На удивление (и если нигде не наврал по пути) эти шансы оказываются одинаковыми при произвольном распределении количества детей в семье и биномиальном распределении мальчик/девочка с любыми вероятностями.
Здорово!
А с количеством братьев всё намного проще: если в семье
детей, а вероятность пола каждого ребёнка не зависит от остальных (и пусть
-- для мальчика), то выбрав случайного ребёнка, легко получить, что ожидаемое количество братьев у него
, независимо от пола этого ребёнка. Я согласен, что этих рассуждений (я взял их с MSE) достаточно, чтобы быть убедительным. (Впрочем, формулы, аналогичные Вашим, там для этого случая тоже приводятся.)
Забавно изменяются рассуждения, если пол ребёнка как-то зависит от родителей, как это происходит в реальной жизни (у одних и тех же родителей вероятность родить мальчика или девочку отличается, но остаётся стабильной). В этих условиях шансы у мальчика иметь брата могут стать больше чем у девочки, но меньше -- не могут (с количеством аналогично; варианты "планирования семьи" здесь не учитываются).
Здесь ссылка на MSE -- там первое место удерживает весьма наукоёмкое решение.
Здесь ещё одна презабавная ссылка на эту тему.