только одну(это окружность превращается в прямую $OP$, если точка $A$ лежит на данной прямой),таким образом задействованы и наша граничная точка $P$,и внутренняя точка $A$. У меня возник вопрос относительно того,справедливо ли данное рассуждение,и если оно верно,то почему данное преобразование определяется однозначно? (В силу единственности ортогональной окружности?)
Заранее спасибо за прочтение и размышления!

Оформляйте даже единичные символы-обозначения.

[svv]

По-моему, здесь речь о кругах только чтобы сбить с толку. Единственная польза от указания, что одна точка ($z_1$) внутренняя, а другая ($z_2$) граничная: можно сделать вывод, что $z_1\neq z_2$.

Итак, некоторое линейное преобразование $f(z)=az+b$, где $a,b\in \mathbb C$, преобразует $z_1$ в $w_1$, а $z_2$ в $w_2$ (все точки здесь известны). Дальше?

[Slav-27]

Подозреваю, что имеется в виду дробно-линейное преобразование.

[svv]

В книге тоже «линейное», да и, кроме того, дробно-линейное однозначно восстанавливается лишь по трём парам «точка — её образ».

[FrizzyBoy]

Соответствие,которое мы получаем,однозначно,поскольку всегда для целой линейной функции можно совершить обратные параллельный перенос и поворот на угол. Только почему именно две пары точек? Если мы имеем две точки для одного преобразования,что мы можем сказать об их соответствии друг другу при отображении?Действует ли здесь подобие кругового свойства для мёбиусовых преобразований(когда точка $z_1$ описывает окружность, точка $w_1$ тоже её проходит, или применяется ангармоническое преобразование для двух пар точек,считая третью фиксированной?Не вижу пока что связи между темой задания и способом отображения.

[svv]

Мне кажется, что задача 2.44 — это задача из предыдущей темы «Целые линейные функции», которая случайно попала в следующую тему. Доводы: 1) слово «линейное» в условии, 2) только две точки, чего категорически недостаточно для восстановления дробно-линейного преобразования.

Очевидно, при $z_1\neq z_2$ двух точек хватает для восстановления линейного преобразования, поэтому я всегда могу привести линейное преобразование, удовлетворяющее условиям задачи.

Если кто-то предложит более правдоподобное объяснение, буду рад.

[FrizzyBoy]

Спасибо,точно так же и думал,ну а если допустить,что наше преобразование всё же дробно-линейное?)

[svv]

Поясню свою вредную позицию на простом (но невырожденном) примере. Допустим, у нас круг $|z|< 1$. Даны точки $z_0=0, z_1=1$ и их образы $w_0, w_1$. Я привожу в качестве решения преобразование $f(z)=w_0+(w_1-w_0) z$. Оно, очевидно, удовлетворяет условиям задачи и является частным случаем преобразования Мёбиуса. Если Вы говорите: «Мне бы какое-нибудь другое преобразование...», я отвечаю: «А что, их существует несколько возможных? В условии говорилось, что восстанавливается однозначно, а я одно привёл».

[FrizzyBoy]

Прошу прощения,голова под вечер не варит видимо,конечно же,вы правы!Ещё раз спасибо за объяснение)И никакой вы не вредный))

[Slav-27]

А у меня всё-таки есть некоторые сомнения.

svv

svv в сообщении #1127234 писал(а):

В условии говорилось, что восстанавливается однозначно, а я одно привёл».

Там наоборот просили доказать, что преобразование единственно (при заданных образах одной внутренней точки и одной граничной).

В задаче 2.67 дробно-линейные преобразования называются линейными.

Короче говоря, я думаю, что два круга (образ и прообраз) полагаются заданными наперёд, а преобразование ищется среди тех дробно-линейных преобразований, которые переводят первый из них во второй.

-- 30.05.2016, 18:46 --

Вернее, второй в первый

[svv]

Да, Вы правы.

[DeBill]

FrizzyBoy
Вообще, видимо, эта задача есть частный случай общей теоремы, которая грит, что 1) конформный изоморфизм между парой односвязных областей существует и 2) однозначно определяется заданием образов внутренней и граничной точки, и предлагается ее доказать без использования высоких материй....

[FrizzyBoy]

Не подскажете название данной теоремы?(по имени автора или по свойству)

[DeBill]

Первое утверждение - теорема Римана. Второе - собственного названия нет.
Вообще то чаще используют другую нормировку: задают образ точки, и аргумент производной в этой точке.
Единственность (как с такой, так и с Вашей) следует из : принципа симметрии , и Вашего частного случая. Подробности можно найти в книжке Шабат, Введение в комплексный анализ, г. 4.

-- 31.05.2016, 01:15 --

Односвязные области в теореме Римана - не плоскость, и не сфера.

[FrizzyBoy]

DeBill в сообщении #1127402 писал(а):

Первое утверждение - теорема Римана. Второе - собственного названия нет.
Вообще то чаще используют другую нормировку: задают образ точки, и аргумент производной в этой точке.
Единственность (как с такой, так и с Вашей) следует из : принципа симметрии , и Вашего частного случая. Подробности можно найти в книжке Шабат, Введение в комплексный анализ, г. 4.

-- 31.05.2016, 01:15 --

Односвязные области в теореме Римана - не плоскость, и не сфера.

Сказали,теоремой Римана пользоваться нельзя,т.к. это более общий случай,уже включающий в себя обоснование данного результата,и что следует воспользоваться круговым свойством преобразования,а также свойством симметрии. Ну и порекомендовали систему уравнений,из которой можно получить взаимнооднозначное отображение.