Отображение, не имеющее неподвижную точку.

[Nail1992]

Помогите, пожалуйста, решить задачу.
Пусть X - полное метрическое пространство.Привести пример $A:X \to X$ отображения, такого что $\rho\left( Ax, Ay \right) < \rho \left(x,y \right)$ и которое не имеет неподвижных точек. Понятно, что оно не может быть сжимающим: $\forall a \in (0,1) \exists x,y \in X : \rho\left( Ax, Ay \right) > a \rho \left(x,y \right) $.
Но тогда получается, что $\rho \left(x,y \right)>\rho \left( Ax, Ay \right) > a\rho \left(x,y \right)$ и для a, сколь угодно близких к единице, путаница получается. Или может такого отображения нет?

[Grabovskiy]

Такое отображение можно найти на вещественной полуоси. Попробуйте его сначала нарисовать.

[loshka]

а разве на интервале $(1; \infty)$ не подходит $x^\alpha$ $\alpha<1$ ?

[Nail1992]

loshka
А это полное пространство разве?

[loshka]

нет, не полное
но если я правильно понимаю, то $[2:\infty)$ будет полным , хотя я хреновый математик, но мне кажется что Ваше задание эквивалентно отысканию функции,которая для любого x удовлетворяла неравенству $f(x)<x$ для обычной метрики на прямой это точно так, а вот для любой метрики не уверен

[DeBill]

loshka в сообщении #1124922 писал(а):

то $[2:\infty)$ будет полным

Да. Но надо еще что

Nail1992 в сообщении #1124899 писал(а):

$A:X \to X$ от

....
Теорема Брауэра говорит, что на (связном) компакте на прямой заведомо будут неподвижные.
Полнота говорит , что работать надо на замкнутом множестве...
Значит, Ваш дуч - это хорошо!

loshka в сообщении #1124922 писал(а):

ву $f(x)<x$ д

А вот это - плохо, по указанным Выше причинам.
Попробуйте - наоборот, чтобы точки сдвигались вправо, причем чем дальше, тем меньше...

[loshka]

все-таки не понял, почему по указанным причинам не подойдет функция которая $F(x)<x$ на всем луче? Неравенство $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ будет выполнено и точек неподвижных нет

[grizzly]

loshka в сообщении #1124931 писал(а):

не понял, почему по указанным причинам не подойдет функция которая $F(x)<x$ на всем луче?

А чему у Вас равно $F(2)$?

[Someone]

А куда отобразится начальная точка луча?

[loshka]

Понял, этой точке деваться некуда, тогда глупый вопрос , а добавление одной изолированной точки к полному пространству будет полным, т.е. $0 \bigcap [2;\infty)$ насколько я понимаю, то да, но я настолько слаб, что не уверен

[grizzly]

loshka

(Оффтоп)

loshka в сообщении #1124936 писал(а):

но я настолько слаб, что не уверен

Поэтому лучше создайте новую тему с интересующим Вас вопросом. Здесь Вы можете помешать ТС.

[Nail1992]

loshka
Полным будет, но тогда ноль надо будет отображать в луч и все нарушается

[Someone]

По всей видимости, всё это означает, что идея искать функцию на промежутке вида $[a;+\infty)$ с условием $f(x)<x$ является "немножко" неудачной, и от неё следует отказаться. А почему бы не поискать функцию с условием $f(x)>x$?