Дайджест интересного с MSE

[grizzly]

(Мотивация)

В окружающем мире происходит слишком много интересного, чтобы этого не замечать или просто проходить мимо. В этой теме я буду выкладывать самые интересные (имхо) вопросы, которые обсуждаются на MathSE (я подписался там на рассылку и не стану, наверное, всякий раз давать здесь прямые ссылки). Вряд ли я смогу придать всем вопросам строго дискуссионный характер, хотя я буду стремиться к выбору неочевидных задач. Целесообразность существования / размещения в данном разделе этой темы оставляю на усмотрение модераторов.
Критерий "прекрасного" очень простой: я предпочитаю такие задачи, для которых ответ, который первым приходит в голову, после некоторого размышления перестаёт быть ответом, который первым приходит в голову

#1. "Детские" формулировки задачи:
Кто имеет больше братьев -- мальчики или девочки?
или
У кого больше шансов иметь братика -- у мальчика или у девочки?

[stedent076]

grizzly
Ответ:

(Оффтоп)

1) Девочки
2)Они имеют одинаковые шансы

[grizzly]

stedent076
Вот-вот: ответ на первую задачу -- первое, что приходит в голову, а на вторую -- первое, что приходит в голову после некоторого размышления?

Забавно, что и после следующего размышления в голову снова первым приходит совершенно новое

[grizzly]

stedent076 в сообщении #1125893 писал(а):

1) Девочки

А можете привести какую-нибудь аргументацию, которая привела бы к такому выводу? Я со своей стороны предложу Вам самое простое (не совсем верное, но годное для первого приближения) рассуждение.
В семьях с одним ребёнком всё поровну -- ни у кого нет братьев. Пусть в семье 2 ребёнка; тогда возможны варианты м-м, м-д, д-м, д-д. Среди эти вариантов 2 мальчика имеют по одному брату (в первой паре) и 2 девочки тоже. Для семей с тремя детьми, как Вы уже догадались, ситуация аналогичная. Если это изменит Ваши ответы, дайте, пожалуйста, обновлённые варианты.

[Dan B-Yallay]

grizzly в сообщении #1125973 писал(а):

А можете привести какую-нибудь аргументацию, которая привела бы к такому выводу?

Первое рассуждение (и, естественно, неправильное), которое лично мне пришло на "ум" - берём произвольную семью с числом детей более одного. У любой девочки (если есть) из этой семьи, если есть братья - то на одного больше, чем у любого мальчика из этой же семьи.

Сейчас на третьем круге размышлений.

[stedent076]

grizzly
Я рассуждал так же как и Dan B-Yallay

[grizzly]

stedent076 в сообщении #1125999 писал(а):

Я рассуждал так же как и Dan B-Yallay

Значит, я угадал (судил-то я по себе :)

[stedent076]

grizzly
Так все-таки количество братьев у мальчиков и братьев у девочек одинаково, а шансов иметь братика у девочек ! Черт возьми, это одни из лучших задач, которые я встречал в своей жизни.
Спасибо, их решение доставило мне большое удовольствие!)

[grizzly]

stedent076 в сообщении #1126018 писал(а):

Спасибо, их решение доставило мне большое удовольствие!)

Всегда пожалуйста! (Рискну предположить, что Вы ещё далеки от решения :)

[waxtep]

Кажется, шансы у девочек и мальчиков равны; удобнее считать обратный шанс - что у них нет братьев - как долю девочек, у которых нет братьев, среди всех девочек, и, аналогично, для мальчиков. На удивление (и если нигде не наврал по пути) эти шансы оказываются одинаковыми при произвольном распределении количества детей в семье и биномиальном распределении мальчик/девочка с любыми вероятностями. То есть:

$$\frac {\sum\limits_{n=1}^\infty F_n n q^n} {\sum\limits_{n=1}^\infty F_n \sum\limits_{m=0}^n C_n^m p^m q^{n-m}(n-m)}=\frac {\sum\limits_{n=1}^\infty F_n n p q^{n-1}} {\sum\limits_{n=1}^\infty F_n \sum\limits_{m=0}^n C_n^m p^m q^{n-m}m}$$

где $F_n$ - количество семей с $n$ детьми, $p$ - вероятность родиться мальчиком, а $q=1-p$ - девочкой. Равенство проверял в лоб, взяв суммы по $m$, перемножив и сравнив коэффициенты при $F_iF_k$.

[grizzly]

waxtep в сообщении #1126174 писал(а):

На удивление (и если нигде не наврал по пути) эти шансы оказываются одинаковыми при произвольном распределении количества детей в семье и биномиальном распределении мальчик/девочка с любыми вероятностями.

Здорово!

А с количеством братьев всё намного проще: если в семье $N$ детей, а вероятность пола каждого ребёнка не зависит от остальных (и пусть $p$ -- для мальчика), то выбрав случайного ребёнка, легко получить, что ожидаемое количество братьев у него $(N-1)p$, независимо от пола этого ребёнка. Я согласен, что этих рассуждений (я взял их с MSE) достаточно, чтобы быть убедительным. (Впрочем, формулы, аналогичные Вашим, там для этого случая тоже приводятся.)

Забавно изменяются рассуждения, если пол ребёнка как-то зависит от родителей, как это происходит в реальной жизни (у одних и тех же родителей вероятность родить мальчика или девочку отличается, но остаётся стабильной). В этих условиях шансы у мальчика иметь брата могут стать больше чем у девочки, но меньше -- не могут (с количеством аналогично; варианты "планирования семьи" здесь не учитываются).

Здесь ссылка на MSE -- там первое место удерживает весьма наукоёмкое решение.

Здесь ещё одна презабавная ссылка на эту тему.

[waxtep]

вики писал(а):

Однако Бар-Хиллель и Фальк предложили и альтернативный сценарий. Они предположили, что существует культура, в которой для прогулки в любом случае выбирается мальчик.

меня почему-то этот момент по второй ссылке больше всего развеселил.

[grizzly]

Выложу в этой не очень активной теме ещё одну задачу с MSE. У неё красивая и достаточно естественная формулировка и мне странно, что я нигде не встречал её раньше.

Вопрос 1: существует ли биекция $f:\mathbb N \to \mathbb Q$, для которой ряд $\sum_{n=1}^\infty (f(n+1)-f(n))^2$ сходится?

По аналогии мне пришёл в голову
Вопрос 2: существует ли биекция $f:\mathbb N \to \mathbb Q\cap [0;1]$, для которой ряд $\sum_{n=1}^\infty (f(n+1)-f(n))$ сходится?
Это уже совсем просто, но требует какого-то уровня понимания определений и основных свойств. Такую задачу можно было бы включить в любой задачник по теме нумерации рациональных, но я не помню, чтоб видел.

[g______d]

grizzly в сообщении #1169583 писал(а):

Вопрос 1: существует ли биекция $f:\mathbb N \to \mathbb Q$, для которой ряд $\sum_{n=1}^\infty (f(n+1)-f(n))^2$ сходится?

(Оффтоп)

Лень писать полностью, но, по-моему, ответ "да", для степени $1+\varepsilon$, $\varepsilon>0$. Нужно идти от $0$ к $1$, потом от $1$ к $-1$, потом от $-1$ к $2$ и т. д, увеличивая длину интервала на $1$. "Идти" означает пройти все рациональные числа на интервале со знаменателем, не превосходящим некоторой константы $K_n$ (которая меняется на каждом проходе; $n$ -- номер прохода) и не пройденные ранее.

Суммарный вклад на проходе $n$ будет порядка $n K_n^{-\varepsilon}$, поэтому достаточно выбрать достаточно быстро растущую $K_n$. Пропускание уже пройденных чисел почти ничего не испортит.

[Soul Friend]

(Оффтоп)

очередная очевидность от меня: задача про гендерное соотношение равнозначно с соотношением нулей и единиц в неопределённом двоичном числе, если считать мальчиков за единицу, то единиц больше по комбинациям иметь-не иметь в паре или в множестве единицу. Все нули перемещаем в право, а единицы в лево, все нули считаются как за одну.