ТФКП,преобразования Мёбиуса.

[DeBill]

FrizzyBoy
Собственно, мое замечание было комментарием к Вашей задачи (я полагал, что она уже решена в процессе обсуждения) , но не предложением о способе ее решения. Конечно, теорему Римана для решения Вашей задачи использовать не надо (наоборот, ваша задача видимо будет затем использована при обсуждении нормировок в теореме).
Но давайте зафиксируем терминологию, чтобы не было путаницы.
Итак: линейное отображение - это отображение вида $z \mapsto az+b$. Мебиусовы $=$ дробно-линейные. В задаче Вашей речь идет о дробно- линейных. Уточним ее формулировку: даны два круга. Тогда:
1. Существует дробно-линейное, переводящее первый круг на второй.
2. Более того, для любой внутренней $z_0$ и граничной $z_1$ первого круга существует др-линейное, переводящее первый круг - в единичный круг $K_0$, $z_0$ в 0, $z_1$ - в 1.
3. Если два др-линейных переводят первый круг на второй, и совпадают в точках $z_0, z_1$, то они совпадают везде.
Собственно, Ваша задача - это 3. Остальное - так.
Поехали:
1. Выберем на границе первого (и второго) по три точки в порядке следования "против часовой". Построим др-линейное, переводящее первую тройку во вторую. Из кругового свойства следует, что оно переводит первую окружность во вторую. Из принципа соответствия границ тогда: образ первого круга есть второй.
2. Отобразим, по п.1, первый круг на единичный $K_1$, и пусть $a$ - образ точки $z_0$
Отображение $z\mapsto \frac{z-a}{1- \overline{a}z}$ переводит $K_1$ в себя (это надо проверить!), а точку $a$ - в 0. Теперь отследим, куда попала в результате точка $z_1$, и поворотом переведем ее в точку 1. Итого: композиция трех отображений (она - др-лин. по групповому свойству) - искомая.
3. С учетом п.2, достаточно проверить , что др-линейное, переводящее единичный круг в себя, и оставляющее на месте точки 0 и 1, является тождественным. Пусть оно имеет вид $w= \frac{az+b}{cz+d}$. Из свойства Симметричность следует : оно точку $\infty$ тоже переводит в себя (почему?). Осталось посмотреть, что все это значит для коэф-тов...